大一高数知识点与例题讲解
大一高数
函数与极限
第一节 函数
○函数基础(高中函数部分相关知识)(★★★) ○邻域(去心邻域)(★) (){},|U a x x a δδ=-<
(){},|0U a x x a δδ=<- 第二节 数列的极限 ○数列极限的证明(★) 【题型示例】已知数列{}n x ,证明{}lim n x x a →∞ = 【证明示例】N -ε语言 1.由n x a ε-<化简得()εg n >, ∴()N g ε=???? 2.即对0>?ε,()N g ε?=????,当N n >时,始终有不等式n x a ε-<成立, ∴{}a x n x =∞ →lim 第三节 函数的极限 ○0x x →时函数极限的证明(★) 【题型示例】已知函数()x f ,证明()A x f x x =→0 lim 【证明示例】δε-语言 1.由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<, ∴()εδg = 2.即对0>?ε,()εδg =?,当00x x δ<-<时,始终有不等式()f x A ε-<成立, ∴()A x f x x =→0 lim ○∞→x 时函数极限的证明(★) 【题型示例】已知函数()x f ,证明()A x f x =∞ →lim 【证明示例】X -ε语言 1.由()f x A ε-<化简得()x g ε>, ∴()εg X = 2.即对0>?ε,()εg X =?,当X x >时,始终有不等式()f x A ε-<成立, ∴()A x f x =∞ →lim 第四节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质(★) 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论(★★) (定理三)假设()x f 为有界函数,()x g 为无穷小,则()()lim 0f x g x ?=???? (定理四)在自变量的某个变化过程中,若()x f 为无穷大,则()1 f x -为无穷小;反之,若()x f 为无穷小,且 ()0f x ≠,则()x f 1-为无穷大 【题型示例】计算:()()0 lim x x f x g x →?????(或∞→x ) 1.∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U ο 内是有界的; (∵()f x ≤M ,∴函数()f x 在D x ∈上有界;) 2.()0lim 0 =→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小; (()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小;) 3.由定理可知()()0 lim 0x x f x g x →?=???? (()()lim 0x f x g x →∞ ?=????) 第五节 极限运算法则 ○极限的四则运算法则(★★) (定理一)加减法则 (定理二)乘除法则 关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算 设:()()?????+?++=+?++=--n n n m m m b x b x b x q a x a x a x p 1 101 10 则有()()???????∞=∞→0 lim 0 b a x q x p x m n m n m n >=< ()()() ()000 lim 0 0x x f x g x f x g x →?? ??=∞????? ()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== (特别地,当()()00 lim 0 x x f x g x →=(不定型)时,通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值,也可 以用罗比达法则求解) 【题型示例】求值23 3 lim 9 x x x →-- 【求解示例】解:因为3→x ,从而可得3≠x ,所以原式()()23 333311 lim lim lim 93336 x x x x x x x x x →→→--====-+-+ 其中3x =为函数()23 9 x f x x -= -的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解(详见第三章第二节): 解:()()00 2 33323311 lim lim lim 926 9x L x x x x x x x '→→→'--===-' - ○连续函数穿越定理(复合函数的极限求解)(★★) (定理五)若函数()x f 是定义域上的连续函数,那么,()()00lim lim x x x x f x f x ??→→??=???????? 【题型示例】求值:9 3 lim 23 --→x x x 【求解示例】3 x →=== 第六节 极限存在准则及两个重要极限 ○夹迫准则(P53)(★★★) 第一个重要极限:1sin lim 0=→x x x ∵?? ? ??∈?2, 0πx ,x x x tan sin <<∴1sin lim 0=→x x x 0 000lim11lim lim 1sin sin sin lim x x x x x x x x x x →→→→===?? ??? (特别地,000 sin() lim 1x x x x x x →-=-) ○单调有界收敛准则(P57)(★★★) 第二个重要极限:e x x x =?? ? ??+∞ →11lim (一般地,()() ()() lim lim lim g x g x f x f x =???????? ,其中()0lim >x f ) 【题型示例】求值:1 1232lim +∞→?? ? ??