常见的分布函数

6数理统计的基本概念

6.1 基本要求

1 理解总体、样本(品)、样本容量、简单随机样本的概念。能在总体分布给定情况下，正确无误地写出样本的联合分布，这是本章的难点。

2*了解样本的频率分布、经验分布函数的定义，了解频率直方图的作法。

3 了解χ2分布、t分布和F分布的概念及性质，了解临界值的概念并会查表计算。

4 理解样本均值、样本方差及样本矩的概念。了解样本矩的性质，能借助计算器快速完成样本均值、样本方差观察值的计算。了解正态总体的某些常用抽样分布。

6.2 内容提要

6.2.1 总体和样本

1 总体和个体研究对象的某项特征指标值的全体称为总体(或母体)，组成总体的每个元素称为个体。总体是一个随机变量，常用X，Y等来表示。

2 样本从总体中随机抽出n个个体称为容量为n的样本，其中每个个体称为样品，它们都是随机变量。

3 简单随机样本设X1，X2，…，X n是来自总体X的容量为n 的样本，如果这n个随机变量X1，X2，…，X n相互独立且每个样品X i与总体X具有相同的分布，则称X1，X2，…，X n为总体X的简单随机样本。

4 样本的联合分布

*该部分内容考研不作要求。

149

150

若总体X 具有分布函数F (x )，则样本(X 1，X 2，…，X n )的联合分布函数为

∏==

n

i i

n x

F x x x F 1

21)

(),,,(

若总体X 为连续型随机变量，其概率密度函数为f (x )，则样本的联合概率密度为

∏

==

n

i i n x f x x x f 1

21)

(),,,( (6.1)

若总体X 为离散型随机变量，其分布律为P {X =a i }=p i (i =1，2，…n)，则样本的联合分布为

∏===

===n

i i i

n n

x X

P x X

x X

x X P 1

22

11}

{},,,{ (6.2)

其中),,,(21n x x x 为),,,(21n X X X 的任一组可能的观察值。 6.2.2 样本分布

1 频率分布

设样本值(x 1，x 2，…，x n )中不同的数值是x 1*，x 2*，…，x l *，记相应的频数分别为n 1，n 2，…，n l ，其中x 1*< x 2*<…< x l *

且n n l

i i =∑=1

。

则样本的频数分布及频率分布可由表6-1给出。

151

2 经验分布函数

定义 设(X 1，X 2，…，X n )为总体X 的一个样本，其样本值为(x 1，x 2，…，x n )，则称函数

)

(}

,,,{)(21+∞<<-∞=

x n

x x x x F x n n 的个数中小于或等于

为样本值(x 1，x 2，…，x n )的经验分布函数。

若已知样本值(x

，x ，…，x 则经验分布函数 ??

?

????≥-=<≤++<=+.

1)1,,2,1(,

,

,,0)(*

*

1*

1*

1l i i i

n x x l i x x x n n n x x x F (6.3)

6.2.3 几个重要分布及临界值

1．2

χ分布 设X 1，X 2，…，X n 是相互独立的随机变量，且X i ～

N (0，1) (i =1，2，…，n )，则

称随机变量

∑

==

+++=n

i i

n X X X X 1

2

2

22212

χ

152

服从自由度为n 的2χ分布，简记为2χ～2χ(n )。

2 2χ分布的性质：

(1)设2χ～2χ(n )，则n E =2χ, n

D 22=χ

(2)设)(~121n Y χ，)(~222n Y χ，且Y 1，Y 2相互独立，则有

)(~212

21n n Y Y ++χ

3．t 分布 设)1,0(~N X ，)(~2n Y χ，且X ，Y 相互独立，则称随机变量

n Y X

T /=

服从自由度为n 的t 分布，或称学生氏(Student )分布，简记为T ～t (n )。

4．t 分布的性质 (1) )2(2

))((,0))((>-=

=n n n n t D n t E

(2) 2

2

21)(lim x

n e

x f -

∞

→=

π

；这里f (x )为t 分布的概率密度函数。

5．F 分布 设)(~2

m X χ，)(~2n Y χ，且X ，Y 相互独立，则称随机变量

n Y m X F //=

所服从的分布是自由度为m ，n 的F 分布，简记为F ～F (m ，n )。

6．F 分布的性质

(1) 若),,(~n m F X 则 (2) )4()

