理论力学(哈工大版)：力系的简化

第一章 力系的简化

1-1 静力学基本概念与静力学公理 一、静力学基本概念 1.力的概念

（1）定义：力是物体间的相互机械作用，这种作用可以改变物体的运动状态。 （2） 力的效应： ①运动效应(外效应) ②变形效应(内效应)。 （3） 力的三要素：大小，方向，作用点

（4）力的单位： 国际单位制：牛顿(N) 、千牛顿(kN) 力系：是指作用在物体上的一群力。

力系的分类：1.按力的作用线的空间位置：平面、空间

2.按力的作用线的相对位置：汇交、平行、一般 平衡力系：物体在力系作用下处于平衡。 2.刚体

在力的作用下，大小和形状都不变的物体。 3.平衡

指物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运动的状态。 二、静力学公理

公理1 二力平衡公理

作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是： 1、大小相等 | F 1 | = | F 2 | 2、方向相反 F 1 = –F 2 3、作用线共线，

4、作用于同一个物体上 公理2 加减平衡力系原理

在已知力系上加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。 推论1：力的可传性。

作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一点，而不改变该力对刚体的效应。 必须注意：力的可传性只能用于单个刚体，如果将其用于刚体系统，则会改变刚体的受力。 公理3 力的平行四边形法则

作用于物体上同一点的两个力可合成一个合力，此合力也作用于该点，合力的大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示。21F F R +=

推论2：三力平衡汇交定理 刚体受三力作用而平衡，若其中两力作用线汇交于一点，则另一力的作用线必汇交于同一点，且三力的作用线共面。

公理4 作用力和反作用力定律

等值、反向、共线、异体、且同时存在。 公理5 刚化原理

变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体变成刚体（刚化为刚体），则平衡状态保持不变。

1-2 力的投影、力矩与力偶

一、力在空间轴上的投影与分解： 1.力在空间的表示：

力的三要素：大小、方向、作用点(线) 2、一次投影法（直接投影法）

由图可知：γ

βα cos , cos ,

cos ?=?=?=F Z F Y F X

3、二次投影法（间接投影法）

当力与各轴正向夹角不易确定时，可先将 F 投影到xy 面上，然后再投影到x 、y 轴上， 4、力沿坐标轴分解：

k Z j Y i X F ++=

222Z Y X F ++=

F

Z F Y F X ===

γβαcos ,cos ,cos 平面问题

力在坐标轴上的投影2

2

y x F F F += F F F X x ==

αcos F

F F Y y

==βcos 5、合力投影定理：

合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。这就是合力投影定理。

∑∑∑++=++=2

2222

2)()()(:Z Y X R R R R z y x 合力R

R

R R R R z y x ====

γβαcos ,cos ,cos 二、力对点的矩

在平面中：力对点的矩是代数量。在空间中：力对点的矩是矢量。 平面问题中：力对点的矩

d F F M O ?±=)(

①)(F M O 是代数量。 ② F ↑,d ↑转动效应明显。

③)(F M O 是影响转动的独立因素。当F =0或d =0时，)(F M O =0。 ④单位N ?m ，工程单位kgf ?m 。 1.力对点的矩的矢量表示

F r F Μ?=)(O 即：力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。

2.合力矩定理（自：矩→向量→向量合成）

力对点之矩矢服从矢量合成法则。力系对刚体产生的绕点的转动效应可用点的一个矩矢度量。

合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢量和。

3、力对轴的矩

定义：d F F m F m xy xy O z ?±==)()(，它是代数量，方向规定：逆+顺– 4、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系

)()]([F m F m z z O =

力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。 三、力偶

力偶：由两个大小相等，作用线不重合的反向平行力构成的力系。 1.平面力偶及其性质

性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。

性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。 d F m ?±=

性质3：平面力偶等效定理

作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。 两个推论：

①力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的作用效应。（可移动） ②只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。（可改装） 2.空间力偶

