定积分及其应用测试题10页
第五章 定积分及其应用 一、填空题 1.由[],a b 上连续曲线()y f x =,直线(),x a x b a b ==<和x 轴围成的图形的面积为 4.利用定积分的几何意义求10 d x x =? 5.积分1 213ln d x x x ?值的符号是 6.定积分()4 52 sin sin d x x x π -? 值的符号是 8.积分413 I ln d x x =?与4 223 I ln d x x =?的大小关系为 9.区间[][],,c d a b ?,且()0f x >,则()1I d b a f x x =?与()2I d d c f x x =?的大小关 系为 10.()f x 在[],a b 上连续,则()d b a f x x =? ()d a b f x x ? 11.若在区间[],a b 上,()0f x ≥,则()d b a f x x ? 0 12.定积分中值定理中设()f x 在[],a b 上连续,则至少存在一点(),a b ξ∈,使得()f ξ= 13.设()2 0,0x F x t x =>?,则()F x '= 15.设()() ()3 3sin d ,x F x t t x ??=? 可导,则()F x '=
16 .0 lim x t x →=? 18.设()()0 1d x f x t t t =-?,则()f x 的单调减少的区间是 19.函数()2 3d 1 x t f x t t t =-+?在区间[]0,1上的最大值是 ,最小值是 20.设()3 131 sin d x f x t t +=? ,则()f x '= 21.设()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的任意一个原函数,则 ()d b a f x x =? 22.1 23d x x x ?=? 23.sin 22 cos d x xe x π π-=? 24.设()f x '在[]1,3上连续,则() () 3 2 1d 1f x x f x '=+? 25.2 x π π=? 26.20cos d x x π =? 27.21 01 d 1 x x e x e -=-? 28 .20sin d x x π =? 29.2 1 e =? 30.235 4 5 sin d 1x x x x -=+? 31.设()f x 在[],a a -上连续,则()()sin d a a x f x f x x -+-=????? 32.设()21,0 ,0 x x f x x x +=? ≥?,则()11 d f x x -=?
不定积分例题及答案
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1) 思路: 被积函数52 x - =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? () 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??() ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项, 分别积分。 解:4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式, 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 (- +-)2 思路:分项积分。 解:34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134(- +-)2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 :2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =? 111 7248 8 x x ++==,直接积分。 解 : 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解: 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解:21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
定积分测试题
题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 (8小题,共26分) 得分 阅卷人 1. 4)(2 x dt t f x =? ,则=?dx x f x 40)(1( ) A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2.设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续,则函数dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有( )个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3. =+? dx x x 3 1 ( ) A .18 B . 3 8 C . 1 D .0 4.设 )(x ?''在[b a ,]上连续,且a b =')(?,b a =')(?,则 ?='''b a dx x x )()(??( ) (A )b a - (B )21(b a -) (C ))(2 1 22b a + (D ))(2 122 b a - 5. 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、 3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --? 6.sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ,上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7.2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 . 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==? 若为可导函数,且已知,,则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2
定积分的应用练习题
定积分的应用练习题 Final revision by standardization team on December 10, 2020.
题型 1.由已知条件,根据定积分的方法、性质、定义,求面积 2.由已知条件,根据定积分的方法、性质、定义,求体积 内容 一.微元法及其应用 二.平面图形的面积 1.直角坐标系下图形的面积 2.边界曲线为参数方程的图形面积 3. 极坐标系下平面图形的面积 三.立体的体积 1.已知平行截面的立体体积 2.旋转体的体积 四.平面曲线的弦长 五.旋转体的侧面积 六.定积分的应用 1.定积分在经济上的应用 2.定积分在物理上的应用 题型 题型I微元法的应用 题型II求平面图形的面积
题型III 求立体的体积 题型IV 定积分在经济上的应用 题型V 定积分在物理上的应用 自测题六 解答题 4月25日定积分的应用练习题 一.填空题 1. 求由抛物线线x x y 22+=,直线1=x 和x 轴所围图形的面积为__________ 2.抛物线x y 22=把圆822≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比为__________ 3. 由曲线y x y y x 2,422==+及直线4=y 所围成图形的面积为 4.曲线3 3 1x x y - =相应于区间[1,3]上的一段弧的长度为 5. 双纽线θ2sin 32=r 相应于2 2 π θπ ≤ ≤-上的一段弧所围成的图形面积 为 . 6.椭圆)0,0(1sin 1 cos b a t b y t a x ???+=+=所围成的图形的面积为 二.选择题 1. 由曲线22,y x x y ==所围成的平面图形的面积为( ) A . 31 B . 32 C . 21 D . 2 3 2. 心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为( ) A . 223a π B . 243a π C . 2 8 3a π D . 23a π 3. 曲线2 x x e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 ( )
不定积分例题及答案 理工类 吴赣昌
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分!
