常见不定积分的求解方法

常见不定积分的求解方法的讨论

马征

指导老师：封新学

摘要介绍不定积分的性质，分析常见不定积分的各种求解方法：直接积分法、第一类换元法（凑微法）、第二类换元法、分部积分法，并结合实际例题加以讨论，以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。

关键词不定积分直接积分法第一类换元法（凑微法）第二类换元法分部积分法。

The discussion of mon indefinite integral method of calculating

Ma Zheng

Abstract there are four solutions of indefinite integration in this discourse: direct integration; exchangeable integration; parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly.

Key words Indefinite integration,exchangeable integration, parcel integration.

0引言

不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义

积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如

?

-x k dx

22sin 1（其中10<

这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展。同时，同一道题也可能有多种解法，多种结果，所以，掌握不定积分的解法比较困难，下面将不定积分的各种求解方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。 1 不定积分的概念

定义：在某区间I 上的函数)(x f ，若存在原函数，则称)(x f 为可积函数，并将)(x f 的全体原函数记为

?dx x f )(,

称它是函数)(x f 在区间I 内的不定积分，其中?为积分符号，

)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量。

若)(x F 为)(x f 的原函数，则：

?dx x f )(=)(x F +C(C 为积分常数)。

在这里要特别注意，不定积分是某一函数的全体原函数，而不是一个单一的函数，它的几何意义是一簇平行曲线，也就是说：

dx

d

(?dx x f )() 和 ?'dx x f )(

是不相等的，前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。 性质：

1.微分运算与积分运算时互逆的。

注：积分和微分连在一起运算时：

?

d ——————>完全抵消。

?d ——————>抵消后差一常数。

2.两函数代数和的不定积分，等于它们各自积分的代数和，即：

?±dx x g x f )]()([=?dx x f )(±?dx x g )(。

3.在求不定积分时，非零数可提到积分符号外面，即：

?dx x kf )(=k ?dx x f )((k ≠0)。

在这里，给出两个重要定理： (1)导数为0的函数是常函数。

(2)若两函数的导数处处相等，则两函数相差一个常数。 以便于更好的解决一些简单的不定积分问题。

上面将不定积分的概念以及性质做了简单的介绍，下面，我们开始讨论不定积分的各种求解方法。 2 直接积分法(公式法)

从解题方面来看，利用不定积分的定义来计算不定积分是非常不方便的，利用不定积分的运算性质和基本积分公式从而直接求出

不定积分，这种方法就是直接积分法(另称公式法)。

下面先给出基本求导公式：

(1)k kx =)'( (2) x x

1)'(-=μμμ (3) x

x 1

)'(ln = (4) x x 211)'(arctan += (5) x x 2

11)'(arcsin -=

(6) a

x x a ln 1

)'(log =

(7) e e

x x =)'( (8) x x cos )'(sin = (9) x x sin )'(cos -=(10)

x x sec )'(tan 2=

(11) x x csc )'(cot 2

-=。

根据以上基本求导公式，我们不难导出以下基本积分表： (1)

)(是常数k C kx kdx +=?

(2))1(1

1

-≠++=+?μμμμ

C x dx x

(3) C x x

dx

+=?ln (4) C x dx x +=+?arctan 112

(5)

C x dx x +=-arcsin 112

(6)

C a a dx a x

x

+=?ln

(7)

C e dx e x

x

+=? (8) C x xdx +=?sin cos

(9) C x xdx +-=?cos sin (10) C x xdx +=?tan sec 2

(11)

C x xdx +-=?cot csc 2

。

下面举例子加以说明：

例2.1：求?

+-dx x x )143(2 解 原式=?

??+-dx xdx dx x 432

=???+-dx xdx dx x 432

= )()2

(4)3(3322

13C x C x C x +++-+ =C x x x

++-23

2 注意：这里三个积分常数都是任意的，故可写成一个积分常数。所以对一个不定积分，只要在最后所得的式子中写上一个积分常数即可，以后遇到这种情况不再说明。

例2.2：求dx x x

?+1

22

解 原式=dx x x ?+-+11

)1(2

2=??+-12x

dx dx =C x x +-arctan

注：此处有一个技巧的方法，这里先称作“加1减1”法，相当于是将多项式拆分成多个单项式，然后利用基本积分公式计算，下面的例题中还会遇到类似的题型，遇到时具体讲解。

直接积分法只能计算较简单的不定积分，或是稍做变形就可用基本积分表解决的不定积分，对于稍微复杂一点的不定积分便无从下手，所以，下面我们将一一讨论其他方法。 3 第一类换元法(凑微法)

利用基本积分公式和积分性质可求得一些函数的原函数，但只是这样远不能解决问题，如

xdx x cos sin 2

?

