广东省中山市纪念中学八年级(上)期中数学试卷

八年级（上）期中数学试卷

题号一二三四总分

得分

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.下列四个腾讯软件图标中，属于轴对称图形的是（ ）

A. B. C. D.

2.下列各组长度的线段，能构成三角形的一组是（ ）

A. 1cm，3cm，2cm

B. 3.5cm，7.1cm，3.6cm

C. 6cm，1cm，6cm

D. 4cm，10cm，4cm

3.下列计算正确的是（ ）

A. a3+a4=a7

B. a4?a5=a9

C. 4m?5m=9m

D. a3+a3=2a6

4.如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AC=DF，

∠ACB=∠DFE，要使△ABC≌△DEF，不可以添加的条件

是（ ）

A. BE=CF

B. ∠A=∠D

C. ∠B=∠DEF

D. AB=DE

5.计算（2019-π）0的结果是（ ）

A. 0

B. 1

C. 2019-π

D. π-2019

6.如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，若AD=3

，BE=1，则DE=（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

7.把一副三角板按如图叠放在一起，则∠α的度数是（

）

A. 165°

B. 160°

C. 155°

D. 150°

8.如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最

省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（ ）

A. △ABC三边垂直平分线的交点

B. △ABC三条角平分线的交点

C. △ABC三条高所在直线的交点

D. △ABC三条中线的交点

9.如果x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是（ ）

A. 3

B. ±3

C. 6

D. ±6

10.如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点

O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O

作OD⊥BC于D，下列四个结论：

①∠AOB=90°+∠C；

②AE+BF=EF；

③当∠C=90°时，E，F分别是AC，BC的中点；

④若OD=a，CE+CF=2b，则S△CEF=ab．

其中正确的是（ ）

A. ①②

B. ③④

C. ①②④

D. ①③④

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11.一个正多边形的每个内角都为135°，则这个多边形的内角和是______度．

12.已知点A（x，3）和B（4，y）关于x轴对称，则x=______，y=______．

13.若等腰三角形中有一个角是30°，则另外两个角的度数分别是______．

14.已知a2+b2=13，（a-b）2=1，则（a+b）2=______．

15.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且

AD=6，E是AC边上的中点，M是AD边上的动点，

则EM+CM的最小值是______．

16.已知2x+3y-5=0，则9x?27y的值为______．

17.如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC

的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠A n-1BC的平分线与∠A n-1CD的平分线交于点A n．设∠A=θ，则∠A2= ______ ，∠A n= ______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

18.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE

的延长线于F．

（1）求证：△ACD≌△CBF；

（2）求证：AB垂直平分DF．

四、解答题（本大题共7小题，共54.0分）

19.先化简，再求值：（x+y）（x-y）+（2x3y-4xy3）÷2xy，其中x=2，y=1．

20.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是

网格线的交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别为（-4，5），（-1，3）．

（1）请作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；

（2）△A1B1C1的面积是______．

21.如图，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点E是AD，BC的交点，求证：△ABE是等腰三角

形．

22.已知：如图所示，CD∥AN．

（1）用尺规作图作出∠MAN的平分线，交CD于点P；（保留作图痕迹）

（2）在（1）的基础上，若∠PAN=15°，AC=2，求点P到AM的距离．

23.从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼

成一个长方形（如图2）．

（1）上述操作能验证的等式是______；

（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：

①已知，x2-4y2=12，x+2y=4，求x-2y的值；

②计算：．

24.已知等边△ABC的边长为4cm，点P，Q分别从B，C两点同时出发，其中点P沿

BC向终点C运动，速度为1cm/s；

点Q沿CA，AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s），（1）如图（1），当x为何值时，PQ∥AB；

（2）如图（2），若PQ⊥AC，求x；

（3）如图（3），当点Q在AB上运动时，PQ与△ABC的高AD交于点O，OQ与OP是否总是相等？请说明理由．

25.已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB=AC，DE=DF，∠BAC=∠EDF，点E在AB

上，点F在射线AC上．

（1）如图1，若∠BAC=60°，点F与点C重合，

①求证：AF=AE+AD；

②求证：AD∥BC．

（2）如图2，若AD=AB，那么线段AF，AE，BC之间存在怎样的数量关系．

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；

B、不是轴对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

D、是轴对称图形，故本选项正确．

故选：D．

根据轴对称图形的概念求解．

本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

2.【答案】C

【解析】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得

A中，1+2=3，不能组成三角形；

B中，3.5+3.6=7.1，不能组成三角形；

C中，1+6=7＞6，能够组成三角形；

D中，4+4=8＜10，不能组成三角形．

故选C．

根据三角形的三边关系进行分析判断．

本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．

3.【答案】B

【解析】

【分析】

此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算和同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则和同底数幂的乘法运算法则分别计算得出答案．

