东南大学高等代数2001年考研真题

东南大学高等代数2001

一.(15分) 设V 为数域P 上全体次数小于3的多项式再添上零多项式构成的线性空间3][x P ,考虑如下的生成子空间,

),,(211ααL V =其中211x +=α,2α=x +1,=2V ),(21ββL ,其中x =1β,=2β2x 求1V +2V ,21V V ?的各一组基.

二.(18分) 设1ε,2ε,3ε为欧式空间V 的一组标准正交基,设3211εεεα-+=,3212εεεα--=,),(21ααL W =

1求W 的一组标准正交基 (2)求⊥W 的一组标准正交基,

求322εεα+=在W 中的内射影 (即求W ∈β,使γβα+=,γ∈⊥W ),并求α到W 距离.

三. (15分) 设)(x f 为整系数多项式n n x a x a a x f +++= 10)(,若)1(,,0f a a n 均为奇数,试证)(x f 无有理根.

四. (8分) 试证秩为r 的n s ?矩阵必可分解成秩为r 的r s ?矩阵与秩为r 的n r ?的矩阵之积.五.(8分) 设n s ij a A ?=)(,T s b b b ),(1 =,T n x x x ),(1 =,T s y y y ),(1 =,这里T 表示

转置,试证:b Ax =有解的充分必要条件为线性方程组?????==1

0y b y A T T 无解 六.(16分) 已知g f ,均为线性空间V 上线性变换,满足g g f f

==22,试证:

(1).f 与g 有相同的值域?f gf g fg ==, (2)f 与g 有相同的核?g gf f fg ==, 这里""?表示充分必要

七.(20分) 下列论断是否正确.如正确给出证明,否则举出反例.

(1)设B A ,均为n 阶方阵, 如果秩(A )=秩(B ),则秩(2A )=秩)(2B

(2)设A 为n 阶对称阵,如果2A =0, 则0=A

(3)设21,V V 均为n 维线性空间V 的两个子空间,如果21dim dim dim V V V +=,这里V dim 表示V 的维数.21V V V +=.

(4)设A 为n 阶实矩阵. 如果T A A +为正定阵,则A 为可逆阵.

(5)设B A ,为n 阶矩阵.如果AB B A =+,则BA AB =