★(1) ? 思路: 被积函数52 x - =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+? ??? ★(3)22 x x dx +? () 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++???() ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
定积分练习题1.doc
定积分练习题 一.选择题、填空题 1.将和式的极限 lim 1p 2 p 3p ....... n p 0) 表示成定积分 n P 1 ( p ( ) n 1 1 1 p dx 1 1 p dx 1 x p dx A .dx B . x C .() D . () 0 x 0 x n 2.将和式 lim ( 1 1 ......... 1 ) 表示为定积分 . n n 1 n 2 2n 3.下列等于 1 的积分是 ( ) A . 1 xdx B . 1 C . 1 1 1 ( x 1)dx 1dx D . dx 2 1 2 4 | dx = 4. | x ( ) A . 21 B . 22 23 25 3 3 C . 3 D . 3 5.曲线 y cos x, x [0, 3 ] 与坐标周围成的面积 ( ) 2 5 A .4 B .2 D . 3 C . 2 1 e x )dx = 6. (e x ( ) A . e 1 B .2e 2 D . e 1 e C . e e 7.若 m 1 e x dx , n e 1 dx ,则 m 与 n 的大小关系是( ) 1 x A . m n B . m n C . m n D .无法确定 8. 9 y x 2 1 和 x 轴围成图形的面积等于 S .给出下列结果: .由曲线 1 1)dx ; ② 1 1 ①( x 2 (1 x 2 )dx ; ③ 2 ( x 2 1)dx ; ④ 2 (1 x 2 )dx . 1 1 1 则 S 等于( ) A . ①③ B . ③④ C . ②③ D . ②④ 10. y x cost sin t)dt ,则 y 的最大值是( (sin t ) A . 1 B . 2 C . 7 D . 0 2 17 f ( x) 11. 若 f (x) 是一次函数,且 1 1 2 dx 的值是 f ( x) dx 5 , xf ( x)dx 6 ,那么 x 1 . 15.设 f (x ) sin x 3 x ,则 f (x) cos2 xdx ( ) 其余
定积分的应用练习题,DOC
欢迎阅读 题型 1.由已知条件,根据定积分的方法、性质、定义,求面积 2.由已知条件,根据定积分的方法、性质、定义,求体积 内容 一.微元法及其应用 二.平面图形的面积 1.直角坐标系下图形的面积 2.边界曲线为参数方程的图形面积 3. 极坐标系下平面图形的面积 三.立体的体积 1.已知平行截面的立体体积 2.旋转体的体积 四.平面曲线的弦长 五.旋转体的侧面积 六.定积分的应用 1.定积分在经济上的应用 2.定积分在物理上的应用 题型 题型I微元法的应用 题型II求平面图形的面积
题型III 求立体的体积 题型IV 定积分在经济上的应用 题型V 定积分在物理上的应用 自测题六 解答题 4月25日定积分的应用练习题 一.填空题 1. 求由抛物线线x x y 22+=,直线1=x 和x 轴所围图形的面积为__________ 2.抛物线x y 22=把圆822≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比为__________ 3. 由曲线y x y y x 2,422==+及直线4=y 所围成图形的面积为 4.曲线3 3 1x x y - =相应于区间[1,3]上的一段弧的长度为 5. 双纽线θ2sin 32=r 相应于2 2 π θπ ≤ ≤- 上的一段弧所围成的图形面积为 . 6.椭圆)0,0(1sin 1cos b a t b y t a x ???+=+=所围成的图形的面积为 二.选择题 1. 由曲线22,y x x y ==所围成的平面图形的面积为( ) A . 31 B . 32 C . 21 D . 2 3 2. 心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为( ) A . 223a π B . 243a π C . 2 8 3a π D . 23a π 3. 曲线2 x x e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 ( ) A . 2 a a e e -+ B . 2a a e e -- C . 12++-a a e e D .12-+-a a e e 4. 由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为( )。
经济数学(不定积分习题及答案)
第五章 不定积分 习题 5-1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -,并且当x = 1时, 该函数值是3 2π,求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以 又当x = 1时, 3 (1)2f π =,代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍,求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为
最新定积分的简单应用测试题
一、选择题 1. 如图所示,阴影部分的面积为() 2. 如图所示,阴影部分的面积是() 面积(如图)是( A. 2(x2—1)dx '0 B . | 2(x2—1)dx| ■ 0 C. 2|x2 —1|dx D. '(x2—1)dx + 2(x2—1)dx J c J ▲ 0 1 4.设f(x)在[a, b]上连续,则曲线f(x)与直线x= a, x= b, y= 0 围成图形的面积为() A. b f(x)dx B. | b f(x)dx| 'a ' a 精品文档 A. b f(x)dx 'a C. b[f(x) —g(x)]dx 'a B. b g(x)dx 'a D. b[g(x)—f(x)]dx -a C.32 肿5 D.35 3.由曲线y= x2—1、直线x= 0、x= 2和x轴围成的封闭图形的
C. b |f(x)|dx 'a D .以上都不对 5. 16 曲线y =1—w 与x 轴所围图形的面积是() D.5 1 2 比较积分值0 e x dx 和 1 2 1 — U x dx 大于 0e x dx 2 1 C . U x dx 等于 0 7.由曲线y = x 2, y = x 3围成的封闭图形面积为( ) B.1 D. 12 6. 1 x >e dx fe"dx 的大小() 1 2 , 1 B . o e xdx 小于 ° 1 2 1 - D . o e x dx 和°e Xjx 不能比较 e dx A-12 Cl 8.求 1 /dx 的解( ) C . -1 9.求 12 x 2dx 的解( ) A.* C .- 3 10 .过原点的直线I 与抛物线y =x 2— 2ax (a>0)所围成的图形面 积 为9a 3,则直线I 的方程为( ) A . y = iax B . y = ax C . y = — ax D . y = — 5ax
§_5_定积分习题与答案