【解答】

解：A、a3+a4，无法计算，故此选项错误；

B、a4?a5=a9，正确；

C、4m?5m=20m，故此选项错误；

D、a3+a3=2a3，故此选项错误．

故选：B．

4.【答案】D

【解析】解：A、添加BE=CF，根据SAS可以判断△ABC≌△DEF，本选项不符合题意．

B、添加∠A=∠D，根据ASA可以判断△ABC≌△DEF，本选项不符合题意．

C、添加∠B=∠DEF，根据AAS可以判断△ABC≌△DEF，本选项不符合题意．

D、添加AB=DE，无法判断△ABC≌△DEF，本选项符合题意．

故选：D．

根据全等三角形的判定方法一一判断即可．

本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

【解析】解：由题可得，（2019-π）0的结果是1，

故选：B．

任意一个非零数的零次幂都等于1．

本题主要考查了零指数幂，掌握零次幂的性质是解决问题的关键．

6.【答案】B

【解析】解：AD⊥CE，BE⊥CE，

∴∠ADC=∠BEC=90°．

∵∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠CAD=90°，

∠DCA=∠CBE，

在△ACD和△CBE中，，

∴△ACD≌△CBE（AAS），

∴CE=AD=3，CD=BE=1，

DE=CE-CD=3-1=2，

故选：B．

根据余角的性质，可得∠DCA与∠CBE的关系，根据AAS可得△ACD与△△CBE的关系，根据全等三角形的性质，可得AD与CE的关系，根据线段的和差，可得答案．

本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质．

7.【答案】A

【解析】解：如图，

∠1=∠D+∠C=45°+90°=135°，

∠α=∠1+∠B=135°+30°=165°．

故选：A．

先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠1，再求出∠α即可．

本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．

8.【答案】A

【解析】解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，

∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．

故选：A．

根据题意，知猫应该到三个洞口的距离相等，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点．

此题考查了三角形的外心的概念和性质．熟知三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，是解题的关键．

【解析】解：∵x2+2mx+9是一个完全平方式，

∴m=±3，

故选：B．

根据完全平方公式是和的平方加减积的2倍，可得m的值．

本题考查了完全平方公式，完全平方公式是两数的平方和加减积的2倍，注意符合条件的m值有两个．

10.【答案】C

【解析】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，

∴∠OBA=∠CBA，∠OAB=∠CAB，

∴∠AOB=180°-∠OBA-∠OAB

=180°-∠CBA-∠CAB

=180°-（180°-∠C）

=90°+∠C，①正确；

∵EF∥AB，

∴∠FOB=∠ABO，又∠ABO=∠FBO，

∴∠FOB=∠FBO，

∴FO=FB，

同理EO=EA，

∴AE+BF=EF，②正确；

当∠C=90°时，AE+BF=EF＜CF+CE，

∴E，F不是AC，BC的中点，③错误；

作OH⊥AC于H，

∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，

∴点O在∠C的平分线上，

∴OD=OH，

∴S△CEF=×CF×OD×CE×OH=ab，④正确．

故选：C．

根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；关键角平分线的性质判断④．

本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质、角平分线的定义，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

11.【答案】1080

【解析】

【分析】

此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握多边形的内角和与外角和定理是关键．

由一个正多边形的每个内角都为135°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数，则可求得答案．

【解答】

解：∵一个正多边形的每个内角都为135°，

∴这个正多边形的每个外角都为：180°-135°=45°，

∴这个多边形的边数为：360°÷45°=8，

∴这个多边形的内角和是：135°×8=1080°．

故答案为：1080．

12.【答案】4 -3

【解析】解：∵点A（x，3）和B（4，y）关于x轴对称，

∴x=4，y=-3，

故答案为：4，-3．

关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．

此题主要考查了关于x轴对称点的性质，点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y），正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．

13.【答案】75°，75°或120°，30°

【解析】解：分情况讨论：

（1）若等腰三角形的顶角为30°时，另外两个内角=（180°-30°）÷2=75°；

（2）若等腰三角形的底角为30°时，它的另外一个底角为30°，顶角为180°-30°-30°=120°．

故答案为：75°，75°或120°，30°．

已知给出了一个内角是30°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还需用三角形内角和定理去验证每种情况是不是都成立．