++x x x x 【求解示例】 ()()2111 212 1212 2121 1221 2 2121lim 212 21232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞+→∞?++++??+++→∞ +→∞++→∞+++????? ?==+ ? ? ?+++??????? ???? ???=+=+ ? ???++?? ?? ? ? ? ?? ???=+ ???+???? 解:()()12lim 121 21212 121 22lim 121x x x x x x x x x e e e e +→∞?? ?+?? +??+→∞+→∞???+?? +?? +?? ? +? ? ==== 第七节 无穷小量的阶(无穷小的比较) ○等价无穷小(★★) 1. () ~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1U U U U U U U e +- 2.U U cos 1~2 12 - (乘除可替,加减不行) 【题型示例】求值:()()x x x x x x 31ln 1ln lim 20++++→ 【求解示例】 ()()()()()()()3131lim 31lim 31ln 1lim 31ln 1ln lim ,0,000020=++=+?+=++?+=++++=≠→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 所以原式即解:因为 第八节 函数的连续性 ○函数连续的定义(★) ()()()00 0lim lim x x x x f x f x f x - +→→== ○间断点的分类(P67)(★) ?? ?∞? ??? ?)无穷间断点(极限为 第二类间断点可去间断点(相等)跳越间断点(不等)限存在)第一类间断点(左右极(特别地,可去间断点能在分式中约去相应公因式) 【题型示例】设函数()???+=x a e x f x 2 ,00 ≥ 【求解示例】 1.∵()()()2010000f e e e f a a f a - -?++?===? ?=+=?? =?? 2.由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+-→→0lim lim 0 ∴e a = 第九节 闭区间上连续函数的性质 ○零点定理(★) 【题型示例】证明:方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间 【证明示例】 1.(建立辅助函数)函数()()()x f x g x C ?=--在闭区间[],a b 上连续; 2.∵()()0a b ???<(端点异号) 3.∴由零点定理,在开区间()b a ,内至少有一点ξ,使得()0=ξ?,即()()0f g C ξξ--=(10<<ξ) 4.这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,内至少有一个根ξ 第一章 导数与微分 第一节 导数概念 ○高等数学中导数的定义及几何意义(P83)(★★) 【题型示例】已知函数()? ??++=b ax e x f x 1 ,00>≤x x 在0=x 处可导,求a ,b 【求解示例】 1.∵()()0 010f e f a -+'?==??'=??,()()()0000112 0012f e e f b f e - -+?=+=+=??=? ? =+=?? 2.由函数可导定义()()()() ()001 0002f f a f f f b -+-+ ''===???====?? ∴1,2a b == 【题型示例】求()x f y =在a x =处的切线与法线方程 (或:过()x f y =图像上点(),a f a ????处的切线与法线方程) 【求解示例】 1.()x f y '=',()a f y a x '='=| 2.切线方程:()()()y f a f a x a '-=- 法线方程:()() ()1 y f a x a f a -=- -' 第二节 函数的和(差)、积与商的求导法则 ○函数和(差)、积与商的求导法则(★★★) 1.线性组合(定理一):()u v u v αβαβ'''±=+ 特别地,当1==βα时,有()u v u v '''±=± 2.函数积的求导法则(定理二):()uv u v uv '''=+ 3.函数商的求导法则(定理三):2 u u v uv v v ' '' -??= ??? 第三节 反函数和复合函数的求导法则 ○反函数的求导法则(★) 【题型示例】求函数()x f 1 -的导数 【求解示例】由题可得()x f 为直接函数,其在定于域D 上单调、可导,且()0≠'x f ;∴()() 1 1 f x f x -' ??= ?? ' ○复合函数的求导法则(★★★) 【题型示例】设( ln y e =,求y ' 【求解示例】 ( 22 arcsi y e x a e e e ' '= ' ? ? ' ?+= ??? ? = ?? = 解:?? ? 第四节 高阶导数 ○() ()() ()1n n f x f x -'??=??(或()()11n n n n d y d y dx dx --'??=???? )(★) 【题型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数 【求解示例】()1 111y x x -'= =++, ()()()12 111y x x --'??''=+=-?+?? , ()()()()()23 11121y x x --'??'''=-?+=-?-?+?? …… ()1(1)(1)(1)n n n y n x --=-?-?+! 