匈牙利算法在企业员工指派问题的应用(最终版)

闽江学院

本科毕业论文

题目匈牙利算法在企业员工指派问题的应用学生姓名张雯

学号120080901139

系别数学系

年级2008级

专业数学与应用数学

指导教师林耿

职称讲师

完成日期2012年4月10日

闽江学院毕业论文诚信声明书

本人郑重声明：

兹提交的毕业论文(设计)《匈牙利算法在企业员工指派问题的应用》,是本人在指导老师林耿的指导下独立研究、撰写的成果；论文(设计)未剽窃、抄袭他人的学术观点、思想和成果,未篡改研究数据,论文(设计)中所引用的文字、研究成果均已在论文(设计)中以明确的方式标明；在毕业论文(设计)工作过程中,本人恪守学术规范,遵守学校有关规定,依法享有和承担由此论文(设计)产生的权利和责任.

声明人(签名)：

2012年4月10日

摘要

在当今社会，竞争无处不在，企业的竞争也是如此.而员工指派问题又是企业不得不面对的问题.因此，企业员工指派问题就显得非常重要了，谁能够在这方面做的好，谁就能在竞争中多一分胜算.企业员工指派问题是指企业安排若干人员去完成若干项任务（任务和人数不一定相等），并且要求完成的效率最高.对于这一问题，匈牙利算法就是一个很好的解法.本文首先给出企业员工指派问题的数学模型，它分为两大类，一类是标准指派问题（即企业指派员工数与任务数相等），另一类是非标准指派问题（即企业指派员工数与任务数不相等），其次，在对匈牙利算法及其原理深入理解的基础上，利用匈牙利算法对企业员工指派问题的数学模型进行求解.其中，用标准的匈牙利算法求解标准的指派问题，对于非标准的指派问题，先把它进行适当的变换，然后用标准的匈牙利算法求解.再次，讲述了匈牙利算法的一些缺点及其改进，把匈牙利算法用C语言表示出来，并把它运用到实际的企业员工指派问题当中.最后，讲述了匈牙利算法的应用推广.

关键词：匈牙利算法;员工指派问题;运筹学;效益矩阵

Abstract

In modern society, competition exists everywhere, so does the competition among enterprises. Staff assignment is of great importance to enterprises. Those who do well in it will get more chances to win in the competition. Enterprise staff assignment is that enterprises assign a number of employees to accomplish some tasks in high efficiency ( The number of tasks is not necessarily equivalent to that of assigned staff ).

To solve this problem, the hungary algorithm is the best choice. In this thesis, the author firstly illustrates the enterprise staff assignment, which includes normal assignment problem and abnormal assignment problem. Secondly, the author solves the enterprise staff assignment with the hungary algorithm in two ways: one is normal hungary algorithm used to solve the normal assignment problem, the other is abnormal hungary algorithm used to solve the abnormal assignment problem. Thirdly, the author points out some defects and offers some improvements of the hungary algorithm, and write it in C language. At last, the author gives some examples of the application of the hungary algorithm.

Key words：hungary algorithm ;staff assignment problem; Operations Research; profit matrix

目录

1. 引言 (1)

2.指派问题的数学模型 (1)

2.1 指派问题 (1)

2.2指派问题的数学模型 (2)

3.匈牙利算法的基本原理及解题步骤 (2)

3.1 匈牙利算法的基本原理 (2)

3.2匈牙利算法的解题步骤 (3)

4.匈牙利算法求解员工指派问题的模型假设与符号说明 (3)

4.1 匈牙利算法解员工指派问题的模型假设 (3)

4.2 符号说明 (4)

5.企业员工指派问题的模型建立与求解 (4)

5.1标准指派问题（当m=n时，即为每个人都被指派一项任务） (4)

5.2非标准指派问题 (6)

6.匈牙利算法的缺点、改进以及C语言实现 (12)

6.1 匈牙利算法的缺点 (12)

6.2 匈牙利算法的改进 (14)

6.3 匈牙利算法的C语言实现（附录） (15)

7.匈牙利算法的应用推广 (15)

8.结束语 (17)

参考文献 (18)

附录 (19)

致谢 (22)