本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．14.【答案】25

【解析】解：∵a2+b2=13，（a-b）2=a2+b2-2ab=1，

∴ab=6，

则原式=a2+b2+2ab=13+12=25，

故答案为：25．

利用完全平方公式求出所求即可．

此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

15.【答案】6

【解析】解：如图所示：

∵AD是BC边上的中线，

∴AD等边三角形ABC的边BC上的高，

∴AD是BC的垂直平分线，

连接BE，交AD于M，则BE就是EM+CM的最小值，

∵E是AC的中点，

∴BE是等边三角形ABC的边AC上的高，

∴BE=AD，

∵等边三角形ABC的边BC上的高为6，

∴BE=AD=6．

∴EM+CM的最小值是6．

故答案为：6．

连接BE，交AD于M，则BE就是PE+PC的最小值，根据等边三角形的三线合一的性

质从而证得BE=AD=6．

本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识的综合应用，解题关键是对这些知识的熟练掌握及灵活运用．

16.【答案】243

【解析】解：∵2x+3y-5=0，

∴2x+3y=5，

∴9x?27y

=32x?33y

=32x+3y

=35

=243．

故答案为：243．

先将9x?27y变形为32x+3y，然后再结合同底数幂的乘法的概念和运算法则进行求解即可．本题考查了同底数幂的乘法，解答本题的关键在于将9x?27y变形为32x+3y．

