初中数学相似三角形的判定定理

相似三角形的判定

教学目标

1．知道相似三角形的定义及有关概念，知道相似比为1的相似三角形是全等三角形；会读、会用 “∽”符号；能准确写出相似三角形的对应角与对应边的比例式； 2、掌握相似三角形判定的预备定理及相似三角形的判定定理1；

3、综合运用所学两个定理，来判定三角形相似，计算相似三角形的边长.

4、了解判定定理1的证题方法与思路，应用判定定理l.

一、复习

1．什么叫做全等三角形？它在形状上、大小上有何特征？ 2．两个全等三角形的对应边和对应角有什么关系？ 3、复习平行线分线段成比例定理（文字表述及基本图形） 本节学习相似三角形的定义及相关判定定理. 二、学习新课

相似三角形的概念： 我们把对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.

相似三角形的概念作为相似三角形的判定方法之一.

[说明]相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，这是和全等三角形的重要区别．两个三角形形状相同，就是他们的对应角相等，对应边成比例． 相似比的概念 ：相似三角形对应边的比k ，叫做相似比（或相似系数）．

[说明]①两个相似三角形的相似比具有顺序性． ②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形．

注：在证两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上． 类似地，如果两个边数相等的多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边的比，叫做相似比.

如图，111,ABC A B C ??是相似三角形，则111,ABC A B C ??相似可记作ABC ?∽111A B C ?.由于

111

2

AB A B =，则ABC ?与111A B C ?的相似比111

2

AB k A B =

=，则111A B C ?与ABC ?的相似比,112A B k AB ==

.

C 1

B 1

A 1

C

B

A

猜测两个三角形全等与相似的区别与联系：当两个相似三角形的相似比1k =时，这两个相似三角形就成为全等三角形，因此全等三角形是相似三角形的特例.

想一想：如果ABC ?∽111C B A ?，111C B A ?∽222C B A ?那么ABC ?与222A B C ?相似吗？利用相似三角形的定义说理.得到相似三角形具有传递性（性质）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.

思考问题：（l ）所有等腰三角形都相似吗？所有等边三角形呢？为什么？ （2）所有直角三角形都相似吗？所有等腰直角三角形呢？为什么？ 练习一：选择题

下列四组图形，必是相似形的是（ ）

Ａ、有一个角为0

40的两个等腰三角形； Ｂ、有一个角为0

50的两个等腰梯形； Ｃ、邻边之比都为2:3的两个平行四边形； Ｄ、有一个角为0

100的两个等腰三角形. 新授2：相似三角形的预备定理

l

E

D

C

B

A

l

E

D

C

B

A

l

E D C

B

A

课本通过探讨的方法，根据题设中有平行线的条件，结合定理的结论，再根据三角形的定义，从而得出了这两个三角形相似的结论，这里要强调的是：

（1）本定理的导出不仅复习了相似三角形的定义，而且为后面的证明打下了基础。 （2）由本定理的题设所构成的三角形有三种可能，基本图形在“平行线分线段成比例”出现过．

（3）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，每个比的前项是同一个三角形的三边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，做题时务必要认真仔细，如本定理的比例式，防止出现错误

（4）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，这两个三角形中相等的角所对的边就是对应边，对应边应写在对应位置．

（5）有平行就有成比例线段，有平行就有相似三角形． 我们称由预备定理得到的相似三角形为“平行线型”的相似三角形. 新授3：相似三角形的判定定理1：

如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似（两角对应相等，两个三角形相似）

.

C 1

B 1

A 1

E

D

C

B A

1.判定两个三角形全等的方法有哪几种？ SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL ．

2.全等三角形判定中的“对应角相等”及“对应边相等”的语句，用到三角形相似的判定中应如何说？ “对应角相等”不变，“对应边相等”说成“对应边成比例”．

3.我们知道，一条边是写不出比的，那么你能否由“ASA”或“AAS”，采用类比的方法，引出一个关于三角形相似判定的新的命题呢？

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．

4.如图在△ABC 和△111A B C 中，

11,A A B B ∠=∠∠=∠，△ABC 和△111

A B C 是否相似？

5.我们现在已经学习了哪几个判定三角形相似的方法？ ①相似三角形的定义，②预备定理．

6.根据本命题条件，探讨时应采用哪种方法？为什么？预备定理，因为用定义条件明显不够．

7.采用预备定理，必须构造出怎样的图形？

8.应如何添加辅助线，才能构造出上一问的图形？

（1）在△ABC 边AB （或延长线）上，截取 ，过D 作DE ∥BC 交AC 于E ．“作相似．证全等”． （2）在△ABC 边AB （或延长线上）上，截取，在边AC （或延长线上）截取AE =，连结DE ，“作全等，证相似”．（教师向学生解释清楚“或延长线”的情况）

三、巩固练习

1、已知：在△ABC和△DEF中，∠A=40°, ∠B=80°, ∠E=80°, ∠F=60°.

