数字信号处理FIR低通滤波器加窗效应分析

燕山大学

课程设计说明书

题目：FIR低通滤波器加窗效应分析

学院（系）：电气工程学院

年级专业：10级精密仪器及机械2班

学号： ***********

学生姓名： jp

指导教师：

教师职称：

电气工程学院《课程设计》任务书

课程名称：数字信号处理课程设计

基层教学单位：仪器科学与工程系指导教师：学号学生姓名（专业）班级设计题目FIR低通滤波器加窗效应分析

设

计技术参数设计一FIR低通滤波器，所希望的频率响应为)

(ωj

d

e

H在π

ω25

.0

0≤

≤之间为1，在π

ω

π≤

≤

25

.0之间为0，对h（n）加窗截断，窗口长度分别取M=10，20，40。

设

计

要

求

观测不同窗口及不同窗口长度下信号幅频响应的特点(boxcar等,fir1)

参考资料数字信号处理方面资料MATLAB方面资料

周次前半周后半周

应完成内容收集消化资料、学习MA TLAB软件，

进行相关参数计算

编写仿真程序、调试

指导教师签字基层教学单位主任签字

说明：1、此表一式四份，系、指导教师、学生各一份，报送院教务科一份。

2、学生那份任务书要求装订到课程设计报告前面。

电气工程学院教务科

目录

引言 (4)

第一章基本原理 (5)

1.1关于FIR滤波器 (5)

1.2设计原理 (5)

1.3窗函数的选择 (7)

1.4设计步骤 (10)

第二章MATLAB仿真滤波实现 (10)

2.1 MATLAB软件简介 (10)

2.2 命令介绍 (11)

第三章各种窗函数的视频幅度特性曲线 (12)

第四章仿真过程 (15)

第五章仿真结果 (16)

第六章结果分析 (17)

第七章心得体会 (18)

参考文献 (19)

引言

随着科学技术的发展，信号处理理论和分析方法已应用于许多领域和学科中。不仅是无线电、通信、电子工程等专业的主要技术，还是相关工科专业非常实用的工具。尤其是数字计算机的出现和大规模集成技术的高度发展，有力的推动了数字信号处理技术的发展和应用。

当今社会已进入信息时代，人们每天都要接触各种各样的载有信息的信号形式，如接收广播、电视信号、使用电话传送声信号等等，其目的是把不同形式的信息借助一定形式传送出去并能够准确实时的接收到信息信号处理技术的发展与应用就显得尤为重要！信号处理技术就是利用一定的部件或设备，对观测到的信号进行分析、变换、综合、识别等加工的技术，已达到提取有用信息和便于利用的目的。

对信号进行分析与处理的时候常伴有噪声，根据有用信号和噪声的不同特征，消除或削弱噪声、提取有用信号的过程即为滤波。从本质上说，滤波就是改变信号中各频率分量的相对幅度和相位。根据滤波器预处理的信号性质不同可分为模拟滤波器和数字滤波器。前者处理连续时间信号后者处理离散时间信号。其中数字滤波器又分有限长（FIR）与无限长脉冲响应（IIR）滤波器。本次设计为前者，且同时用MATIAB来仿真实现。

第一章基本原理

1.1关于FIR滤波器

设h ( n) ( n = 0， 1， 2 ?N - 1)为滤波器的冲激响应，输入信号为x ( n) ，则F IR 滤波器就是要实现下列差分方程:

式(1)就是FIR 滤波器的差分方程。F IR 滤波器的最主要的特点是没有反馈回路，因此它是无条件稳定系统。它的单位脉冲响应h ( n)是一个有限长序列。由上面的方程可见， F IR 滤波算法实际上是一种乘法累加运算，它不断地输入样本x ( n) ，经延时( Z 3 /1)做乘法累加，再输出滤波结果y(n)[1,2,3] 。对式(1)进行Z 变换，整理后可得FIR 滤波器的传递函数为:

由式(2)可以看出， FIR 滤波器的一般结构如图1 所示。

FIR数字滤波器的设计方法主要有窗函数法和频率抽样设计法，其中窗函数法是基本而有效的设计方法。

1.2 设计原理

窗函数法又称傅里叶级数法。FIR数字滤波器的设计问题就是要所设计的FIR数字滤H。从单位取样响应序列来看，就是使所设计滤波器的()n h逼近波器的频率响应()ωj d e

理想单位取样响应序列()n h d 。而且 ()ω

j d e H =()n

j n d

e

n h ω-∞

-∞

=∑ （1）

()()

ωπ

ωωπ

π

d e e H n h n j j d d ?-

=

21 （2）

通常情况下，理想的选频滤波器的()

ωj d e H 是逐段恒定的，且在频带边界处有不连续点，因此序列()n h d 是无限长的所以上面求()