17.【答案】；

【解析】解：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，

∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，

∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，

∴∠A1+∠A1BC=∠A1CD=∠ACD=（∠A+∠ABC）=∠A+∠A1BC，

∴∠A1=∠A，

同理可得∠A2=∠A1=，

…，

∠A n=．

故答案为：；．

根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，

∠A1CD=∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，然后

整理得到∠A1=∠A，同理可得∠A2=∠A1，从而判断出后一个角是前一个角的，然后表

示出，∠A n即可．

本题考查了三角形的外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的是解题的

关键．

18.【答案】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CAB=∠CBA=45°，

∵CE⊥AD，

∴∠CAD+∠ACE=90°，∠ACE+∠BCF=90°，

∴∠CAD=∠BCF，

∵BF∥AC，

∴∠FBA=∠CAB=45°

∴∠ACB=∠CBF=90°，

在△ACD与△CBF中，

∵，

∴△ACD≌△CBF(ASA)；

（2）证明：连接DF．

∴BF⊥BC．

∴∠CBF=90°，

∵△ACD≌△CBF，

∴CD=BF．

∵CD=BD=BC，

∴BF=BD．

∴△BFD为等腰直角三角形．

∵∠ACB=90°，CA=CB，

∴∠ABC=45°．

∵∠FBD=90°，

∴∠ABF=45°．

∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．

∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，

即AB垂直平分DF．

【解析】（1）根据∠ACB=90°，求证∠CAD=∠BCF，再利用BF∥AC，求证∠ACB=∠CBF=90°，然后利用ASA即可证明△ACD≌△CBF．

（2）先根据(1)的结论△ACD≌△CBF得到BF=BD，再根据角度之间的数量关系求出

∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线，从而利用等腰三角形三线合一的性质求证即可．

本题主要考查了三角形全等的判定和角平分线的定义以及线段的垂直平分线的性质等几何知识．

19.【答案】解：原式=x2-y2+x2-2y2

=2x2-3y2

当x=2，y=1时，原式=2×22-3×12=8-3=5．

【解析】根据整式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．

本题考查的是整式的化简求值，掌

握整式的混合运算法则是解题的关

键．

20.【答案】4

【解析】解：（1）如图所示，

△A1B1C1即为所求；

（2）如图所示，作矩形EA1FM，

则S△A1B1C1=S矩形

-S△A1EC1-S△C1MB1-S△B1FA1

EA1FM

=3×4-×3×2-×1×2-×2×4

=4，

故答案为：4．

（1）可先由关于y轴对称的点的坐标的特征求出点A1，B1，C1的坐标，再描点，连线即可；

（2）如图所示，作矩形EA1FM，求矩形的面积与△A1EC1，△C1MB1，△B1FA1三个三角形的面积差即可．

本题考查了轴对称变换作图，三角形的面积等，解题关键是可以将△A1B1C1的面积转化为矩形的面积与几个三角形的面积的差．

21.【答案】证明：∵∠BAC=∠ABD，AC=BD，AB=BA，

∴△BAC≌△ABD，（SAS），

∴∠EAB=∠EBA，

∴△ABE是等腰三角形．

【解析】利用全等三角形的性质证明∠EAB=∠EBA即可．

本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．

22.【答案】解：（1）如图 1 所示：

射线AP即为所求作的图形；

（2）如图 2，过点P作PE⊥AM于点E，

∵AP平分∠MAN，

∴，

∵CD∥AN，∴∠CPA=∠PAN，

∴∠CPA=∠MAP，

∴CP=AC=2，

∵∠PAN=15°，

∴∠MAN=2∠PAN=30°，

∵CD∥AN，

∴∠ECP=∠MAN=30°，

∵PE⊥AM，∴∠PEC=90°，

∴，

∴点P到AM的距离为1．

【解析】（1）用尺规作图作出∠MAN的平分线，交CD于点P即可；

（2）在（1）的基础上，若∠PAN=15°，AC=2，根据角平分线的性质即可求点P到AM 的距离．

本题考查了作图-基本作图、角平分线的性质、平行线性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．

23.【答案】a2-b2=（a+b）（a-b）

【解析】解：

（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2-b2，第二个图形的面积是（a+b）（a-b）；∴a2-b2=（a+b）（a-b）

（2）①∵x2-4y2=（x+2y）（x-2y），

∴12=4（x-2y）

解得x-2y=3

②原式=（1-）（1+）（1-）（1+）（1-）（1+）…（1-）（1+）（1-）（1+）

=

=

（1）分别求出两个图形中阴影部分的面积，建立等式即可；

（2）①由上题得x2-4y2=（x+2y）（x-2y），代入求值即可；

②分别把括号内的多项式按照（1）题的结论变形，再探究规律并化简求值．

本题考查平方差公式的几何背景及应用，难度适中，熟练掌握平方差公式是解决此题的关键；同时，还要注意探究算式的规律性这种题型在近几年的考试中多有涉及，需多加练习．

24.【答案】解：（1）∵∠C=60°，

∴当PC=CQ时，△PQC为等边三角形，

于是∠QPC=60°=∠B，

从而PQ∥AB，

∵PC=4-x，CQ=2x，

由4-x=2x，

解得：x=，

∴当x=时，PQ∥AB；

（2）∵PQ⊥AC，∠C=60°，

∴∠QPC=30°，

∴CQ=PC，

即2x=（4-x），

解得：x=；

（3）OQ=PO，理由如下：

作QH⊥AD于H，如图（3），

∵AD⊥BC，

∴∠QAH=30°，BD=BC=2，

∴QH=AQ=（2x-4）=x-2，

∵DP=BP-BD=x-2，

∴QH=DP，

在△OQH和△OPD中，

，

∴△OQH≌△OPD（AAS），

∴OQ=OP．

【解析】（1）首先得出△PQC为等边三角形，进而表示出PC=4-x，CQ=2x，由4-x=2x ，求出答案；

（2）根据题意得出CQ=PC，即2x=（4-x），求出即可；

（3）根据题意得出QH=DP，进而判断出△OQH≌△OPD（AAS），即可得出答案．

本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

25.【答案】证明：（1）①∵∠BAC=∠EDF=60°，AB=AC，DE=DF，

∴△ABC，△DEF为等边三角形，

∴BC=AC，CE=CD，∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ECA=60°，

∴∠BCE=∠ACD，

在△BCE和△ACD中，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴AD=BE，

∴AE+AD=AE+BE=AB=AF，

即AF=AE+AD；

②∵△BCE≌△ACD，

∴∠DAC=∠EBC，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠EBC=∠EAC=∠DAC=60°，

∴∠EBC+∠EAC+∠DAC=180°，

∴AD∥BC；

（2）如图2，在FA上截取FM=AE，连接DM，

∵∠BAC=∠EDF，∠ANE=∠DNF，

∴∠AED=∠MFD，

在△AED和△MFD中，

∴△AED≌△MFD（SAS），

∴DA=DM=AB=AC，∠ADE=∠MDF，

∴∠ADE+∠EDM=∠MDF+∠EDM，

即∠ADM=∠EDF，

∴∠ADM=∠BAC，

在△ABC和△DAM中，

∴△ABC≌△DAM（SAS），

∴AM=BC，

∴AE+BC=FM+AM=AF．

即AF=AE+BC．

【解析】（1）①由“SAS”可证△BCE≌△ACD，可得AD=BE，可得结论；

②由全等三角形的性质可得∠DAC=∠EBC，由平行线的判定可得结论；

（2）如图2，在FA上截取FM=AE，连接DM，由“SAS”可证△AED≌△MFD，可得DA=DM=AB=AC，∠ADE=∠MDF，可证∠ADM=∠BAC，由“SAS”可证△ABC≌△DAM，可得AM=BC，可得结论．

本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．