(1)求证: △ABC∽△DEF;

(2)写出对应边成比例的式子.

2、（1）已知:如图5-58,直线BE,DC交于A, ∠E=∠C.求证:DA·AC=BA·AE.

（2）若图形作以下变化，结论是否依然成立，请证明.

3、已知:如图,Rt△ABC中, ∠ABC=90°,BD AC于D.

(1)图中有几个直角三角形?它们相似吗?为什么?

(2)用语言叙述第(1)题的结论:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.

(3)写出相似三角形对应边成比例的表达式.

四、小结

1、相似三角形的定义，相似比的概念

2、三角形相似与全等的判定方法的类比.

3、三角形相似的判定定理1，并强调判定相似需且只需两个独立条件.

4、常用的找对应角的方法：①已知角相等;②已知角度计算得出相等的对应角;③公共角;

④对顶角;⑤同角的余(补)角相等.

1、相似三角形的概念是本节的重点也是本节的难点.相似三角形是研究相似形的最重要和最基本的图形，是在全等三角形知识的基础上的拓广和发展，全等形是相似形的特殊情况，研究相似三角形比研究全等三角形更具有一般性.

2、相似三角形的预备定理和相似三角形的判定定理的证明，类比全等三角形学习.

3、理解常见图形，掌握常用的找对应角的方法.

相似三角形的判定

教学目标

1．掌握相似三角形的判定定理2;

2、会运用所学的两个定理判定三角形相似，计算相似三角形的边长等.

3、了解判定定理2的证题方法与思路, 应用判定定理2. 一、复习引入

1．问题1：什么叫做相似三角形？它们在形状上、大小上有何特征？什么叫做相似比?结合图形复述相似三角形的预备定理和判定定理1. 2．两个全等三角形的对应边和对应角有什么关系？ 3.类比全等三角形的“边角边”，我们来看问题

2.

C 1

B 1

A 1

C

B

A

E

D

C

B A

本节学习相似三角形判定定理2.

问题2：如上图，在ABC ?和111A B C ?中，如果1A A ∠=∠,

1111

AB AC

A B AC =那么ABC ?和111A B C ?相似吗？

分析：ADE ?≌111A B C ?（SAS ），再利用三角形一边的平行线判定定理，得到DE //BC ，可以转化为相似三角形预备定理中的平行线.

新授1：相似三角形的判定定理2的推导及文字和符号表述.

通过问题2，得到相似三角形的判定定理2：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似. 简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.ABC C A AC

B A AB A A ?∴=∠=∠1

1111,

∽111C B A ? 新授2：相似三角形的判定定理2的应用

例题1 已知如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，OA =1，0B =1.5,0C =3,OD=2.求证:OAD ?与OBC ?是相似三角形.

O

D

C

B A

分析：判断是否有成比例的线段,再利用判定定理2. 议一议:图中是否还有相似三角形? 答：OAB ?∽ODC ?

问题:(1)两条直角边对应成比例的两个直角三角形是否相似?为什么?

(2)等腰三角形ABC 与等腰三角形DEF 有一角相等,这两个三角形是否相似?为什么? 例题2 已知如图,点D 是ABC ?的边AB 上的一点,且AB AD AC ?=2

.

求证:ACD ?∽ABC ?.

D

C

B

A

分析:已知条件AB AD AC ?=2是一个乘积式,将它改写成比例式,得到

AD AC

AC AB =

,观察这个比例式中的四条线段结合图形,可以依据相似三角形的判定定理2推出结论.这是比较

困难的技巧问题,也是证题的关键步骤. 三、巩固练习

练习1:书后练习24.4(2)/1 练习2：（1）书后练习24.4(2)/2

（2）D 在的△ABC 边AB 上,且2

AC =AD ?AB ，则△ABC ∽△ACD ,理由是___________________ .

（3）一个直角三角形的两边长分别为3和6,另一个直角三角形的两边长分别为2和4,那么这两个直角三角形__________________ 相似.(填“一定”、“不一定”或“一定不”)

（4）如图，在ABC ?中，若AED B ∠=∠，则下列比例式正确的是：

E

D

C

B A

()

AD AE A BD EC = ()AD AC B AE AB = ()DE AE C BC BD = ()AC AD

D AB ED =

练习3:补充

(1)在ABC ?和DEF ?中,

00

36,12,15,36,16A AB AC D DE ∠===∠==则当DF =______时, ABC ?∽DEF ? .