匈牙利算法在企业员工指派问题的应用

张雯

（闽江学院 数学系；福建 福州 350108）

1. 引言

当今社会，人力资源规划在企业人力资源管理活动中具有重要的地位和作用.人力资源规划是指为实施企业的发展战略，完成企业的生产经营目标，根据企业内外环境和条件的变化，运用科学的方法，使企业的人力资源和需求达到平衡，实现人力资源的合理配置，有效激励员工的过程.而企业员工指派问题在人力资源规划中又是必不可少的，为了使人力资源管理的“大才大用，小才小用，人尽其才，岗得其人，能位匹配”的基本原则[4]得以实现.因此，企业员工指派问题就显得很重要了，而匈牙利算法就是求解人员与工作任务配置合理化、科学化的一个好方法.

“匈牙利算法”最早是由匈牙利数学家考尼格（D.Koning ）用来求矩阵中0元素的个数的一种方法，由此他证明了“矩阵中独立0元素的最多个数等于能覆盖所有0元素的最少直线数”.[7]1955年由库恩（W.W.Kuhn ）在求解著名的指派问题时引用了这一结论，并对具体算法做了改进，仍然称为“匈牙利算法”.解指派问题的匈牙利算法是从这样一个明显的事实出发的：如果效率矩阵的所有元素0ij a ≥，而其中存在一组位于不同行不同列的零元素，则只要令对应于这些零元素位置的1ij x =，其余的0ij x =，则11m

m

ij ij i j z a x ===∑∑就是问题的最优解.

2.指派问题的数学模型

2.1 指派问题

从运筹学中，我们知道工作中常遇到这样的问题：有m 项任务需要n 个人来承担，每个人都能完成其中的每项任务，只是由于每个人的特点与专长不同，每个人完成各项任务所需的时间、费用或所产生的效益各不相同，又因为任务性质

的要求和管理上的需要等原因，每项任务只能由一个人来完成，每个人也只能承担其中的一项任务.问应指派哪个人去完成哪项任务才能使完成各项任务花费的总时间最短或总费用最少，或所产生的总效益最佳.我们把这类最优匹配问题称为指派问题.[10]

2.2指派问题的数学模型

设用()ij 0,1,2,,C i j n >=L 表示指派第i 人去完成第j 项任务时所用的时

间，定义决策变量1,0ij x ?=??当指派第i 人去完成第j 项任务时，当不指派第i 人去完成第j 项任务

，则指派问题可转

化为0-1线性规划问题： i 11

1

1

min 1,1,2,,.1,1,2,10,,1,2,,n n

ij ij

j n ij i n

ij i ij Z C x x j n s t x j n x i j n

====?

=??

?

==????==??==?

∑∑∑∑或L L L

3.匈牙利算法的基本原理及解题步骤

3.1 匈牙利算法的基本原理

简要地讲，求指派问题的最优解就是要在n 阶系数方阵中找到n 个这样的元素：它们分布在方阵的不同行、不同列上，并且这些元素之和为最小[1].而要使这些元素之和为最小，就要使其中的每一个元素尽可能的小——最好这些元素都是其所在行和列上的最小元素.

而指派问题的最优解又有这样的性质（定理1）[2]：如果从分配问题效率矩阵ij C ????的一行（列）各元素中分别减去该行（列）的最小元素，得到新的矩阵ij B ????为效率矩阵求得的最优解和用原效率矩阵ij C ????求得的最优解相同.

由于新矩阵ij B ????中每行、每列的最小元素均为“0”，因此，求原指派问题的最优解就转化为在新矩阵ij B ????中找出n 个分布在不同行、不同列上的“0”元素（简称为独立0元素[8]），这些独立0元素就是新矩阵ij B ????的最优解，找到新矩阵的最优解也就找到原矩阵的最优解了.

要在矩阵ij B ????中找到几个分布在不同行、不同列上的“0”元素，前提首先是在矩阵ij B ????中确定存在几个这样的“0”元素.那么，如何判断在矩阵ij B ????中是否存在n 个这样的独立0元素呢？考尼格（Koning ）证明了这样一个定理（定理2）[3]：“覆盖所有’0’元素的最少直线数等于矩阵中独立0元素的最多个数.”利用这一定理，就可以通过寻找“能覆盖所有0元素的最少直线”来确定矩阵ij B ????中独立0元素的具体数量。倘若矩阵ij B ????中独立0元素的数量小于矩阵的阶数n ，就得继续对矩阵ij B ????进行化简，直到有了n 个独立的0元素为止，找到这n 个独立0元素也就找到了原指派问题的最优解.这就是匈牙利算法的基本思路.