ωj d e H 的式子使不能用的。这是因为：（1)滤波器的单位取样响应()n h d 是无限列长的，n/从+∞∞-~无法求和；（2）由于()n h d 是从

∞-开始，所以是非因果的，且不能用无限的延时来实现它。

采取如下方法，来解决上述问题： 1 用有限项来逼近无限项和：

2 将有限长的()n h d 进行()2/1-N 的有限延时，从而由非因果系统得到因果系统。 这种直接截取无限列长序列以得到有限长序列的办法，可以形象地比喻为()n h d 通过一个窗口所看到的一段()n h d 。因此()n h 也可以表达为()n h d 和一个窗函数()n w 的乘积，

()()()n h n w n h d =。

经过加窗处理后对理想特性会产生以下三点影响：

（1）使理想频率特性不连续边沿加宽，形成一个过渡带，过渡带的宽度等于()ωR W 的主瓣宽度N /4πω=?；

（2）在截止频率c ω的两旁N c /2πωω±=的地方（即过渡带两旁），()ωH 出现最大的肩峰值，最大肩峰值的两侧，形成长长的余振他们取决于窗口的副瓣，副瓣越多，余振也越多，副瓣相对值越大，则肩峰越强。

（3）增加窗函数的长度，只能减小窗函数的幅度频率特性的主瓣宽度，而不能减小主瓣和旁瓣的相对值，该值取决于窗函数的形状。

综上所述，在设计FIR 数字滤波器时，可以通过选择窗函数的形状和窗函数列长度设计过程进行控制。

1.3 窗函数的选择

本实验采用矩形窗和哈明窗进行FIR 低通滤波器加窗效应分析，观测不同窗口长度下信号幅频响应的特点。

为了改善滤波器的性能，需使窗函数谱满足：主瓣尽可能窄，以使设计出来的滤波器有较陡的过渡带；第一副瓣面积相对主瓣面积尽可能小，即能量尽可能集中在主瓣，外泄少，使设计出来的滤波器的肩峰和余振小逼近于理想滤波器。但是这两个条件是相互矛盾的，实际应用中，折衷处理，兼顾各项指标。

上边只考虑了矩形窗，如果我们使窗的主瓣宽度尽可能地窄，旁瓣尽可能地小，可以获得性能更好的滤波器，通过改变窗的形状来达到这个目的。在数字信号处理的发展过程中形成了不同于矩形窗的很多窗函数，这些窗函数在主瓣和旁瓣特性方面各有特点，可满足不同的要求。为此，用窗函数法设计FIR 数字滤波器时，要根据给定的滤波器性能指标选择窗口宽度N 和窗函数w(n)。下面具体介绍几类类窗函数及其特性。

（1）矩形窗（Rectangle Window)

1,01

()()0,N n N w n R n ≤≤-?==??

其他 （3）

频率响应为： ()

()()

ω

ω

ωω212/sin 2/sin --=N j j R e N e

W （4） ()

ωj R e W 主瓣宽度为N /4π，第一旁瓣比主瓣低12dB,最小主瓣衰减21dB 。

（2）汉宁窗（Hanning Window, 也称升余弦窗）

()()??

?

?

?

--????

??????????? ??

-++??? ??--+=21j e 1π21π225.05.0N R R R N W N W W W ωωωωω

式中)(ωR W 为矩形窗函数的幅度频率特性函数。当N >>1时，N-1≈N 、

汉宁窗函数的最大旁瓣值比主瓣值低31dB ，阻带最小衰减44dB 。但是幅度函数由三部分相加，是能量更加集中在主瓣中，主瓣宽度比矩形窗函数的主瓣宽度增加了1倍，为8π/N 。

（3）哈明窗（Hamming Window 改进的升余弦窗） ()()n N n n R Hn ωπω]12cos 46.054.0[??

?

??--= （5）

()

()?????????

??

-++??? ??--+=121223.054.0N W N W W e W R R R j Hn πωπωωω （6） 当N >>1时，

()()?????

???? ?

?++??? ?

?-

+≈N W N W W W R R R Hn πωπωωω2223.054.0 （7） 这种改进的升余弦窗，可将99.96%的能量集中在窗谱的主瓣内，与汉宁窗相比，主瓣宽度相同，仍为N /8π，但第一旁瓣比主瓣低41dB ，最小阻带衰减53dB 。 （4）布莱克曼窗（Blackman Window,二阶升余弦窗）

为了进一步抑制旁瓣，可再加上余弦的二次谐波分量，得到布莱克曼窗，即

增加一个二次谐波余弦分量，可进一步降低旁瓣，但主瓣宽度进一步增加，增加N 可减少过渡带。 频谱的幅度函数为：

+0.04

（5）三角窗函数

三角窗是最简单的频谱函数错误！未找到引用源。为非负的一种窗函数。三角窗函数的时域形式可以表示为：

当n 为奇数时：

??