(2)如图,P 为AB 上一点(AB >AC ),要使ACP ?∽ABC ?,可添加一个条件_____. (3) 如图，D 是△ABC 一边BC 上的一点，△ABC ∽△DBA 的条件是

( )

()

AC AD A BC BD = ()AC AB

B B

C A

D =

(C)BC CD AB ?=2

(D)BC BD AB ?=2

（4）如图，在ABC ?中，AB =AC ，D 点是CB 的延长线上一点，E 是BC 延长线上的一点，且满足2

AB =DB ·CE.

求证：（1）△ADB ∽ △EAC （2）若∠BAC =0

40，求∠DAE 的度数.

C

B

D

E

A

四、课堂小结

1、三角形相似与全等的判定方法的类比.

2、三角形相似的判定定理2，并强调判定相似需且只需两个独立条件.,强调对应边成比例. 五、作业布置

书后练习1-3，练习册24.4（2） 五、教学设计说明

1、相似三角形的判定定理2是本节的重点也是本节的难点，证明的导出过程多多理解，重点理解“角”是“两条对应边的夹角”.

2、例题及练习是相似三角形的判定定理2的应用，由浅入深，图形由简单到复杂.

（3）相似三角形的判定

教学目标

1、掌握相似三角形的判定定理3；

2、会综合运用所学的三个定理判定三角形相似，进行相关证明与计算. 4. 了解判定定理3的证题方法与思路, 应用判定定理3，如网格问题.

一、复习引入 1．复述已经学习过的判定三角形相似的定理. (1)定义法：对应角相等、对应边成比例；

(2)预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形和原三角形相似.

(3)判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似；

(4)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似. 下面学习相似三角形判定定理3 二、学习新课

新授1：相似三角形的判定定理3的推导及文字和符号表述. 问题3：类比三角形全等的判定，思考猜测问题3.

如图在ABC ?和111A B C ?中，

如果1111

11AB AC BC

A B AC B C ==，那么ABC ?和111A B C ?相似吗？

C 1

B 1A 1

C

B

A

分析： 同样可以利用相似三角形预备定理来证明.

通过问题3，又得到相似三角形的判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. 简述为：三边对应成比例，两个三角形相似.

111111

AB BC CA

A B B C C A ==

ABC ?∴∽111C B A ? 新授2：相似三角形的判定定理3的应用

例题3 已知如图，D 、E 、F 分别是ABC ?的边BC 、CA 、AB 的中点.求证：DEF ?∽ABC ?. （分析：利用中位线的性质，可得两个三角形三边对应成比例，根据相似三角形的判定定理3，可得两个三角形相似） 证明：

F

E

D

C

B

A

例题4（补充）如图，在正方形网格上有两个三角形111C B A 和222C B A 求证：△111C B A ∽△222C B A

.

分析 由条件可考虑三边是否对应成比例.可设小正方形边长为1，由勾股定理可求出各自边长，再进行证明.

证明：设小正方形边长为1，则由勾股定理可求得：22B A

22B C =

11A B

11AC 22C A ＝2，11C B ＝5.

∴11B A ∶22B

A 2=

11C A ∶22C

A 2=，11C

B ∶22

C B

＝2=

∴

111111222222

A B AC B C

A B A C B C == ∴△111C B A ∽△222C B A . 三、巩固练习

练习1:书后练习24.4(3)/1

练习2：（1）书后练习24.4(3)/2（2）书后练习24.4(3)/3

（3）以下各图放置的小正方形的边长都相同，分别以小正方形的顶点为顶点画三角形，则与△ABC 相似的三角形图形为（ ）

A B C

A B C D

（4）如图，是一个正方形网络，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与ABC 不相似的是______________.

（A ）△BDE ； （B ）△BCD ；（C ）△FGH ； （D ）△BFG .

四、课堂小结

1、三角形相似与三角形全等的判定方法的类比.

2、三角形相似的判定定理3，并强调用判定3证明相需三个条件,强调对应边成比例.

3、得到判定三角形相似的方法有：(1)定义法：对应角相等、对应边成比例；(2)预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形和原三角形相似.(3)判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似；(4)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似(5) 判定定理3：三边对应成比例，两个三角形相似. 五、说明

1.相似三角形的判定定理3是本节的重点，证明的导出过程要掌握，重点理解三边对应成比例.

2.例题及练习的教学是相似三角形的判定定理3的应用，建议由浅入深，图形由简单到复杂，对于网格问题应注意解题方法

3.总结所得到判定三角形相似的方法.

B

C D

A

E F G

H

K

24.4（4）相似三角形的判定

教学目标

1．了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用．

2．通过了解定理的证明方法，提高利用已学知识证明新命题的能力． 3. 了解判定定理的证题方法与思路, 应用判定定理.

一、复习引入 1．我们学习了几种判定三角形相似的方法？（5种） 2．叙述预备定理、判定定理1、2、3，

其中判定定理1、2、3的证明思路是什么？（①作相似，证全等；②作全等，证相似）

3．什么是“勾股定理”？什么是比例的合比性质

?