3.2匈牙利算法的解题步骤

第一步，对耗费矩阵C 进行行（或列）约减，即每一行（或列）数据减去本行（或列）数据中的最小数，得矩阵1C ；

第二步，检查矩阵1C ，若矩阵1C 各行各列均有“0”，则跳过此步，否则进行列（或行）约减，即每一列（或行）数据减去本列（或行）数据中的最小数，得矩阵2C ;

第三步，画盖“0”线.即画最少的线将矩阵2C 中的0全部覆盖住，得矩阵3C ； 第四步，数据转换.若“盖0”线的数目等于矩阵的维数则直接跳到第六步，若“盖0”线的数目小于矩阵的维数则进行数据转换，进行数据转换的操作步骤如下：（1）找出未被“盖0”线覆盖的数中的最小值λ （2）将未被“盖0”线覆盖住得数减去λ （3）将“盖0”线交叉的数加上λ

第五步，重复第三步和第四步，直到“盖0”线的数目等于矩阵的维数. 第六步，求最优解.对n 维矩阵，找出不同行，不同列的n 个“0”，每个“0”的位置代表一对配置关系，具体步骤如下：

（1）先找只含有一个“0”的行（或列），将该行（或列）中的“0”打“?” （2）将带“?”的“0”所在列（或行）中的“0”打“?”

（3）重复（1）步和（2）步至结束.若所有行列均含有多个“0”，则从“0” （4）的数目最少得行或列中任选一个“0”打“?” 第七步，打“?”即为员工所对应的指派任务.

4.匈牙利算法求解员工指派问题的模型假设与符号说明

4.1 匈牙利算法解员工指派问题的模型假设

（1）员工数目与任务数目相等

（2）求解的是最小化问题，如工作时间最小化、费用最小化等.

4.2 符号说明

表格4-2 字母符号说明

符号

符号说明

n 表示企业指派的员工数 m 表示需要完成的任务数

ij C 表示指派第i 人去完成第j 项任务是所用的时间 ij x 表示决策变量

5.企业员工指派问题的模型建立与求解

5.1标准指派问题（当m=n 时，即为每个人都被指派一项任务）

问题的提出

假定某企业有甲、乙、丙、丁、戊五个员工，需要在一定的生产技术组织条件下，完成A 、B 、C 、D 、E 五项任务，每个员工完成每项工作所需要耗费的工作时间，如5-1所示.

表5-1 某企业员工完成任务时间汇总表 单位：(小时)

甲 乙 丙 丁 戊

A 10 5 9 18 11

B 13 19 6 12 14

C 3 2 4 4 5

D 18 9 12 17 15 E

11

6

14

19

10

请求出：员工与任务之间应当如何进行配置，才能保证完成工作任务的时间最短？最短时间为多少？ 模型的建立

员 工

任

务

设用()ij 0,1,2,,5C i j >=L 表示指派第i 人去完成第j 项任务时所用的时间，

定义决策变量1,0ij x ?=??

当指派第i 人去完成第j 项任务时

，当不指派第i 人去完成第j 项任务，则指派问题的数学模

型为： 55

i 11

51

5

1

min 1,1,2,,5.1,1,2,510,,1,2,,5

ij ij

j ij i ij i ij Z C x x j s t x j x i j ====?

=??

?

==????==??==?

∑∑∑∑或L L L 模型的求解

由题意及匈牙利算法得效益矩阵

10591811504136

1319612147130

6832

4

45102231891217159038

6

11

6

1419105

08134

4

04113

404113

6130

45

6130

450

020000

200803

638

03634

8111408111

304102

513034

130

0703523

8100C =????

→????→????

→????→进行行约减

进行列约减画“盖0线”

数据转换重复画“盖0004722

1300404603403220087

0?????

???

?

???????→”线数据转换，标记得

由此可知当员工甲负责任务A ，员工乙负责任务D ，员工丙负责任务B ，员工丁负责任务C ，员工戊负责任务E 时，才能保证完成工作任务的时间最短，且最短的时间t=10+9+6+4+10=39小时.