就无法求出，必须将它进行变形，然后就可以利用基本积分公式求出其积分。

如果不定积分?dx x f )(用直接积分法不易求得，但被积函数可

分解为

)()]([)(x x g x f ??'=，

作变量代换)(x u

?=，并注意到)()(x d dx x ??='，则可将关于变

量x 的积分转化为关于u 的积分，于是有

???='=.)()()]([)(du u g dx x x g dx x f ??

如果

?du u g )(可以求出，不定积分?dx x f )(的计算问题就解决了，这就是第一类换元法(凑微分法)。

注：上述公式中，第一个等号表示换元u x =)(?，最后一个等号表示回代)(x u ?=.

下面具体举例题加以讨论

例3.1：求?

+dx x )12(10

. 解原式=?'++dx x x )12()12(2

110

=)12()12(2

110

++?x d x u

x =+12?+?=C du u u 11

212111

1012+=x u C x ++)12(22111 对变量代换比较熟练后，可省去书写中间变量的换元和回代过程。

例3.2：求)(25

81

2

x d x x ?+-. 解 原式)(9)4(12

x d x ?+-=)(1

)3

4(1

3122x d x ?+-= )34

(1

)3

4

x (131

2

-+-=

?

x d C x +-=3

4arctan 31 例3.3：求?-x dx 21

解 )11

11(21)1)(1(1112

x x x x x -++=+-=- ∴]1)

1(1)1([21112

???---++=-x x d x x d x C x x +--+=]1ln 1[ln 2

1

C x

x +-+=11ln 21 在这里做一个小结，当遇到形如：?++c bx x a dx

2的不定积分，

可分为以下3中情况：

=?c bx x a ++2的：

①?大于0时。可将原式化为))((21x x x x --， 其中，x 1、x 2为02

=++c bx x

a 的两个解，则原不定积分为：

?--))((21x x x x dx ])()()()([)(1221112??------=x x x x d x x x x d x x

C x x x x x x +---=2

1

12ln )(1 ②?等于0时。可利用完全平方公式，然后可化成?---)()(2

k x d k x 。

然后根据基本微分公式(2)便可求解。

③?小于0时。形如例4，可先给分母进行配方。然后可根据基本积分公式(4)便可求解。 例3.4： 求?

xdx sec 解 原式???

-===x x

d x

xdx x dx sin 1sin cos cos cos 2

2 ?

-+=)sin 1)(sin 1(sin x x x

d

])

sin 1(sin )sin 1(sin [21??-++=x x d x x d C x

x +-+=sin 1sin 1ln 21 该题也可利用三角函数之间的关系求解：

原式dx x x x x x ?++=tan sec tan sec sec 2

)tan (sec tan sec 1

x x d x

x ++=?

C x x ++=tan sec ln .

虽然两种解法的结果不同，但经验证均为x sec 的原函数，这也就体现了不定积分的解法以及结果的不唯一性。

例3.5：求xdx ?cos 2

.

解xdx ?

cos 2

)2cos (2

1

22cos 1???+=+=xdx dx dx x ??+=)2(2cos 4

1

21x xd dx C x x ++=4

2sin 2 例3.6：求?

xdx sec 6

.

解?xdx sec 6

?=xdx x sec )sec 2(22?+=)(tan )tan 21(2

x d x

?++=)(tan )tan tan 21(42x d x x C x x x +++=tan 5

1

tan 32tan 53

注：当被积函数是三角函数的乘积时，拆开奇次项去凑微分。当被积函数为三角函数的偶数次幂时，常用半角公式通过降低幂次的方法来计算；若为奇次，则拆一项去凑微，剩余的偶次用半角公式降幂后再计算。

例3.7：求?-dx x x )

1(1002

. 解 原式?