4()2()422(),

2(2

2

2

>---+=

>-=

n n n m n m n DX n n n EX

153

(2) 若F ～F (m ，n )，则),(~1m n F F

。

7．临界值

(1) 标准正态分布的临界值 设X ～N (0，1)，对给定的正数α)10(<<α，若存在实数αz 满足

α

π

α

α==

>?

∞

+-

z t

dt e

z X P 2

2

21}{

则称点αz 为标准正态分布X 的α临界值 (或称上α分位点或分位数)。

由α

α-=Φ1)(z ，

若已知α)5.00(≤≤α，可通过反查标准正态分布表，求出α临界值αz 。当5.0>α时，表中无法查出，此时查表αα=Φ-)(1z ，再由αα--=1z z 可求得临界值αz 。

(2)2χ分布的临界值 设)(~2

2

n χχ

，

概率密度为f (x )。对给定的数α(0＜α＜1)，若存在实数)(2

n αχ满足

则称数)(2n αχ为2χ分布的α临界值。已知n ，α，通过查2

χ分布

表可求得)(2

n αχ。当n ＞45时，可利用近似公式：

,)12(2

1)(2

2

-+≈

n z n ααχ

这里αz 是标准正态分布的临界值。

(3) t 分布的临界值 设T ～t (n )，概率密度为f (x )。对给定的α(0＜α＜1)。若存在实数)(n t α满足

α

α

α==>?∞

+)()()}({n t x f n t T P

则称点)(n t α为t 分布的α临界值。已知n ，α，通过查t 分布表可求

αχχ

α

χ

α==

>?+∞

dx x f n P n )

(2

2

2

)()}({

154

得)(n t α。

注：1) 类似标准正态分布临界值的性质，对t 分布亦有：

)()(1n t n t αα--=；

2) 当n ＞45时，可用正态分布近似 ααz n t ≈)(。

(4) F 分布的临界值 设F ～F (m ， n )，概率密度为f (x )。对给定的α(0＜α＜1)，若存在实数αF (m ，n )满足

α

α

α==>?+∞

dx x f n m F F P n m F ),()()},({

则称数αF (m ，n )为F 分布的α临界值。注意公式

=

-),(1n m F α)

,(1m n F α

6.2.4 统计量及样本矩

1．统计量 设(X 1，X 2，…，X n )为总体X 的一个样本，?(X 1，X 2，…，X n )是X 1，X 2，…，X n 的函数，若?是连续函数且不含末知参数，则称?(X 1，X 2，…，X n )是一个统计量。

2．几个常用的统计量——样本矩 (1)样本均值 ∑==n

i i X n

X 1

1

。

(2)样本方差 2

1

2

)(1

1

X X n S

i

n

i --=

∑=。

(3)样本标准差

2

1

)(1

1

X X n S i

n

i --=

∑=。

(4)样本k 阶原点矩 ,2,1,1

1==∑=k X n

A n

i k i

k 。 (5)样本k 阶中心矩

,2,1,)