5.2非标准指派问题

（1）当m n >时，即企业指派的员工数小于要求完成的任务数 问题的提出

某企业安排2个员工，完成3项任务，每个员工完成每项工作的时间如表5-2[4]所示.

表5-2 某企业员工完成任务时间汇总表一 单位：(小时)

甲 乙 A 10 5 B 13 19 C

3

2

求：应如何分配任务才能保证工作时间最短？ 模型的建立

模型1 根据题意设用()ij 01,2,1,2,3C i j >==表示指派第i 人去完成第j 项任

务时所用的时间，定义决策变量ij 1,i j x =0i j ???当指派第人去完成第项任务时

，当不指派第人去完成第项任务

，则指

派问题的数学模型为： 23

ij ij

i=1j=1

2ij i=1

2ij i=1

ij minZ =C x x =1,j =1,2,3s.t x =1,j =1,2,3x =10,i =1,2,j =1,2,3

?

?

?

?

???????

∑∑∑∑或 因为该模型不能直接运用匈牙利算法求解，故我们进行如下分析：两员工负责三项任务，则必有一个员工需承担两项任务，因此增加甲’和乙’,分别表示他们完成第二项工作的情况，则上表变形为表5-3.

表5-3 某企业员工完成任务时间汇总表二 单位：(小时) 甲 甲’ 乙 乙’ A 10 10 5 5 B 13 13 19 19 C

3

3

2

2

表5-3中，员工数目多于任务数目，添加虚任务D ，得表5-4

员工

任务

员 工

任

务

表5-4 某企业员工完成任务时间汇总表三 单位：(小时)

甲 甲’ 乙 乙’ A 10 10 5 5 B 13 13 19 19 C 3 3 2 2 D

此时模型1变形为模型2

设用()ij 0,1,2,3,4C i j >=表示指派第i 人去完成第j 项任务时所用的时间，定义决

策变量1,0ij x ?=??当指派第i 人去完成第j 项任务时，当不指派第i 人去完成第j 项任务

，则指派问题的数学模型为：

44

i 11

41

4

1

min 1,1,2,3,4.1,1,2,3,410,,1,2,3,4

ij ij

j ij i ij i ij Z C x x j s t x j x i j ====?

=??

?

==????==??==?

∑∑∑∑或 模型的求解 利用

匈牙利算法求解，得效率矩阵

101055550

013131919006633221100000000

00

C =????→

进行列约减 5

500006611000000???????

?

?

?

???→画“盖0?

线标记得

.

员 工

任

务

即当乙完成A 、C 任务，甲完成B 任务时，完成工作时间最短，最短时间t=5+2+13=20小时.

（2）当m n <时，即企业指派员工数大于要求完成的任务数 问题的提出

某企业目前有5名员工，需要完成4项任务，每个员工完成每项任务的工

作时间如表5-5[4]所示.

表5-5 某企业员工完成任务时间汇总表一 单位：(小时)

甲 乙 丙 丁 戊 A 10 5 9 18 11 B 13 19 6 12 14 C 3 2 4 4 5 D

11

6

14

19

10

求：应如何分配任务才能保证工作时间最短？ 模型的建立

模型1根据题意设用()ij 01,2,,5,1,2,3,4C i j >==L 表示指派第i 人去完成第

j

项任务时所用的时间，定义决策变量

1,0ij x ?=??

当指派第i 人去完成第j 项任务时，当不指派第i 人去完成第j 项任务，则指派问题可转化为0-1线性规划问

题： 54i 11

51

51

min 1,1,2,,4.1,1,2,410,1,2,,5,1,2,3,4

ij ij

j ij i ij i ij Z C x x j s t x j x i j ====?

=?

?

?

==????==??===?