第五节 隐函数及参数方程型函数的导数 ○隐函数的求导(等式两边对x 求导)(★★★) 【题型示例】试求:方程y e x y +=所给定的曲线C :()x y y =在点()1,1e -的切线方程与法线方程 【求解示例】由y e x y +=两边对x 求导 即() y y x e ' ''=+化简得1y y e y ''=+? ∴e e y -= -= '11 111 ∴切线方程:()e x e y +--= -111 1 法线方程:()()e x e y +---=-111 ○参数方程型函数的求导 【题型示例】设参数方程()() ???==t y t x γ?,求22dx y d 【求解示例】1.()()t t dx dy ?γ''= 2.() 22dy d y dx dx t ?'?? ???=' 第六节 变化率问题举例及相关变化率(不作要求) 第七节 函数的微分 ○基本初等函数微分公式与微分运算法则(★★★) ()dx x f dy ?'= 第二章 中值定理与导数的应用 第一节 中值定理 ○引理(费马引理)(★) ○罗尔定理(★★★) 【题型示例】现假设函数()f x 在[]0,π上连续,在()0,π 上可导,试证明:()0,ξπ?∈, 使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立 【证明示例】 1.(建立辅助函数)令()()sin x f x x ?= 显然函数()x ?在闭区间[]0,π上连续,在开区间()0,π上可导; 2.又∵()()00sin00f ?== ()()sin 0f ?πππ== 即()()00??π== 3.∴由罗尔定理知 ()0,ξπ?∈,使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立 ○拉格朗日中值定理(★) 【题型示例】证明不等式:当1x >时,x e e x >? 【证明示例】 1.(建立辅助函数)令函数()x f x e =,则对1x ?>,显然函数()f x 在闭区间[]1,x 上连续,在开区间()1,x 上可导,并且()x f x e '=; 2.由拉格朗日中值定理可得,[]1,x ξ?∈使得等式()11x e e x e ξ-=-成立, 又∵1 e e ξ >,∴()111x e e x e e x e ->-=?-, 化简得x e e x >?,即证得:当1x >时,x e e x >? 【题型示例】证明不等式:当0x >时,()ln 1x x +< 【证明示例】 1.(建立辅助函数)令函数()()ln 1f x x =+,则对0x ?>,函数()f x 在闭区间[]0,x 上连续,在开区间()0,π上可导,并且()1 1f x x '= +; 2.由拉格朗日中值定理可得,[]0,x ξ?∈使得等式()()()1 ln 1ln 1001x x ξ +-+=-+成立, 化简得()1 ln 11x x ξ +=+,又∵[]0,x ξ∈, ∴()1 11f ξξ '= <+,∴()ln 11x x x +=, 即证得:当1x >时,x e e x >? 第二节 罗比达法则 ○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤(★★) 1.☆ 等价无穷小的替换(以简化运算) 2.判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件 A .属于两大基本不定型( 0,0∞ ∞)且满足条件, 则进行运算:()()()() lim lim x a x a f x f x g x g x →→'=' (再进行1、2步骤,反复直到结果得出) B .☆ 不属于两大基本不定型(转化为基本不定型) ⑴0?∞型(转乘为除,构造分式) 【题型示例】求值:0 lim ln x x x α →? 【求解示例】 ()1000020 1 ln ln lim ln lim lim lim 111 lim 0 x x L x x x x x x x x x x x x x a ααααααα∞∞ -'→→→→→' ?===?'??- ??? =-=解: (一般地,()0 lim ln 0x x x β α →?=,其中,R αβ∈) ⑵∞-∞型(通分构造分式,观察分母) 【题型示例】求值:01 1lim sin x x x →??- ?? ? 【求解示例】 200011sin sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x →→→--??????-== ? ? ??? ?????解: ()()()()00 0002 sin 1cos 1cos sin lim lim lim lim 022 2L x x L x x x x x x x x x x ''→→→→' '---=====' ' ⑶00型(对数求极限法) 【题型示例】求值:0 lim x x x → 【求解示例】 ()()0000 lim ln ln 000002ln ,ln ln ln 1ln ln 0lim ln lim lim 111 lim lim 0lim lim 11x x x x x L x y y x x x x x y x y x x x x x x x y x x x x y e e e x →∞ ∞ '→→→→→→→==== '→=='?? ??? ==-=====-解:设两边取对数得:对对数取时的极限:,从而有 ⑷1∞ 型(对数求极限法) 【题型示例】求值:()10 lim cos sin x x x x →+ 【求解示例】 ()() () ()() 1 000 000lim ln ln 10 ln cos sin cos sin ,ln , ln cos sin ln 0limln lim ln cos sin cos sin 10lim lim 1,cos sin 10lim =lim x x x x L x x y y x x x x y x x y x x x y x y x x x x x x x x y e e e e →→→'→→→→+=+= +→='+??