(1

1

=-=

∑=k X X n

B k

i

n i k 。

155

3 样本矩与总体矩的关系

由样本的独立性及与总体同分布这一特性出发，运用数字特征的

运算法则，可得：若总体X 的期望、方差存在，即μ=EX ，2

σ=DX ，又（X 1，X 2，…，X n )是取自总体X 的一个样本，则

μ=X E ，n

X D 2

σ

=

；2

2

σ=ES

，2

21σn

n EB -=

。 （6.4）

上述结论无论总体服从什么样的分布都正确，故它是计算任意总体，特别是非正态总体的样本均值X 和样本方差2S 的期望、方差的常用结论。

6.2.5 正态总体样本均值和样本方差的分布

1． 设总体X ～N (2,σμ)，(n X X ,,1 )为样本，X 为样本均值，

2

S 为样本方差

(1) X ～),

(2

n

N σ

μ，或

n

X /σμ

-～N (0，1)； (6.5)

(2)

)(~)

(2

2

1

2

n X

n

i i

χσ

μ∑=- (6.6)

(3)

)1(~)

)1(~)1(2

2

1

2

2

2

2

----∑

=n X X n S

n n

i i

χσ

χσ

（或

， (6.7)

(4) 样本均值X 与样本方差2

S 相互独立；

(5) n

S X /μ-～)1(-n t (6.8)

2．设(1

,,1n X X )是取自总体X 的一个样本，(2

,,1n Y Y )是取

自总体Y 的一个样本，且这两个样本相互独立，即假定1

,,1n X X ，

156

2,,1n Y Y 是n 1+n 2个相互独立的随机变量。若总体X ～N (2

11,σμ)，Y ～

N (222,σμ)，则有

1)

2

22

1

21

21)

()(n n Y X σ

σ

μμ+

---～N (0，1)； (6.9)

2)

22

2

22

12

1//σ

σS

S ～F (n 1－1，n 2－1)； (6.10)

3)当2

2221σσσ==时，有

2

1

2111)()(n n S Y X W +

?

---μμ～t (n 1+n 2－2)； (6.11)

其中∑=--=

1

1

2

1

21

)

(1

1n i i

X X n S ，∑=--=

2

1

2

2

2

2

)

(1

1n i i

Y Y n S ，

2

)1()1(212

2

22

112-+-+-=

n n S n S n S

W

。

6.3 典型例题分析

已知总体，求样本的联合分布

例1.设(X 1，X 2，…，X n )是取自总体X 的一个样本。试在下列三种情况下，分别写出样本(X 1，X 2，…，X n )的联合分布律或联合概率密度。

(1)X ～B (1，p )；(2)X 服从参数为λ的指数分布；(3)X 服从(0，θ)(θ>0)上的均匀分布。

分析: 解此类题先写出总体X 的分布律（或概率密度）；再由X i 与X 有相同的分布以及X i 之间的相互独立性，由式（6.1），（6.2）即

157

可写出样本(X 1，X 2，…，X n )的联合分布律或联合概率密度。

解:（1） 因为总体分布律为1,0)1(}{1=-==-k p p k X P k

k

于是1,0,

)1(}{1=-==-i k k i i k p p k X P i

i

样本),,,(21n X X X 的联合分布律为:

n

i k p p

k X P k X P k X P k X k X k X P i k n k n n n n n

i i

n

i i

,,2,1,1,0)

1(}

{}{}{}

,,,{1

1

22112211 ==-==??=?=====∑∑

==-

(2) 因为总体概率密度函数为：??

?≤>=-0

,

00,)(x x e x f x λλ

所以，每一个样本i X 的概率密度为： n i x x e x f i i x i i ,,2,1;

,

00,

)( =??

?≤>=-λλ

故样本),,,(21n X X X 的联合概率密度为：

n

i x x e x f x f x f x x x f i i x n

n n n

i i ,,2,1;0

,00,

)()()(),,,(12121 =?????≤>=???=∑=-λλ

（3）因为总体概率密度函数为：?????<<=其它

,

00,

1)(θθ

x x f

158

所以样本X i 的概率密度为

?????<<=其它

,

00,

1)(θθ

i i x x f

故，样本),,,(21n X X X 的联合概率密度为：

n i x x f x x x f i n n

i i n ,,2,1;,

00,)(),,,(121 =???<<==-=∏其它θ

θ

例2．设X ～N (2,σμ)，(X 1，X 2，X 3)为来自总体X 的一个样本。

试求样本(X 1，X 2，X 3)的联合概率密度和样本均值X 的概率密度函数。

解: 由于+∞<<∞-=

--

x e x f x ,21)(2

2

2)(σ

μσ

π

故

3

,2,1;,

)