第五章 定积分 (A) 1.利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ,两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2.利用定积分的几何意义,证明下列等式: ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3.估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4.根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5.计算下列各导数
dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6.计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7.当x 为何值时,函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值? 8.计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+?
? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ,其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ,l 为正整数,且l k ≠,试证下列各题: ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx
定积分测试题
题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 (8小题,共26分) 得分 阅卷人 1. 4)(2 x dt t f x =? ,则=?dx x f x 40)(1( ) A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2.设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续,则函数dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有( )个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3. =+? dx x x 3 1 ( ) A .18 B . 3 8 C . 1 D .0 4.设 )(x ?''在[b a ,]上连续,且a b =')(?,b a =')(?,则 ?='''b a dx x x )()(??( ) (A )b a - (B )21(b a -) (C ))(2 1 22b a + (D ) )(2122 b a - 5. 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、 3 2 3xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 2 3xdx --? 6.sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ,上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7.2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 . 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数,且已知,,则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、 1 2
定积分典型例题20例答案
定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++. 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间[0,1]n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解 将区间[0,1]n 等分,则每个小区间长为1i x n ?=,然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项.于是将所求极限转化为求定积分.即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?. 例2 2 20 2x x dx -? =_________. 解法1 由定积分的几何意义知,2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积.故220 2x x dx -? = 2 π . 解法2 本题也可直接用换元法求解.令1x -=sin t (2 2 t π π - ≤≤ ),则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 (1)若2 2 ()x t x f x e dt -=?,则()f x '=___;(2)若0 ()()x f x xf t dt =?,求()f x '=___. 分析 这是求变限函数导数的问题,利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?. 解 (1)()f x '=42 2x x xe e ---; (2) 由于在被积函数中x 不是积分变量,故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?,则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?. 例4 设()f x 连续,且31 ()x f t dt x -=?,则(26)f =_________. 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=,
不定积分例题及答案
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1) 思路: 被积函数52 x - =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? () 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??() ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?
思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式 加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34 134( -+-)2 思路:分项积分。 解:3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134( -+-)2 ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 :2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ?? ★★ (9) 思路 =? 看到1117248 8 x x ++==,直接积分。 解 : 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解: 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解:21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? 3x x e dx ?