（1）力偶矩用矢量表示： 力偶的转向为右手螺旋定则。

从力偶矢末端看去，逆时针转动为正。 空间力偶是一个自由矢量。 （2）空间力偶的等效定理

作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。

空间力偶矩是自由矢量，它有三个要素： ①力偶矩的大小=m

②力偶矩的方向——与力偶作用面法线方向相同 ③转向——遵循右手螺旋规则。 （3）空间力偶的性质

性质1：力偶中的两力对任意点的力矩之和等于力偶矩矢。 性质2：只要保持力偶矩的大小和转向不变，力偶可以在其作用面内改变力的作用点、方向，

并调节力和力偶臂的大小。

性质3：只要力偶矩的大小和转向不变，力偶可从一个平面移至刚体内另一个平行的平面内。

1-3 力系的简化

一、 特殊力系的简化 1、汇交力系

F R = F 1+ F 2 + F 3 + … +Fn = ∑=n

i i 1

F

2 . 力偶系 M = M 1+M 2+…+Mn =

∑=n

i

1

i M

平面问题：各力偶矩矢共线，用代数量表示即可，则合力偶矩成为各分力偶矩的代数和，即M = M 1+M 2+…+Mn 3. 平行力系

将力系中的力两两合成，最终的结果为一合力，合力的作用线与力系中各力的作用线平行。 大小为F R = F 1+ F 2 + F 3 + … +Fn =

∑=n

i i F 1

二、 任意力系的简化 1.力线平移定理

力线平移定理：作用在刚体上的力可以平移到任一点，但必须附加一个力偶，其力偶矩矢等于原力对新作用点之矩。 2.力系向一点简化 主矢大小∑∑∑++=

++=

2222

22)()()(''''Z Y X R R R R z y x 主矢方向'

cos ,'

cos ,'

cos R Z R Y R X ∑∑∑===γβα

主矩大小2

2

2

Oz Oy Ox O M M M M ++=

主矩方向O

Oz O Oy O Ox M M

M M M M ==='cos ,'cos ,'cos γβα

3.任意力系简化结果的讨论

任意力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论。 1、若0,0'==O M R , 则该力系平衡（下节专门讨论）。

2、若0,0'≠=O M R 则力系可合成一个合力偶，其矩等于原力系对于简化中心的主矩MO 。此时主矩与简化中心的位置无关。

3、若0,0'=≠O M R 则力系可合成为一个合力，主矢'R 等于原力系合力矢R ，合力R 通过简化中心O 点。 （此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）

4、若0,0'≠≠O M R 此时分两种情况讨论。 ①若O M R ⊥'时

可进一步简化，将MO 变成( R'',R )使R'与R''抵消只剩下R 。)(d R M O ?=

∑==

=

∴?=i O O O F R R M R

M d d R M 合力,'

,

自：M 使主矢搬家

②若O M R //'时，——为力螺旋的情形（新概念，又移动又转动）

③R ′不平行也不垂直M0，最一般的成任意角?：在此种情况下 <1>首先把MO 分解为M //和M ⊥ <2>将M //和M ⊥ 分别按①、②处理。

注意：力系简化中的不变量（不随简化中心改变）有：R ′， M //，简化中心为O 时：为M ⊥当简化中心为O ′时，为M ⊥′但M //总是不变的（它是原力系中的力偶，与简化中心无关）

任意力系的合力矩定理：空间力系向O 点简化后得主矢R'和主矩MO , 若MO ⊥R'，可进一步合成为一个作用在新简化中心O'点的合力R 。

平面问题

力线平移定理：可以把作用在刚体上点A 的力F 平行移到任一点B ，但必须同时附加一个力偶。这个力偶的矩等于原来的力F 对新作用点B 的矩。

2.力系向一点简化

一般力系（任意力系）（未知力系）→汇交力系+力偶系（已知力系）

∑=+++=i F F F F R 321'主矢：

大小：222

2

)()('''∑∑+=+=

Y X R R R y x

方向：∑∑--==X

Y

R R x

y 1

1

tg tg

α

简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]

∑=++=+++=)

()()( 21321i O O O O F m F m F m m m m M

：主矩

大小：)(i

O

O F m M ∑=

方向：逆正顺负

简化中心： (与简化中心有关)（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和） 3.任意力系简化结果的讨论