2(1),(3

1

2

2

)

(213

3,21=+∞<<∞-=

∑=--

i x e

x x x f i x i i μσ

σπ

又因为)3

,

(~2

σ

μN X ，所以，X 的概率密度函数为：

+∞<<∞-=

--

x e x g x ,23)(2

2

2)(3σ

μσ

π

注： 此题用到结论：若),(~2

σ

μN X ，则),

(~2

n

N X σ

μ。这一结

159

果有十分广泛的应用。

例3.设总体服从泊松分布)(~λπX ，),,,(21n X X X 是来自总体的简单随机样本

（1） 计算)()(),(2S E X D X E 和；

（2） 若容量为10的一组样本观察值为（1，2，4，3，3，4，

5，6，4，8），试计算样本均值，样本方差和经验分布函数。

解: （1）解法一 由（6.4）式，因为

)(~λπX ，于

是

λ==)()(X D X E ，故

n X D X E λ

λ=

=)(,，

λ=2

ES

解法二 λλπ==i

i

i DX

EX

X 所以因为),

(~

故 λλ=?=??

? ??=?

?????=∑∑==n n EX n X n E X E n i i n i i 11)(111 n DX n X n D X D n i i n i i λ

=??

? ??=??????=∑∑==1211)(1

??

?

??--=??

?

???--=∑∑==n i i n i i X

n X E n X X E n S E 12

2122

11)(11

)(

??

????--=∑=)()(11

212

X nE X E n n i i

160

λ

λλλλ=+-+-=?

?

?

???+-+-=∑=)()([1

1])([])([112

2

1

22n n n n X E X D n EX DX n n

i i i

（2）410110

1==

∑=i i

x

x ，

4]10[9

1)(9

12

10

1

2

10

1

2

2

=-=

-=

∑∑

==i i i i i i x x x x s

又X 的频率分布表为

所以，经验分布函数为

??????

??????

?≥<≤<≤<≤<≤<≤<≤<=8

1

86109651085410743104

321022110110)(10x x x x x x x x x F

161

注: （1）解法一直接运用样本矩与总体矩之间的关系，即（6.4）式求得； 解法二运用样本与总体同分布的特性及数字特征的运算法则求得。 （2）写经验分布函数，可先列出频率分布表，这样不至遗漏或出错。

例4 设总体的概率密度为

X

,,

0;1|||,

|)(??

?<=其它

x x x f

),,,(5021X X X 为样本。试求：

（1）X 数学期望与方差，22,B S 的数学期望；（2）

{}

02.0||>X P 。

解: 计算总体X 的数学期望和方差 故（1）1001)(,02

=

=

=n

X D X E σ

，

100

491,2

12

22

2

=

-=

=

=σ

σ

n

n EB ES 。

（2）因为)1001,0(~

N X ?→?

，所以 {}{}

8414

.0)2.0(222.0101102.0||102.0||=Φ-=???

?

??????≤-≈≤-=>X P X P X P

注：当总体的期望和方差不能直接写出时，要先求总体的期望和方差，再求

21||)

()(;0||1

1

2

2

2

2

1

1

==

-===?=

=?

?

