2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第1讲 集合的概念和运算及答案

1．集合的概念

了解集合的含义、体会元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义．

2．集合的基本运算

理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集，能使用韦恩图表达集合间的基本关系及运算．

3．命题及其关系

理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题及其否命题、逆命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．

4．简单的逻辑联结词

了解“或”“且”“非”的含义．

5．全称量词与存在量词

理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

1．2014～2018年全国卷Ⅰ的考查情况

2014年至2018年全国卷Ⅰ和卷Ⅱ直接考查本单元内容的试题共11道，2015年全国卷Ⅱ考查了2道题占15分(其中24题主要是考查不等式的证明)，其他各年考查本单元的试题都为1道，占5分．

高考对集合这一考点的考查主要以选择题出现，涉及的知识包括集合的概念，集合与集合的关系及集合的运算，重点是集合的运算．一般都是作为全卷第1小题，且都是基础题，难度不大，属于高考中的“送分题”．

常用逻辑用语包含命题与量词，基本逻辑联结词以及充分条件、必要条件、充要条件与命题的四种形式，其中量词是新课标新增内容，2013年高考通过一道小题考查了全称命题、特称命题及复合命题真假的判定．充要条件这一内容，在全国卷高考中直接考查的试题不多，只有2015年全国卷Ⅱ在选考内容中，结合不等式的证明进行了考查．

本单元是高中数学的基本内容之一，集合论是现代数学的基础，集合语言简洁、准确，是数学中不可缺少的基本语言．常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是描述、判断、推理的工具，它可以帮助我们准确地表达数学内容、正确地理解数学概念、合理论证数学结论．

对集合这一内容的复习，要重视对集合概念的认识与理解，特别要重视对描述法表示集合的理解，掌握集合与集合之间的关系、集合的运算，要求具备数形结合的思想，会借助Venn

图、数轴等工具解决集合之间的关系及集合的运算等问题．

高考直接考查常用逻辑用语的试题虽然不多，但常用逻辑用语常和函数、不等式及立体几何中直线、平面的位置关系等知识结合，因此复习时仍要非常重视．在复习时，要以小题、基础题为主，要求掌握p∧q，p∨q，﹁p命题真假的判断，全称命题与特称命题真假的判断及否定，四种命题及其关系，充分条件和必要条件的判断等，同时要注意与其他知识的联系．本单元问题的解答蕴涵了丰富的数学思想方法，如数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想和函数与方程的思想等，在复习中应注意总结领会．

第1讲集合的概念与运算

1．了解集合的含义、体会元素与集合的属于关系，了解空集、全集的意义．

2．理解集合之间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集．

3．理解交集、并集、补集的概念，会求两个简单集合的交集与并集，会求给定子集的补集．

知识梳理

1．集合的含义与表示

(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征．

(2)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，如果a不是集合A 的元素，就说a不属于集合A，记作a?A.

(4)常用的集合表示法有：列举法、描述法和图示法.

2．集合间的基本关系

(1)如果集合A中任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记作：A?B(或B?A).

(2)如果集合A?B，但存在x∈B，且x?A，则称集合A是集合B的真子集，记作：A B(或B A).

(3)若A?B且B?A，则集合A与集合B中的元素是一样的，则称集合A与集合B相等．

3．集合的基本运算

(1)交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.

(2)并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.

(3)补集：集合A是集合U的子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U 中子集A的补集，记作?U A，即?U A＝{x|x∈U，且x?A}.

1．空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.

2．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个．

3．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.

热身练习

1．已知集合A＝{x|x<2}，a＝3，则下列关系正确的是(D)

A．a?A B．a?A

C．{a}∈A D．{a}?A

由于3<2，所以a∈A，即{a}?A. 2．(2018·达州模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则(D)

A．A∩B＝?B．?A B＝B

C．A B D．B A

A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，所以B?A，1∈A但1?B，所以B A.

3．(2017·天津卷)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{1,2,3,4}，则(A∪B)∩C＝(B)

A．{2} B．{1,2,4}

C．{1,2,4,6} D．{1,2,3,4,6}

因为A∪B＝{1,2,6}∪{2,4}＝{1,2,4,6}，

所以(A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩{1,2,3,4}＝{1,2,4}．

4．(2018·石家庄二模)设集合A＝{x|－1

A．A∪B＝{x|x<0} B．(?R A)∩B＝{x|x<－1}

C．A∩B＝{x|－1

因为A＝{x|－1

5．(2018·湖南长郡中学联考)集合{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}的真子集的个数是(C)

A．3 B．4

C．7 D．8

由{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}知，y≥0，所以－x2＋6≥0，又x∈N，所以x＝0,1,2.