-+-=

dx

x x )

1(11100

2

?-+-+=dx x x x ])1(1)1(1[100

99 ?-+-+-=dx x x x ])

1(1)1(21[100

99

?--+-+-=)1(])

1(1

)1(2)1(1[100

9898x d x x x C x x x +------=---)1(99

1)1(491)1(9719998

97

注：这里也就是类似例2所说的方法，此处是“减1加1”法。 4 第二类换元法

如果不定积分?dx x f )(用直接积分法或第一类换元法不易求得，但作适当的变量替换)(t x ?=后，所得到的关于新积分变量t 的不定积分

?'dt t t f )()]([??

可以求得，则可解决?dx x f )(的计算问题，这就是所谓的第二类换元(积分)法。

设)(t x

?=是单调、可导函数，且0)(≠'t ?，又设)

()]([t t f ??'具有原函数)(t F ，则

?dx x f )(?'=dt t t f )()]([??C t F +=)(C x F +=)]([ψ，

其中)(x ψ是)(t x ?=的反函数。

注：由此可见，第二类换元积分法的换元与回代过程与第一类换元积分法的正好相反。

例4.1：求不定积分

)0(2

2>-?

a dx x a .

解 令t a x sin =，则tdt a dx cos =，)2,2(ππ-∈t ，所以

dx x a ?

-2

2

dt t a t a ??=cos cos dt t a ?

+=)2cos 1(22

C t t a ++=)2sin 21(22C t t t a ++=)cos sin (2

2

为将变量t 还原回原来的积分变量x ，由t a x sin =作直角三角形，可知a

x

a t 2

2cos -=

，代入上式，得 dx x a ?

-2

2

C x a x a x a +-?+=2

22

2

arcsin 2 注：对本题，若令t a x cos =，同样可计算。

例4.2：求不定积分

)0(12

2

>+?

a dx a

x .

解 令t a x tan =，则tdt a dx sec

2

=，)2,2(ππ-∈t ，所以

dx a

x ?

+2

21

?=?=tdt tdt a t a sec sec sec 12

C t t 1tan sec ln ++=

C a x x +++=22ln

例4.3：求不定积分

)0(12

2

>-?

a dx a

x .

解 令t a x sec =，则tdt t a dx tan sec ?=，)2,0(π∈t ，所以

x

dx a

x ?

-2

2

1

?=?=tdt dt t

a t

t a sec tan tan sec

C t t 1tan sec ln ++=

C a x x +-+=22ln

注：以上几例所使用的均为三角代换，三角代换的目的是化掉根

式，其一般规律如下：若果被积函数中含有x a 22-时，可令

t a x sin =，)2,2(ππ-∈t ；如果被积函数中含有a x 22+，可令

t a x tan =，)2,2(ππ-∈t ；如果被积函数中含有

a x 2

2-；可令

t a x sec ±=，)2,0(π∈t .

例4.4：求不定积分?-+e

e dx

x x

解 令)0(>=t e t x

，则t x ln =，所以，t dt

dx =。

∴?-+e

e dx x

x dt t

t t ?+

=11

dt t ?

+=211 C t +=arctan C e x +=arctan .

例4.5：求不定积分

?

-x

xdx 2

32.

解

?

-x xdx

2

32?-=x x d 2

23221(变形).

令)0(322

≥-=t x t ，∴3222t x -=.tdt dx 3

22

-=

原式?-=)32(121tdt t ?-=dt 3

1C x +--=23231 关于第二类换元法，就举些例子说明，具体要多做大量的习题，这样才能找到该怎么样换元的感觉，才能更好的掌握这种方法。

5 分部积分法

前面所介绍的换元积分法虽然可以解决许多积分的计算问题，但

有些积分，如dx e x x

?、dx x x ?

cos 等，利用换元法就无法求解.接下

来要介绍另一种基本积分法——分部积分法.

设函数)(x u u =和)(x v v =具有连续导数，则udv vdu uv d +=)(移项得到vdu uv d udv -=)(，所以有

??-=vdu uv udv ，

或 ??'-='vd u uv dx v u .

上面两个式子称为分部积分公式.

利用分部积分公式求不定积分的关键在于如何将所给积分 dx x f ?)(化成?udv 的形式，使它更容易计算.所采用的主要方法就是凑微分法，例如，

???