--??====++'===解:令两边取对数得对求时的极限,从而可得 ⑸0 ∞型(对数求极限法) 【题型示例】求值:tan 01lim x x x →?? ? ?? 【求解示例】 ()()tan 00 2000202200011,ln tan ln , 1ln 0lim ln lim tan ln 1ln ln lim lim lim 1sec 1tan tan tan sin sin lim lim li x x x x L x x x L x y y x x x y x y x x x x x x x x x x x x x →→∞ ∞ '→→→'→→?? ?? ==? ? ??? ?? ?? ??→=? ??? ????' =-=-=-??'??- ? ????? '==='解:令两边取对数得对求时的极限,0 0lim ln ln 00 2sin cos m 0,1lim =lim 1 x x y y x x x x y e e e →→→→?====从而可得 ○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路(★★) 00001∞??∞-∞??→←???∞←???∞?∞?∞ (1)(2)(3) ⑴通分获得分式(通常伴有等价无穷小的替换) ⑵取倒数获得分式(将乘积形式转化为分式形式) ⑶取对数获得乘积式(通过对数运算将指数提前) 第三节 泰勒中值定理(不作要求) 第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性 ○连续函数单调性(单调区间)(★★★) 【题型示例】试确定函数()3 2 29123f x x x x =-+-的单调区间 【求解示例】 1.∵函数()f x 在其定义域R 上连续,且可导 ∴()2 61812f x x x '=-+ 2.令()()()6120f x x x '=--=,解得:121,2x x == 4.∴函数的单调递增区间为; 单调递减区间为()1,2 【题型示例】证明:当0x >时,1x e x >+ 【证明示例】 1.(构建辅助函数)设()1x x e x ?=--,(0x >) 2.()10x x e ?'=->,(0x >) ∴()()00x ??>= 3.既证:当0x >时,1x e x >+ 【题型示例】证明:当0x >时,()ln 1x x +< 【证明示例】 1.(构建辅助函数)设()()ln 1x x x ?=+-,(0x >) 2.()1 101x x ?'= -<+, (0x >) ∴()()00x ??<= 3.既证:当0x >时,()ln 1x x +< ○连续函数凹凸性(★★★) 【题型示例】试讨论函数2 3 13y x x =+-的单调性、极值、凹凸性及拐点 【证明示例】 1.()()2 36326661y x x x x y x x '?=-+=--??''=-+=--?? 2.令()()320 610y x x y x '=--=???''=--=?? 解得:120,21x x x ==??=? 3.(四行表) x (,0)-∞ 0 (0,1) 1 (1,2) 2 (2,)+∞ y ' - 0 + + 0 - y '' + + - - y 1 (1,3) 5 4.⑴函数13y x x =+-单调递增区间为(0,1),(1,2) 单调递增区间为(,0)-∞,(2,)+∞; ⑵函数23 13y x x =+-的极小值在0x =时取到,为()01f =, 极大值在2x =时取到,为()25f =; ⑶函数2 3 13y x x =+-在区间(,0)-∞,(0,1)上凹,在区间(1,2),(2,)+∞上凸; ⑷函数2 3 13y x x =+-的拐点坐标为()1,3 第五节 函数的极值和最大、最小值 ○函数的极值与最值的关系(★★★) ⑴设函数()f x 的定义域为D ,如果M x ?的某个邻域()M U x D ?,使得对()M x U x ?∈o ,都适合不等式 ()()M f x f x <, 我们则称函数()f x 在点(),M M x f x ????处有极大值()M f x ; 令{}123,,,...,M M M M Mn x x x x x ∈ 则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值M 满足: ()(){}123max ,,,,...,,M M M Mn M f a x x x x f b =; ⑵设函数()f x 的定义域为D ,如果m x ?的某个邻域()m U x D ?,使得对()m x U x ?∈o ,都适合不等式 ()()m f x f x >, 我们则称函数()f x 在点(),m m x f x ????处有极小值()m f x ; 令{}123,,,...,m m m m mn x x x x x ∈ 则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最小值m 满足: ()(){}123min ,,,,...,,m m m mn m f a x x x x f b =; 【题型示例】求函数()33f x x x =-在[]1,3-上的最值 【求解示例】 1.∵函数()f x 在其定义域[]1,3-上连续,且可导 ∴()233f x x '=-+ 2.令()()()3110f x x x '=--+=, 解得:121,1x x =-= 3.(三行表) 4.