??

?≤≤+++-+≤≤+=n

k n n k n n k n k

k w 21,1)1(2211,12)( 当n 为偶数时：

??

???≤≤+-≤≤-=n

k n

n k n n k n k k w 2,)1(221,1

2)( 它的频域特性为：

()

()2

21j j 2sin 41sin 12e

e ?

??

??

? ?????

????? ??--=?

?

?

??--ωωωωN N W N R

三角窗函数的主瓣宽度为8π/N ，比矩形窗函数的主瓣宽度增加了一倍，但是它的旁瓣宽度却小得多。

不同的窗函数对信号频谱的影响是不一样的，这主要是因为不同的窗函数，产生泄漏的大小不一样，频率分辨能力也不一样。信号的截断产生了能量泄漏，而用FFT 算法计算频谱又产生了栅栏效应，从原理上讲这两种误差都是不能消除的，但是我们可以通过选择不同的窗函数对它们的影响进行抑制。(矩形窗主瓣窄，旁瓣大，频率识别精度最高，幅值识别精度最低；布莱克曼窗主瓣宽，旁瓣小，频率识别精度最低，但幅值识别精度最高。

1.4 设计步骤

用窗函数设计FIR 数字滤波器的步骤： （1）给定要求的频率响应函数()

ωj d e H ; （2）计算()n h d ；

（3）根据过渡带宽及阻带最小衰减的要求，选定窗的形状以及窗的大小N,N 可通过多次尝试后进行最优确定；

（4）根据所选择的合适窗函数()n w 来修正()n h d ，得到所设计的FIR 数字滤波器的单位取样响应()n h ()()n h n w d =，n =0,1,2,……,N-1

第二章 MATLAB 仿真滤波实现

2.1 MATLAB 软件简介

MATLAB 是由美国mathworks 公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程

设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。

MATLAB 产品族可以用来进行以下各种工作：数值分析，数值和符号计算，工程与科学绘图，控制系统的设计与仿真，通讯系统设计与仿真，财务与金融工程。

2.2 命令介绍

（1）[H,w]=freqz(B,A,N) B和A分别为离散系统的系统函数分子、分母多项式的系数向量，N为正整数，返回量H则包含了离散系统频响在0——pi范围内N个频率等分点的值，向量w则包含范围内N个频率等分点。调用中若N默认，默认值为512。（2）figure figure是建立图形的意思，系统自动从1，2，3，4...来建立图形，数字代表第几幅图形，figure(1)，figure(2)就是第一第二副图的意思。

（3）% 这是添加注释的意思，没什么实际意义。

（4）tittle 题目标注

（5）w=boxcar(n) 输入参数n是窗函数的长度；输出参数w是由窗函数的值组成的n 阶向量，从功能上讲，该函数又等价于w=ones?(n,1)。

（6）b=fir(n,wn,win) 输入参数win用来指定所使用的窗函数类型，其长度为n+1，默认情况下，win为海明窗。返回的向量b为滤波器的系数，它的阶数为n+1。

（7）xlabel x轴标注ylable y轴标注。

（8）hold on 在循环嵌套下，画图如果使用hold on命令可以保留上一次的图形，但每次画出的曲线的样式都相同。

（9）plot 二维画图，plot(x,y) % x为图形上之x坐标向量，y为其对应的y坐标向量。此外，还可以对图形进行控制，plot 指令除了接受x 及y 坐标外，还可接受一个字符串输入，用以控制曲线的颜色、格式及线标，其使用语法如下：plot(x, y, 'CLM')其中C 代表曲线的颜色（Colors），L 代表曲线的格式（Line Styles），M代表曲线所用的线标（Markers）。’颜格标’。还比如：plot(x,y,':') 其中：代表点线。

（10）axis 坐标设置，比如axis([0 2*pi -0.5 0.5])，x的坐标范围是0到2π，y的范围是-0.5到0.5。

（11）legend(string1,string2,string3, ...)分别将字符串1、字符串2、字符串3……标注到图中，每个字符串对应的图标为画图时的图标。

第三章各种窗函数的视频幅度特性曲线

1.矩形窗

clear all; N=64; w=rectwin(N); wvtool(w);

2.汉宁窗

clear all; N=64; w=hann(N); wvtool(w);

3.哈明窗

clear all; N=64; w=hamming(N); wvtool(w);

4.布莱克曼窗

clear all; N=64; w=blackman(N); wvtool(w);

5.三角窗

clear all; N=64; w=triang(N); wvtool(w);

第四章仿真过程

1.在矩形窗条件下不同窗口长度下信号幅频响应代码：function lpfir2

wc=0.25*pi;

N=[11 21 41];

M=N-1;

n1=0:N(1)-1;

n2=0:N(2)-1;

n3=0:N(3)-1;

hl1=fir1(M(1),wc/pi,boxcar(N(1)));

hl2=fir1(M(2),wc/pi,boxcar(N(2)));

hl3=fir1(M(3),wc/pi,boxcar(N(3)));