--dx x x EX X E DX dx x x EX σ

μ

162

样本均值X 、样本方差2S 及样本二阶中心矩2B 的期望和方差。另外，要注意

2

S 与2B 之间的差异。由于2

2

σ

=ES

，即2

S

是总体方差的无偏估计，而

2

21σn

n EB -=

不是总体方差2

σ的无偏估计，因此，一般都是以2

S 作为方

差2

σ

的估计量。但2

2

21lim

lim σ

σ=-=∞

→∞

→n

n EB n n ，故当样本容量很大时，

2

S 和2B 两者相差很小，

此时亦可用2B 来估计总体方差2

σ。

因此，有时把2

B 称为大样本方差，而2

S 有的书上也称为样本修正方差。

本题（2）的解答用到了中心极限定理。由中心极限定理可得，不论总体服从什么分布，只要知道总体的数学期望μ=EX ，方差2

σ=DX ，则样本均

值X 的渐近分布就为正态分布),

(2

n

N σ

μ。即

)()

,

(2

~

∞→?→?n n

N X σ

μ

由此可知

)

1,0(~

N n

X ?→?-σμ

求样本均值落在某个区间内的概率，就可以利用上述结论近似计算，这是很重要的结论。

*例 5 设),,,(4321X X X X 是来自正态总体)2,0(~2N X 的简单样

本，且

,

)43()2(2

43221X X b X X a -+-=η则当

)(

,)(

==b a 时，

统计量η服从χ2

-分布，其自由度为（ ）。 解:

163

解法1 ,)]43([)]2([243221X X b X X a -+-=η令

),43(),2(432211X X b X X a -=-=ηη则2

221ηηη+=

欲使)2(~2χη，就必须使)1,0(~),1,0(~21N N ηη，由于

44

3

21

====DX

DX DX

DX

04

3

2

1====EX

EX

EX

EX

于是021==ηηE E

a

a aDX

aDX

X X a D D 20)444(4))2((2

1

211=?+=+=-=η

b

b b D X b D X X X b D D 100)41649(169))43((4

3432=?+?=+=-=η

令1,121==ηηD D ，则

100

1,20

1==

b a ，此时

2),2(~2

=n 自由度χη。

解法2 由于)4,3,2,1()2,0(~2

=i N X i 且相互独立，则

100

)43(,

0)43(20)2(,0)2(43432121=-=-=-=-X X D X X E X X D X X E

从而

)100,0(~43),

20,0(~24321N X X N X X --

所以 )1,0(~100

43),

1,0(~20

24

32

1N X X N X X --

为使

164

,)2(~)1

43(

)1

2(

2

24

32

2

1χηb

X X a

X X -+-=

必须使

,)1,0(~1

43),

1,0(~1

24

32

1N b

X X N a

X X --

同上面两个服从正态分布的随机变量比较可知

1001

,

201

=

=

b a 即 100

1,

20

1=

=

b a 。

注:本题虽用了两种不同的解法，但目的相同且明确，即由-2

χ分布的定义并

由η构成的特点，应选择恰当的a,b 使η恰为两个标准正态分布的平方和。

*例 6 设921,,,X X X 是来自正态总体X ),(~2σμN 的一个简单随机样本，

)(3

1),(6

1987

262

11X X X

Y X X

X Y ++=

+++=

∑=-=

9

7

2

22

)(2

1

i i Y X S

，S

Y Y T )

(221-=

证明：统计量T 服从自由度为2的t -分布.。

证明： 由于),,(~),

,(~2

2

σμσμN X N X i 从而

),3

,

(~),

6

,

(~2

22

1σ

μσ

μN Y N Y

所以

),3

,

(~2

2σ

μ--N Y

165

故 )2

,

0(~),3

6

,0(~2

212

2

21σ

σ

σ

N Y Y N Y Y -+

-即

于是

)1,0(~22

212

1N Y Y Y Y σ

σ

）

（-=

-

又因为

)2(~22

2

2χσ

S

，且独立，与，与独立与212122,S Y Y Y S Y 所以

独立。与2

21S Y Y -从而

σ)(221Y Y -与2

2

2σ

S

独立。于是由t 分

布的定义知

)2(~2

)2()(2)

