初二数学专题训练：全等三角形之旋转A班(答案与解析)

全等三角形之旋转A 班

（时间：60分钟 满分：100分） 姓名：

得分：

把图形G 绕平面上的一个定点O 旋转一个角度θ，得到图形G '，这样的由图形G 到G '变换叫做旋转变换，点O 叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G '叫做G 的象；G 叫做G '的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形。

很明显，旋转变换具有以下基本性质：

①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等；

②对应直线的交角等于旋转角。

旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件相对集中，以便于诸条件的综合与推演。

1、（16分）如图，已知5AB CD AE BC DE ===+=，90ABC AED ∠=∠=?，求五边形ABCDE 的面积．

【解答】解：方法1：连接AC ，AD ，将ABC ?绕A 顺时针旋转使得AB 与AE 重合得AEF ?，显然D ，E ，F 三点共线，则AF AC =，AEF ABC S S ??=，EF BC =

5DF EF DE BC DE ∴=+=+=

5CD BC DE =+=

FD CD ∴=

在AFD ?与ACD ?中，

AF AC FD CD AD AD =??=??=?

，

()AFD ACD SSS ∴???，

AFD ACD S S ??∴=

11222552522

ABCDE ABC ACDE AEF ACDE ADF ACD ADF S S S S S S S S DF AE ?????∴=+=+=+==?=???=．

方法2：延长DE 至F ，使EF BC =，连AC ，AD ，AF ，

AB CD AE BC DE ===+，90ABC AED ∠=∠=?，

CD EF DE DF ∴=+=，

在ABC ?与AEF ?中，

AB AE ABC AEF BC EF =??∠=∠??=?

，

()ABC AEF SAS ∴???，

AC AF ∴=，

在ACD ?与AFD ?中，

AC AF CD DF AD AD =??=??=?

，

()ACD AFD SSS ∴???， 11222552522

ABCDE ABC ACDE AEF ACDE ADF ACD ADF S S S S S S S S DF AE ?????∴=+=+=+==?=???= 2、（16分）如图所示，过正方形ABCD 的顶点A 在正方形ABCD 的内部作45EAF ∠=?，E 、F 分别在BC 、CD 上，连接EF ，作AH EF ⊥于点H .

求证：AH AB =．

【解答】证明：将ADF ?绕点A 顺时针旋转90?得到ABG ?，

由旋转的性质得，DF BG =，AF AG =，DAF BAG ∠=∠．

90FAG BAG BAF DAF BAF BAD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=?，

45EAF ∠=?，

45EAF EAG ∴∠=∠=?．

在AEF ?和AEG ?中，

AF AG EAF EAG AE AE =??∠=∠??=?

，

()AEF AEG SAS ∴???，

AH 、AB 分别是AEF ?和AEG ?对应边上的高，

AH AB ∴=．

3、（22分）如图，正方形ABCD 的边长为2，P 为AB 上的点，Q 为AD 上的点，且APQ ?的周长为4，求PCQ ∠的度数．

【解答】解：正方形ABCD 的边长为2，

224AB AD ∴+=+=，

APQ ?的周长为4，

4AP AQ PQ ∴++=，

又AB AP BP =+，AD AQ DQ =+，

DQ BP PQ ∴+=，

将CBP ?绕点C 顺时针旋转90?得CDE ?，

则CE CP =，DE BP =，BCP DCE ∠=∠，

EQ DQ DE DQ BP PQ ∴=+=+=，

在CPQ ?和CEQ ?中，

CE CP EQ PQ CQ CQ =??=??=?