[h1,w11]=freqz(hl1,1,512);

[h2,w12]=freqz(hl2,1,512);

[h3,w13]=freqz(hl3,1,512);

plot(w11/pi,20*log(abs(h1)/max(abs(h1))));

hold on

plot(w12/pi,20*log(abs(h2)/max(abs(h2))),':'); hold on

plot(w13/pi,20*log(abs(h3)/max(abs(h3))),'-.'); axis([0 1 -300 10]);

title('矩形窗不同窗长');

xlabel('ω/π'); ylabel('|H(e^jω)|');

legend({'M=10','M=20','M=40'});

2. 在哈明窗和矩形窗条件下的信号幅频响应代码：function lpfir4

wc=0.25*pi;

N=41;

M=N-1;

hl1=fir1(M,wc/pi,hamming(N));

hl2=fir1(M,wc/pi,boxcar(N));

[h1,w11]=freqz(hl1,1,512);

[h2,w12]=freqz(hl2,1,512);

plot(w11/pi,20*log(abs(h1)/max(abs(h1))));

hold on

plot(w12/pi,20*log(abs(h2)/max(abs(h2))),':'); axis([0 1 -300 10]);

title('矩形窗和哈明窗');

xlabel('ω/π'); ylabel('|H(e^jω)|');

legend({'哈明窗','矩形窗'})

第五章仿真结果

1 矩形窗口不同长度下信号幅频响应图形图（1）：

2 矩形窗和哈明窗在窗口长度M=40下信号幅频响应图形图（2）：

第六章仿真结果分析

1 对采用矩形窗口在不同窗口长度下信号幅频响应进行分析：

由图（1）观察得：当M取不同值时，()ωj e H都在不同程度上近似与()ωj d e H。M过小时通频带过窄，且阻带内波纹较大，过渡带较宽，当M增大时，()ωj e H近似

()

ωj d e H 的程度越来越好，即通频带接近π25.0，阻带波纹减小，过渡带变窄。

由该图也可观察得： 当M 增大时，通带内出现了波纹，随着M 的继续增大，这些波纹并不消失，只是最大的上冲越来越接近于中断点，这种现象称作吉布斯（Gibbs ）现象。

2 对采用矩形窗和哈明窗条件下信号幅频响应进行分析：

由图（2）观察得，使用哈明窗后，通带内的震荡基本消失，阻带内的波纹也大大减小，减小了吉布斯现象。从这一点说滤波器得到了改善，但是过渡带却加宽了，同时也增加了成本。

总结：一般选择窗函数的原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下，尽量减小过渡带宽度。

第七章 心得体会

通过这次课设，我又对数字信号处理课程学习了一遍，经过仔细翻阅课本及相关课外书籍，我进一步了解了有限长数字低通滤波器的一些性能及设计步骤，虽然刚开始时不知从何着手！但是，幸好有老师与同学们的帮助，我可以比较顺利的完成此次课程设计的任务！

作为一个测控专业的学生，数字信号处理是我们的专业课程，是我们将来从事通事业的基本保障。通过对该课程的学习，我们对数字信号处理有了更进一步的理解：通过对数字滤波器的设计，我们也了解了数字滤波器的基本结构和基本特性，而且还掌握了基本的撰写论文的形式和思路。通过对作为论文的重要部分MATLAB 的运用，从而大大提高了我们对计算，变成和绘图于一体的该应用软件的运用能力。在每次的课程设计中，遇到问题，最好的办法就是问别人，因为每个人掌握情况不一样，不可能做到处处都懂，发挥群众的力量，复杂的事情就会变得很简单。这一点我深有体会，在很多时候，我遇

到的困难或许别人之前就已遇到，向他们请教远比自己在那冥思苦想来得快。而且通过此次的课程设计，使我们在学习理论基础知识的同时学会了应用MATLAB，增强了对理论知识的理解。

在课程设计的过程中，我深深的感受到我们所学的东西太少了，需要学习的东西太多了，真的是学无止境。学习的过程是艰辛的，但是同时也是快乐的，让我们大家朝着自己各自的目标努力奋斗，努力学习吧，快乐生活，快乐学习，终将一天我们会成功的。

参考文献

1 飞思科技产品研发中心编著MATLAB7辅助信息处理技术与应用电子出版社2005.3

2 郭仕剑等主编MATLAB7.x数字信号处理人民邮电出版社2006

3 谢平王娜林洪彬编著信号处理原理及应用机械工业出版社2008.10

燕山大学课程设计评审意见表指导教师评语：

成绩：

指导教师：

年月日

答辩小组评语：

成绩：

评阅人：

年月日

课程设计总成绩：

答辩小组成员签字：

年月日