简化结果：主矢R '，主矩M O ，下面分别讨论。 ①R '=0，M O =0，则力系平衡,下节专门讨论。

②R '=0, M O ≠0 即简化结果为一合力偶, M O =M 此时刚体等效于只有一个力偶的作用，

因为力偶可以在刚体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O 无关。

③R '≠0,M O =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，简化结果就是合力（这个力系的合力），R R '=。（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零） ④R '≠0,MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简化为一个合力R 。 结论：

平面任意力系的简化结果 ：①合力偶M O ； ②合力R 合力矩定理：)()(1

∑==

n

i i O

O F m

R M

平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。

1-4 约束与约束力 一、概念

自由体：位移不受限制的物体叫自由体。 非自由体：位移受限制的物体叫非自由体。

约束：对非自由体的某些位移预先施加的限制条件称为约束。 约束力：约束给被约束物体的力叫约束力。 二、约束类型和确定约束力方向的方法： 1.由柔软的绳索、链条或皮带构成的约束

绳索类只能受拉，所以它们的约束力是作用在接触点，方向沿绳索背离物体。 2.光滑接触面的约束 (光滑指摩擦不计)

约束力作用在接触点处，方向沿公法线，指向受力物体 3.光滑圆柱铰链约束 ①圆柱铰链 ②固定铰支座

③活动铰支座（辊轴支座） 4.滑槽与销钉（双面约束） 5. 二 力 杆

6.固定端（插入端）约束

YA , XA 限制物体平动，MA 为限制转动。 三、空间约束的特点 1、球形铰链

2、向心轴承，蝶铰链，滚珠(柱)轴承

3、滑动轴承

4、止推轴承

5、带有销子的夹板

6、空间固定端

1–5 物体的受力分析 一、受力分析

作用在物体上的力有：一类是:主动力,如重力,风力,气体压力等。二类是：被动力，即约束力。 二.受力图

物体所受的外力包括主动力和约束力，主动力一般是已知的，如重力、风力等；约束力一般是未知的。

工程结构进行受力分析的步骤： ①根据问题的需要，选定其中的某个构件或某几个构件的组合体作为研究对象，把它从整体中分离出来，画出其简图，称为取分离体； ②其次画上已知的主动力；

③最后逐个解除约束，代之相应的约束力，便得到表示物体受力的简图，称为受力图。 画物体受力图主要步骤为：①选研究对象；

②取分离体； ③画上主动力； ④画出约束反力。

3.画受力图应注意的问题

a.不要漏画力：除重力、电磁力外，物体之间只有通过接触才有相互机械作用力。

b.不要多画力：对于受力体所受的每一个力，都应能明确地指出它是哪一个施力体施加的。

c.不要画错力的方向：约束力的方向必须严格地按照约束的类型来画，不能单凭直观或根据

主动力的方向来简单推想。

d.受力图上不能再带约束：即受力图一定要画在分离体上。

e.受力图上只画外力，不画内力。

f.同一系统各研究对象的受力图必须整体与局部一致，相互协调，不能相互矛盾。

g.正确判断二力构件。

1-6 物体的重心

一、空间平行力系的中心、物体的重心

R

z

F z R

y

F y

R

x F x i

i C i

i

C

i

i C ∑∑∑=

=

=

, , :投影式

二、重心坐标公式：

G

z G z G

y G y

G

x G x i

i C

i

i

C

i

i C

∑∑∑?=

?=

?=,,

重心C 坐标的精确公式（自：不用掌握）：G

dV z z G

dV y y G

dV x x V

C

V

C

V

C

???=

=

=

γγγ,,

质心坐标公式：M

z

m z M

y

m y

M

x m x i

i C i

i

C

i

i C ∑∑∑?=

?=

?=

,,

形心坐标公式：V

dV z z V

dV y y

V

dV x x V

C

V

C

V

C

????=

?=

?=,, 三、 确定物体重心的方法

1、简单几何形状物体的重心

对称性：凡具有对称面、对称轴或对称中心的均质形体，其重心必相应地在对称面、对称轴

或对称中心上。

积分法：简单形状物体

查表：简单形状物体的重心可从工程手册中查到。工程中常见型钢截面的形心，也可以从型钢表中查到。

2、用组合法求重心

①分割法

②负面积（体积）法

在规则物体或薄板内切去一简单几何形状部分，把切去部分的面积或体积取为负值。称为负面积（体积）法。