(22

2

2121t S

Y Y S

Y Y T σσ-=

-=

注： 本题的关键是熟练掌握t 分布的定义及正态总体下样本均值、样本方差的分布：

n

X /σμ

-～N (0，1)，

)1(~)1(2

2

2

--n S

n χσ

。

例7．已知X ～)(n t 。证明2X ～F (1，n )。 证明： 因为 )(~n t X , 即 n

Y Y X 21=

, 其中

)(~),1,0(~221n Y N Y χ，又n

Y Y X

22

1

2

=

, 而 )(~),1(~2222

1n Y Y χχ

故由F -分布的定义知: ),1(~2

n F X

注： 本题解答看似简单，但本章所学的三个分布都涉及到。因而了解证明过程中每一步的来龙去脉，对于熟悉、掌握有关随机变量及其分布是一项基础性

166

训练。

例8．设(X 1，X 2，…，X n )是来自正态总体N (0，1)的样本。试求统计量

2

1

2

1

)(

1)(1∑∑+==-+

n

m i i m i i X m

n X m

(m

所以

),0(~1

m N X m

i i ∑

=, 故

)1,0(~11

N X

m

m

i i

∑=

同理

)1,0(~11

N X

m

n n

m i i

∑+=-

于是

)2(~)(

1)(12

21

2

1

χ∑∑+==-+

n

m i i

m

i i X

m

n X m

例9．设(X 1，…，X 5)是来自正态总体N (2,0σ)的一个样本。试证： (1)当2

3=

k 时，2

5

2

42

3221)

(X X X X X k +++?～F (1，3)；

(2)当2

3=k 时，25

24

2

3

2

1X

X

X

X

X k +++?

～t (3)。

解 (1)

5

,4,3),1,0(~),

1,0(~2),,0(~2

12

=+i N X N X X N X i

i σ

σ

σ所以

因为

于是)3(~)(),

1(~)2(

2

2

5

3

2

22

1χσ

χσ

∑=+i i

X X X

167

由F -分布的定义，即得：)3,1(~)(2

325

24

2

3221F X

X

X X X +++?

（2） 据（1）的分析，

),

1,0(~22

1N X X σ

+因为

)3(~)(2

2

5

3

χσ

∑=i i

X

由t -分布的定义即得结论。

注： 本题仍是关于F -分布和t -分布的基础训练题。

例10 设721,,,X X X 为总体)5.0,0(~2N X 的一个样本，求

?

?????>∑=4712

i i X P 。 解： 因为

，

所以)1,0(~25.0),5.0,0(~2

N X X N X i i i = )7(~42

7

1

2χ∑=i i

X

故

于是 {}

16)7(16442

712712>=?

?????>=??????>∑∑==χP X P X P i i i i ，

由-2

χ

分布临界值的定义，查表可知013.16)7(2

025.0=χ，故

025.04712

≈?

?????>∑=i i X P 。 注： 本题由于出现了随机变量的平方和，故在寻找

∑

=7

1

2

i i X 的分布时自然

168

想到-2

χ

分布。但-2

χ

分布中的i X 均服从N

(0,1)，所以只要将此处的i

X 标准化即可。由临界值的定义αχχα=≥})({2

2

n P ，一般查表是已知α，找临界值2

αχ，而此处则相反，是已知临界值2

αχ找α，故得到的是近似值。

*例11 从正态总体)6,4.3(2N 中抽取容量为n 的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4，5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多少？

解 ： 设正态总体为X ，则)6,4.3(~2N X ，从而由(6.5)式得

)

1,0(6

4.3~

N n

X ?→?-

所以

95.013264.34.164.34.5}4.54.1{≥-???

?

??Φ=???

? ??-Φ-????

??-Φ=<

即975

.0)3

1(≥Φn 。由此可得

96

.13

≥n ，即n ≥(1.96?3)2≈34.57,

故n 至少应取35。

例12．设X 1，X 2，…，X n 为相互独立且分别服从正态分布N (2,i i a σ)