∑∑∑∑或L L L 因为该模型不能直接运用匈牙利算法求解，故我们进行如下分析：五个员工负责四项任务则必有一个员工没有任务，此时可增添一项虚任务E ，则各员工完成任务E 的时间均为0，上表变形为5-6

员 工

任

务

表5-6 某企业员工完成任务时间汇总表二 单位：(小时)

甲 乙 丙 丁 戊 A 10 5 9 18 11 B 13 19 6 12 14 C 3 2 4 4 5 D 11 6 14 19 10 E

此时模型1变形为模型2：

设用()ij 0,1,2,,5C i j >=L 表示指派第i 人去完成第j 项任务时所用的时间，

定义决策变量1,0ij x ?=??当指派第i 人去完成第j 项任务时，当不指派第i 人去完成第j 项任务

，则指派问题可转化为

0-1线性规划问题：

55

i 11

51

5

1

min 1,1,2,,5.1,1,2,510,,1,2,,5

ij ij

j ij i ij i ij Z C x x j s t x j x i j ====?

=?

?

?

==????==??==?

∑∑∑∑或L L L 模型的求解

此时可用匈牙利算法计算，得效率矩阵

员 工 任 务

10591811504136

1319612147130

6832

44510223116141910508134

0000

00

004

04125

4

04125

6130

5

7

6130

5

7

212002124081234

0812*******

1

1

101926

1605703212C ??

?=?????→?????→????

?→?????→进行行约减

画“盖0?

进行数据转换画“盖0?

进行数据转换画“盖0?

10590041

00???

?

?

即当甲分配C 任务， 乙分配A 任务，丙分配B 任务，戊分配D 任务时，工作时间最短，最短时间t=3+5+6+10=24小时. （3）当所求问题为求最大化值时

问题的提出

某企业目前有5名员工完成5项任务，每个员工完成各项任务所获得的利润如表5-7[4]所示. 表5-7 某企业员工完成任务收益汇总表一 单位：(万元)

甲 乙 丙 丁 戊 A 10 5 9 18 11 B 13 19 6 12 14 C 3 2 4 4 5 D 18 9 12 17 15 E

11

6

14

19

10

员

工

任

务

求：如何给甲、乙、丙、丁、戊分配任务，使他们完成任务总收益最大？ 问题分析

因为匈牙利算法求得是最小化问题，故我们需把最大化问题转化为最小化问题，我们取()max 1,2,,1,2,ij

e C i n j m ===L

L ，令()1,2,,1,2,i j i j b e C i n j m

=-==L L ，这样

我们就可以将最大化问题转化为最小化问题了，即11

min n

m

ij ij i j f b x ===∑∑

由题意知表5-7中最大的数据为19，用19分别减去其中的各个数据，则数据表转化为表5-8.

表5-8 某企业员工完成任务收益汇总表二 单位：(万元)

甲

乙

丙

丁

戊

A 9 14 10 1 8

B 6 0 13 7 5 C

16

17

15

15

14

D 1 10 7 2 4 E

8

13

5

9

模型的建立

设用()ij 0,1,2,,5C i j >=L 表示指派第i 人去完成第j 项任务时所用的时间，定义

决策变量1,0ij x ?=??当指派第i 人去完成第j 项任务时

，当不指派第i 人去完成第j 项任务

，则指派问题可转化为0-1

线性规划问题： 55

i 11

51

5

1

min 1,1,2,,5.1,1,2,510,,1,2,,5

ij ij

j ij i ij i ij Z C x x j s t x j x i j ====?

=??

?

==????==??==?

∑∑∑∑或L L L 模型的求解

员

工 任 务

此时可以用匈牙利算法求解，得效率矩阵

914101881390760137560137516

1715151423110110724096138

13

5

9

8

13

5

9

C =????

→进行行约减

813807494036

012756012115230102305009513095538

13

4

9

4

9

5

????→????

→进行列约减

数据转换

画“盖0?

4

9

4036

0121152

30500

95534

9

005

?????

?

?

?????→画“盖0?

即当甲分配D 任务，乙分配B 任务，丙分配E 任务，丁分配A 任务，戊分配C 任务时，他们完成的任务收益最大，最大值为18+19+14+18+5=74万元.

6.匈牙利算法的缺点、改进以及C 语言实现

6.1 匈牙利算法的缺点

1.“匈牙利算法”在各种已发表的教材、专著和研究成果中，通常求解中、小型分配问题，效能矩阵的阶数通常不超过20，故很难发现“匈牙利算法”存在的问题.事实上，匈牙利算法在处理一些特殊数据时并不有效，算法不收敛，无法找出最优解[6].