，

()CPQ CEQ SSS ∴???，

PCQ ECQ ∴∠=∠，

又90PCQ ECQ PCQ DCQ DCE PCQ DCQ BCP BCD ∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠=?， 190452

PCQ ∴∠=??=?．

4、（22分）如图1．在四边形ABCD 中．AB AD =，180B D ∠+∠=?，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且2BAD EAF ∠=∠．

（1）求证：EF BE DF =+；

（2）在（1）问中，若将AEF ?绕点A 逆时针旋转，当点E 、F 分别运动到BC 、CD 延长线上时，如图2所示，试探究EF 、BE 、DF 之间的数量关系．

【解答】（1）证明：方法1：（利用旋转）将ADF ?绕A 顺时针旋转使得AD 与AB 重合得到ABM ?，显然D ，E ，F 三点共线，则AM AF =，BAM DAF ∠=∠，

2BAD DAF EAF BAE EAF ∠=∠+∠+∠=∠，

DAF BAE EAF ∴∠+∠=∠，

EAB BAM EAM EAF ∴∠+∠=∠=∠，

在FAE ?和MAE ?中，

AE AE FAE MAE AF AM =??∠=∠??=?

，

()FAE MAE SAS ∴???，

EF EM BE BM BE DF ∴==+=+，

即EF BE DF =+．

方法2（截长补短）：延长CB 至M ，使BM DF =，连接AM ，

180ABC D ∠+∠=?，180ABC ABM ∠+∠=?，

D ABM ∴∠=∠，

在ABM ?和ADF ?中，

AB AD ABM D BM DF =??∠=∠??=?

()ABM ADF SAS ∴???，

AF AM ∴=，DAF BAM ∠=∠，

2BAD EAF ∠=∠，

DAF BAE EAF ∴∠+∠=∠，

EAB BAM EAM EAF ∴∠+∠=∠=∠，

在FAE ?和MAE ?中，

AE AE FAE MAE AF AM =??∠=∠??=?

，

()FAE MAE SAS ∴???，

EF EM BE BM BE DF ∴==+=+，

即EF BE DF =+．

（2）解：EF 、BE 、DF 之间的关系是EF BE DF =?，

理由是：在CB 上截取BM DF =，连接AM ，

180ABC D ∠+∠=?，180ADC ADF ∠+∠=?，

ABC ADF ∴∠=∠，

在ABM ?和ADF ?中，

AB AD B ADF BM DF =??∠=∠??=?

()ABM ADF SAS ∴???，

AF AM ∴=，DAF BAM ∠=∠，

22()2()()BAD EAF EAD DAF EAD BAM EAF EAD BAM ∠=∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠+∠

又()BAD BAM EAD MAE ∠=∠+∠+∠

MAE EAF ∴∠=∠在FAE ?和MAE ?中，

AE AE FAE MAE AF AM =??∠=∠??=?

，

()FAE MAE SAS ∴???，

EF EM BE BM BE DF ∴==?=?，

即EF BE DF =?．

5、（24分）如图，正方形ABCD 中，3AB =，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且30BAE ∠=?，15DAF ∠=?，求AEF ?的面积．

【解答】解：将ADF ?绕A 点顺时针方向旋转90?到ABG ?的位置，

则AG AF =，15GAB FAD ∠=∠=?，

153045GAE GAB BAE ∴∠=∠+∠=?+?=?，

()90(3015)45EAF BAD BAE DAF ∠=∠?∠+∠=???+?=?，

GAE FAE ∴∠=∠，

在AEF ?与AEG ?中，

AF AG EAF EAG AE AE =??∠=∠??=?

，

()AEF AEG SAS ∴???，

EF EG ∴=，60AEF AEG ∠=∠=?，

在Rt ABE ?中，3AB =，30BAE ∠=?，

60AEB ∴∠=?，2AE BE =，

22224AB BE AE BE +==，

1BE ∴=，

31EC BC BE ∴=?=?

在Rt EFC ?中，()180180(6060)60FEC AEF AEG ∠=??∠+∠=???+?=?，

90906030EFC FEC ∴∠=??∠=???=?，

22(31)EF EC ∴==?，

2(31)EG ∴=?，()

1123133322AEG S EG AB ?==???=?， 33AEF AEG S S ??∴==?．