C 1

B 1

A 1

C

B

A

E

D

C

B A

直角三角形全等有特殊的判定定理.同样我们要探讨判定直角三角形相似的特殊定理. 下面学习直角三角形相似的判定定理.

二、学习新课

问题4：如图,在111,Rt ABC Rt A B C ??中，如果111

1190,AC BC

C C AC B C ?

∠=∠==

， 那么111,Rt ABC Rt A B C ??相似吗？

C 1

B 1A 1

C

B A

分析： 将已知条件与相似三角形判定定理3的条件比较.

新授1：直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似.

1

11101,

90C B BC

B A AB

C C =

=∠=∠ ABC Rt ?∴∽111C B A Rt ?. 注：直角三角形的判定除了用此判定定理外，还可以用前面所学的判定定理. 新授2：直角三角形相似的判定定理的应用. 例题4 已知如图，在四边形ABCD 中，

090,BAC ADC ∠=∠

=,,AD a BC b AC ==，求证： DC BC ⊥.

D

C

B

A

例题5 已知如图，90,BAC AD BC ?∠=⊥,垂足为点D ，DE //AC .则图中共有几对相似三角形？请证明.

E

D

C

B

A

三、巩固练习

练习1：如图，在ABC ?中，AD BC ⊥于D ，下列条件:

（1）0

90B DAC ∠+∠=（2）B DAC ∠=∠（3）

CD AC

AD AB = （4）BC BD AB ?=2，其中一定能判定ABC ?是直角三角形的共有 （ ） A 、3个 B 、2个 C 、1个 D 、0个

D

C

B

A

练习4：在ABC ?中，0

90,A AC CE CD BC ∠=?=?，求证：ED BC ⊥

E

D

C

B

A

练习5：已知，在ABC ?中，090,C CD AB ∠=⊥，E 是BC 的中点，DE 交AC 的延长线于点F .求证：AD CF CD DF ?=?.

F

E

D

C

B A

四、小结

直角三角形相似的判定除了本节定理外，前面判定任意三角形相似的方法对直角三角形同样适用． 六、教学设计说明

1、直角三角形的判定定理是本节的重点也是本节的难点，证明的导出过程掌握

2、例题及练习的教学是直角三角形的判定定理的应用，建议由浅入深，图形由简单到复杂.

24.4（5）相似三角形的判定

教学目标

综合运用所学判定定理结合相似三角形的定义进行判定或计算.

根据图形特征和已知条件选择判定定理进行证明和计算.

一、复习引入

主要内容是相似三角形的判定定理(其中有任意三角形相似的三个判定定理和直角三角形相似的判定定理).

二、学习新课

新授1:

1.关于三角形的判定方法

(1)定义法：对应角相等、对应边成比例；

(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形和原三角形相似；

(3)判定定理1.两角对应相等两三角形相似；

(4)判定定理2.两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；

(5)判定定理3.三边对应成比例的两三角形相似；

(6)直角三角形相似的判定方法.

①以上各种判定方法均适用;

②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似；

③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.

2.判定定理的适用范围

(1)已知有一角相等时，可选择判定定理1与判定定理2.

(2)有两边对应成比例时，可选择判定定理2与判定定理3.

(3)直角三角形判定先考虑判定直角三角形相似的方法.还可以考虑一般三角形相似的方法.

[说明]一般不用定义来判定三角形的相似.

3.相似三角形与全等三角形判定方法的联系

4、相似三角形的判定定理的作用：

①可以用来判定两个三角形相似；

②间接证明角相等、线段成比例；

③间接地为计算线段的长度及角的大小创造条件.

5、三角形相似的基本图形：

①平行型：如图1，“A”型即公共角对的边平行，“×”型即对顶角对的边平行，都可推出两个三角形相似；

②相交线型：如图2，公共角对的边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交.图中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角（或对顶角）的两边成比例，就可以判定两个三角形相似

.

新授2: 综合运用所学判定定理结合相似三角形的定义进行判定计算

例题5 已知，在△111C B A 和△222C B A 中，AD BC ⊥，1111A D B C ⊥，垂足

D 、1D 分别在边BC 、11B C 上，且

111111

AB AD AC

A B A D AC ==

.求证：ABC ?∽111C B A ?. D 1

C 1

B 1

A 1

D C

B

A

例题6、已知：点111,,A B C 分别在射线PM 、PN 、PT 上，AB //11A B ，

BC //11B C .求证: ABC ?∽111C B A ?.

T N

M

P

C 1

B 1

A 1

C

B

A

一题多解

三、巩固练习

练习1、如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 交AC 于F ，过F 作FG ∥AB 交AE 于G .求证：2

AG ＝AF ·FC

..

练习2、如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别是BC 、AC 上的高，AD 、BE 相交于H ，则图中相似的三角形共有( )对.