2.在匈牙利算法的求解步骤中，效率矩阵既可以先进行“行约减”也可先进行“列约减”，并没有说是先进行“行约减”还是先进行“列约减”，但是，有时先进行“行约减”要比先“列约减”复杂，增加了许多步，有时却相反，我们来看下面例题.

例题：效率矩阵[5]

1518

212419232218

26

17161917

21

23

17

A = 1.先进行“行约减”：

01518212403691923221815402617161910103172123170460026902691440144010003100030360036000490049122012201200512005014

001

4

00491220120050A ??

????

=

?????→?????→

???→?????→

???→???→

进行“行约减”

进行“列约减”

画盖0线

进行数据转换

画盖线

标记得

1

4

0?

2.先进行“列约减”：

15182124

1923221826171619

17212317

A =

01574661

110022470

?????→进行“列约减”

000

157015735

503550110

0211002247024700

1

59

1

5913

301330110

04110040

2

5

2

5

?????→

???→?????→

???→进行“行约减”

画盖线进行数据转换

画盖线

0004900491220122012005

12005

140

140

00491220120050140???

??

??

????→

???→

???→进行数据转换

画盖线

标记得

由此可见，先进行“行约减”比先进行“列约减”更简单. 6.2 匈牙利算法的改进

综合上面两道例题，我们知道匈牙利算法还是有一些不足的，经过我反复的实验、观察效率矩阵的特殊性，现对效率矩阵进行改进，改进之后，就能少了许多麻烦的步骤，知道是先进行“行约减”还是先进行“列约减”.匈牙利算法的改进如下：

第一步，简化效率矩阵.（1）统计效率矩阵每行的最小元素的个数总和

()R sum 和每列的最小元素的个数总和()C sum .（2）若()R s u m 和()C sum 均大于

n ，且当()()R sum C sum ≥时，则先对效率矩阵的每列减去该列的最小元素，再

对所得的效率矩阵的每行减去该行的最小元素.反之，当()()R sum C sum ≤时，则先对效率矩阵的每行减去该行的最小元素，再对所得效率矩阵的每列元素减去该列的最小元素.（3）若(

)Rs u m 和()C sum 不满足均大于n ，

且当()()R sum C sum ≤时，则先对效率矩阵的每列减去该列的最小元素，再对所得的效率矩阵的每行减去该行的最小元素.反之，()()R sum C sum ≥时，则先对效率矩阵的每行减去该行的最小元素，再对所得的效率矩阵的每列减去该列的最小元素.

第二步，检查矩阵1C ，若矩阵1C 各行各列均有“0”，则跳过此步，否则进行列（或行）约减，即每一列（或行）数据减去本列（或行）数据中的最小数，得矩阵2C

第三步，画盖“0”线.即画最少的线将矩阵2C 中的0全部覆盖住，得矩阵3C ； 第四步，数据转换.若“盖0”线的数目等于矩阵的维数则直接跳到第六步，若“盖0”线的数目小于矩阵的维数则进行数据转换，进行数据转换的操作步骤如下：（1）找出未被“盖0”线覆盖的数中的最小值λ （2）将未被“盖0”线覆盖住得数减去λ （3）将“盖0”线交叉的数加上λ

第五步，重复第三步和第四步，直到“盖0”线的数目等于矩阵的维数. 第六步，求最优解.对n 维矩阵，找出不同行，不同列的n 个“0”，每个“0”的位置代表一对配置关系，具体步骤如下：

（1）先找只含有一个“0”的行（或列），将该行（或列）中的“0”打“?” （2）将带“?”的“0”所在列（或行）中的“0”打“?”

（3）重复（1）步和（2）步至结束。若所有行列均含有多个“0”，则从“0” （4）的数目最少得行或列中任选一个“0”打“?” 第七步，打“?”即为员工所对应的指派任务. 6.3 匈牙利算法的C 语言实现（附录）

7.匈牙利算法的应用推广

匈牙利算法不仅在企业员工指派问题上有重要的应用，而且它还解决了集体比赛项目中参赛队员的出场次序问题提供了一个科学的决策方法.

例 设有A ，B,C,D 四个队员参加4100?米接力赛跑，由于各队员的心理素质、交接棒技术、起跑以及冲刺速度等原因，所跑不同棒次所用时间（单位为秒）不尽相同，见下表1[9].