+-=+-=-==C e x C e e x dx e e x e xd dx x x

x x x x x e x )1( 利用分部积分法计算不定积分，选择好u,v 非常关键，选择不当将会使积分的计算变得更加复杂。下面将通过例题介绍分部积分法的应用。

例5.1：求不定积分dx x x ?

cos . 解令x u =，dv x d xdx ==sin cos ，则

C x x x dx x x x x xd dx x x ++=-==???cos sin sin sin sin cos

有些函数的积分需要连续多次应用分部积分法。

例5.2：求不定积分

dx e x x

?2

.

解 令x u 2

=和dx e dv x =，则 dx e

x x

?2

dx e x e xd x

x ?

-=2. 对后面的不定积分再用分部积分法，

dx e x x ?C e e x e d x x

x x +-==?

(运算熟练后，式子中不再指出u 和v 了)，代入前式即得

dx e x x

?2

C e x x x

++-=)22(2. 注：若被积函数是幂函数(指数为正整数)与指数函数或正(余)弦函数的乘积，可设幂函数为u ，而将其余部分凑微分进入微分符号，使得应用分部积分公式后，幂函数的幂次降低一次(幂指相碰幂为u)。

例5.3：求不定积分?

xdx x arctan .

解 令x u arctan =，

22

x d xdx =,则

?xdx x arctan ?-=)(arctan 2arctan 2

2

2

x d x x x dx x

x x ?+-?-=)111(21arctan 22

2

C x x x x +--=)arctan (2

1arctan 22

注：若被积函数是幂指函数与对数函数或反三角函数的乘积,可设对数函数或反三角函数为u ，而将幂函数凑微分进入微分号，使得应用分部积分公式后，对数函数或反三角函数消失(幂对角(反三角函数)，对角u).

例5.4：求不定积分dx x e x

?sin .

解 dx x e x ?sin e d x x

?

=sin (取三角函数为u) )(sin sin x d e x e x x ?-= xdx e x e x x cos sin ?-=

e d x x e x x ?-=cos sin (再取三角函数为u) )cos cos (sin x d e x e x e x x x ?--= ?--=xdx e x x e x x sin )cos (sin

解得

dx x e x

?sin C x x e x

+-=)cos (sin 2

注：若被积函数是指数函数与正(余)弦函数的乘积时，u,dv 可随意选取，但在两次分部积分中，必须选用同类型的u ，以便经过两次分部积分后产生循环式，从而解出所求积分(指正余，随意选).

下面将分部积分法关于u,dv的选择总结成一个表，以便于更好学习，如下：

分类不定积分类型u和υ'的选择

I II III

?xdx

x

p

n

sin

)

(

?xdx

x

p

n

cos

)

(

?dx

e

x

p x

n

)

(

?xdx

x

p

n

ln

)

(

?xdx

x

p

n

arcsin

)

(

?xdx

x

p

n

arccos

)

(

?xdx

x

p

n

arctan

)

(

?xdx

e x sin

?xdx

e x cos

x

x

p

u

n

sin

),

(='

=υ

x

x

p

u

n

cos

),

(='

=υ

x

n

e

x

p

u='

=υ

),

(

)

(

,

ln x

p

x

u

n

='

=υ

)

(

,

arcsin x

p

x

u

n

='

=υ

)

(

,

arccos x

p

x

u

n

='

=υ

)

(

,

arctan x

p

x

u

n

='

=υ

x

e

x

u='

=υ,

sin或x

e

u x sin

,='

=υ

x

e

x

u='

=υ,

cos或x

e

u x cos

,='

=υ

6结论

上面所介绍的都是常见不定积分的求解方法，根据不同的题的特

点采取上述不同的方法，好多题要经过适当变形后才能应用上述方法，有的题经过不同的变形，应用不同的方法，计算结果就会不同。因此，不定积分的计算灵活性很强，必须熟练掌握上述方法，而这就与做大量的练习是密不可分了，题做得多了，自己也就会积累更多的经验，这样解起题来才能得心应手，才能熟练自如的应用，而且，定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的各种问题也能迎刃而解。

参考文献

[1]吴赣昌．高等数学(理工类)[M] ．:中国人民大学，2008.1：130-149

[2]周城璧．高等数学[M] ．:高等教育，1987.10：186-201

[3]X方盛．高等数学(化、生、地类专业)[M] ．：人民教育，1979.2：105-121