数列求和的常用方法

数列求和的常用方法（I ）求数列｛a n｝的通项公式;

主要方法：

为S n，且S , S2, S4成等比数列。

1 ?求数列的和关键是看数列的通项公式形式注意方法的

选取：

2 ?求和过程中注意分类讨论思想的运用；转化思想的运

用；

一、公式法

二、分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转

化为等差或等比数列，再求和。

1、求和：① S n =1 11 111：；…川11 1

n个

②

1 .

2 . 2 1 .2 . n 1 . 2

S n =（X —）（X —）（X -—）

XX X

③求数列1, 3+4 , 5+6+7, 7+8+9+10,…前n 项

和S n

2、求数列的前n项和：

1 1 1

1 1, 4,p 7,,百3n -2，…

a a a

三、合并求和法：

2 2 2 2 2 2

1、求100 -99 98 -97 ::;■…川，2 -1 的

和。

2、1-2+3-4+5-6+7-8+9- .......... .+ （-1）、

3 （2014山东19文）

在等差数列a ? 中，已知d = 2 , a2是a1

与a4等比中项.

（I）求数歹列a 1的通项公式；

（“）设b n =a nn 1 ,

~2~

记T n 二-b| b2 - b3 II I -1 b n，求T n .

4. （ 2014 山东19 理）

已知等差数列｛a n｝的公差为2，前n项和

A门

(II )令b n = (-1)n， ----------------- ,求数列｛b n｝的前n

a n a n 1

项和T n。

5、（2011山东理数20）等比数列1a n? 中,

a1,a2, a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a! ,a2, a3中的任何两个数不在下表的同一列.

（I

（n）若数列满足：

b n = a n ? -T ln a n，求数列的前n项和S n ?

6、（2011山东文数20）等比数列：a"中，

a1,a2, a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且4,a2, a3中的任何两个数不在下表的同一

列.

(I)求数歹列的通项公式；

(n)若数列Ib n?满足：

b n 二a n ?(-1)n lna n，求数列〈b n?的前

2n项和S2n ?

四、错位相减法：A.P. X G.P.

1、已知数列

2 n」

1,3a,5a , ,(2n -1)a (a = 0)，求前n项

和。

2、

S n=1 3x 5x2 7x3(2n -1)x nJ

2 4 6 2n ?皿工

3、求数列_, p , 3，…；孑，…前n项的和

2 22 2

3 2n

4、求数列｛n 2n｝前n项和.

5、设｛a n｝是等差数列，｛b n｝是各项都为正数的等比数列，且a1 = bi = 1, a3■ b5 = 21,

a5 ' b3 —13

(I)求｛a n｝，｛b n｝的通项公式；

「a 1

(n)求数列n的前n项和S n.

IbJ

7、已知等差数列｛a n｝的前3项和为6,前8项和为-4。

(I)求数列｛a n｝的通项公式；

n 1 * (n)设b n =(4 -a n)q (q =0,nN)，求

数列｛b n｝的前n项和S n 8、求数列｛2nT 3n｝前n项和.

9、求数列丄,32上，…，咎1的前n项

2 4 8 16 2n

和.

10、已知等差数列｛a n｝的前3项和为6，前8项和为-4。( 1)求数列｛a n｝的通项公式；

n 1 *

(2)设b n =(4 -a n)q —(q = 0, n N )，求数

列｛b n｝的前n项和S n

11、等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知对任

意的n?N ?，点(n,S n)，均在函数

x

y =b r(b 0且b = 1,b, r均为常数)的图像

上.

(1 )求r的值；

n +1 +

(2)当b=2 时，记b n(n ? N )

4a n

求数列｛b n｝的前n项和T n

12、( 07山东理17)设数列:a n/满足

a1 - 3a2 32a3…3n'a n二￡，a N

(I)求数列〈a n?的通项；

13. (2009山东卷文)(本小题满分12分)

等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知对任意的

n N，点(n,S n)，均在函数

y=b x，r(b 0且b = 1,b, r均为常数)的图像

上.

(n)求数列、b nf的前n项和S n.

(1) 求r的值;

(11)当 b=2 时，记

b n =

(I )求a n 与a n 」的关系式，并求｛ a n ｝的通项 数列｛b n ｝的前n 项和T n

五、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、 正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式：

1 1

+ ——+…+ — -------------------------------

a 3 - 1 a n .1 _ 1

9、( 2010山东文理数)已知等差数列CaJ 满足:

n(n 1)

a 5 a^ = 26， [ a n f 的前n 项和为

n(n 2)

11.已知数列｛a n ｝的通项公式为a n

5、求数列

2

???

2

???

2

???

2

sin 1 sin 2 sin 3 亠 亠 sin 89

7、数列｛ a n ｝的前n 项和为S n ，且满足 印=1,

1、在数列｛ a n ｝中，已知 a 1 - -20, a n d = a n '4，

求的值

2、若数列春的通项公式为

求数列'a n '的前n 项和S

n(n 2) ，…的前n 项和 6.求

3、求 cos1° + cos2° + cos3° + ??? + cos178 ° + cos179°

七、带绝对值号的数列求和

公式； (II )求和

S n ?

(2n —1)(2n 1)T (2^

1、求和

S 一工

S n '

13

(2n)2

(2n _ 1)(2n T)

(])求

(H)令

项和T n .

a n 及 S n ；

b n =

2

1

(n N )，求数列 的前n

a n

一1

2、求数列

3、 a n 在数列｛a n ｝

中，

1 2 —，又

n 1 n 1 n 1

b n

a n

-一，求数列｛b n ｝的前n 项的和.如

n 十1

■an 1

1 1 1 Tn

- -

-，求 Tn .

a 1 a 3

a 2 ，a 4

a n 'a n 七

六、倒序相加法求和

cos 21 cos 2 2" cos 2 3“ HIIH cos 2 89’

2、求

2S n =(n 1)a n ,

a n 二 3n -12，

(四)巩固练习:

sin 2V sin 22「sin 23「|||川-sin 2 89 .

2?已知数列｛a n ｝的通项

6n-5 (n 为奇数) a n

，求其前n 项和S n .

(1) 5, 55, 555, 5 5555，…，工(10n -1)，…; 9 1 (3)

(4) 5

、

1 3

2 4

1 , ，丄」1(, ，川；

3 5 n(n ? 2)

1 —n 、n-1； a,2a 2,3a 3, ,na n 川)； 1 3,

2 4,

3 5, ,n(n 2),]||； (6)

n2n(n为偶数)n