所以集合为{2,5,6}，其真子集的个数为23－1＝7.

集合的基本概念

(1)(经典真题)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n

∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

(2)设a ，b ∈R ，集合?

??

?

??a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2019＋b 2019＝__________.

(1)求解本题，关键是理解集合A 的意义，

将集合A 进行化简，可以采用特殊化的方法．

A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }＝{2,5,8,11,14，…}， 所以A 与

B 的共同元素只有8,14两个，故选D.

(2)考虑集合{a ，b

a ，1}中哪一个元素为0入手，利用集合中的元素的确定性和互异性进行

分析．

若a ＝0，则b

a

无意义，所以a ≠0，

所以b a ＝0，从而b ＝0，所以{a ，b

a ，1}＝{a,0,1}．

由{a,0,1}＝{a 2，a,0}，得a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1. 又根据集合中元素的互异性a ＝1应舍去， 所以a ＝－1.故a 2019＋b 2019＝(－1)2019＝－1.

(1)D(2)－1

(1)用描述法表示集合，首先要搞清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，分清是数集、点集还是其他类型的集合．

(2)解决含有参数的集合问题时，要注意集合中元素的特征，并注意用互异性进行检验．

(3)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

1．(1)若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则

a 等于(A)

A ．4

B ．2

C ．0

D ．0或2

(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为 －3

2

.

(1)当a ＝0时，方程化为1＝0，无解，集

合A 为空集，不符合题意；

当a ≠0时，由Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4. (2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，

若m ＋2＝3，解得m ＝1，此时A ＝{3,3}与集合中元素的互异性矛盾，所以m ＝1，不符合题意；

若2m2＋m＝3，解得m＝1(舍去)或m＝－3

2.

满足题意．

检验知m＝－3

2

故所求m的值为－3

2.

集合间的基本关系

已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，若集合B＝{x|p＋1≤x≤2p－1}，且B?A，则实数p的取值范围为________．

欲求实数p的取值范围，只需找出关于p 的不等式，可由已知条件，结合数轴找到．

由x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5，所以A＝{x|－2≤x≤5}．

B?A，则有

①当B≠?时，利用数轴可知：

????

?

p ＋1≤2p －1，－2≤p ＋1，2p －1≤5，

解得2≤p ≤3.

②当B ＝?时，有p ＋1>2p －1，即p <2. 综合①②得实数p 的取值范围是(－∞，3]．

(－∞，3]

解决有关集合的包含关系的问题时，要注意：

(1)所给集合若能化简，则先化简；

(2)充分利用数轴、韦恩图等辅助解题；

(3)注意空集的特殊性，一般地，若B?A，则应分B＝?与B≠?两种情况进行讨论．

2．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，若集合B＝{x|p－6≤x≤2p－1}，且A∩B＝A，则实数p的取值范围为[3,4].

由例2知，A ＝{x |－2≤x ≤5}．

A ∩

B ＝A ，所以A ?B ，画出示意图(如下图)，

所以????

?

2p －1>p －6，p －6≤－2，

2p －1≥5，

解得???

p >－5，

p ≤4，

p ≥3.

所以3≤p ≤4.

故p 的取值范围为[3,4]．

集合的基本运算

(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <2}，

B ＝{x |3－2x >0}，则( )

A ．A ∩

B ＝?

??

?

??x |x <32 B ．A ∩B ＝?

C ．A ∪B ＝?

??

?

??x |x <32 D ．A ∪B ＝R

(2)(2018·宝鸡二模)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合M ＝{2,3,5}，N ＝{4,5}，则集合{1,6}可以表示为( )

A ．M ∩N

B ．M ∪N

C. ?U (M ∪N ) D ．?U (M ∩N )

(1)首先化简集合A ，B ，再利用数轴得到

A ∩

B 和A ∪B .

因为B ＝{x |3－2x >0}＝?

??

?

??x |x <32，A ＝{x |x <2}，

所以A ∩B ＝?

??

?

??x |x <32，A ∪B ＝{x |x <2}．

(2)画出韦恩图，如图，

所以?U (M ∪N )＝{1,6}，故选C.