又∵()()12,12,318f f f -=-==- ∴()()()()max min 12,318f x f f x f ====- 第六节 函数图形的描绘(不作要求) 第七节 曲率(不作要求) 第八节 方程的近似解(不作要求) 第三章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 ○原函数与不定积分的概念(★★) ⑴原函数的概念: 假设在定义区间I 上,可导函数()F x 的导函数为()F x ',即当自变量x I ∈时,有()()F x f x '=或 ()()dF x f x dx =?成立,则称()F x 为()f x 的一个原函数 ⑵原函数存在定理:(★★) 如果函数()f x 在定义区间I 上连续,则在I 上必存在可导函数()F x 使得()()F x f x '=,也就是说:连续函数一定存在原函数(可导必连续) ⑶不定积分的概念(★★) 在定义区间I 上,函数()f x 的带有任意常数项C 的原函数称为()f x 在定义区间I 上的不定积分,即表示为: ()()f x dx F x C =+? (?称为积分号,()f x 称为被积函数,()f x dx 称为积分表达式,x 则称为积分变量) ○基本积分表(★★★) ○不定积分的线性性质(分项积分公式)(★★★) ()()()()1 2 1 2 k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+? ?????? 第二节 换元积分法 ○第一类换元法(凑微分)(★★★) (()dx x f dy ?'=的逆向应用) ()()()()f x x dx f x d x ????'?=?? ????????????? 【题型示例】求2 2 1 dx a x +? 【求解示例】 22221 1 111arctan 11x x dx dx d C a x a a a a x x a a ??===+ ?+??????++ ? ????? ?? ?解: 【题型示例】求 【求解示例】 ( )( )121212x x C =+=+= ○第二类换元法(去根式)(★★) (()dx x f dy ?'=的正向应用) ⑴对于一次根式(0,a b R ≠∈): t =,于是2t b x a -=, 则原式可化为t ⑵对于根号下平方和的形式(0a >): tan x a t =(2 2 t π π - << ), 于是arctan x t a =,则原式可化为sec a t ; ⑶对于根号下平方差的形式(0a >): a sin x a t =(2 2 t π π -<< ), 于是arcsin x t a =,则原式可化为cos a t ; b sec x a t =(02 t π <<), 于是arccos a t x =,则原式可化为tan a t ; 【题型示例】求 (一次根式) 【求解示例】 2221t x t dx tdt tdt dt t C C t =-=?==+=?? 【题型示例】求 (三角换元) 【求解示例】 ()()2sin () 2 2 22arcsin cos 22cos 1cos 22 1sin 2sin cos 222x a t t x t a dx a t a a tdt t dt a a t t C t t t C ππ =-<<==??????→=+?? =++=++ ??? ?? 第三节 分部积分法 ○分部积分法(★★) ⑴设函数()u f x =,()v g x =具有连续导数,则其分部积分公式可表示为:udv uv vdu =-?? ⑵分部积分法函数排序次序:“反、对、幂、三、指” ○运用分部积分法计算不定积分的基本步骤: ⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序; ⑵就近凑微分:(v dx dv '?=) ⑶使用分部积分公式:udv uv vdu =-?? ⑷展开尾项vdu v u dx '=??? ,判断 a .若v u dx '?? 是容易求解的不定积分,则直接计算出答案(容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分 可以轻易求解出结果); b .若v u dx '?? 依旧是相当复杂,无法通过a 中方法求解的不定积分,则重复⑵、⑶,直至出现容易求解的不定 积分;若重复过程中出现循环,则联立方程求解,但是最后要注意添上常数C 【题型示例】求2x e x dx ?? 【求解示例】 () ()22222 2222222222x x x x x x x x x x x x x x x e x dx x e dx x de x e e d x x e x e dx x e x d e x e xe e dx x e xe e C ?===-=-?=-?=-+=-++???????解: 【题型示例】求sin x e xdx ?? 【求解示例】 ()() ()() sin cos cos cos cos cos cos sin cos sin sin cos sin sin x x x x x x x x x x x x x x e xdx e d x e x xd e e x e xdx e x e d x e x e x xd e e x e x e xdx ?=-=-+=-+=-+=-+-=-+-???????解: ()sin cos sin sin x x x x e xdx e x e x xd e ?=-+-??即: ∴()1sin sin cos 2 x x e xdx e x x C ?= -+? 第四节 有理函数的不定积分 ○有理函数(★) 设:()()()()101101m m m n n n P x p x a x a x a Q x q x b x b x b --=++?+==++?+ 对于有理函数 ()()P x Q x ,当()P x 的次数小于()Q x 的次数时,有理函数() () P x Q x 是真分式;当()P x 的次数大于()Q x 的次数时,有理函数 () () P x Q x 是假分式 ○有理函数(真分式)不定积分的求解思路(★) ⑴将有理函数 () () P x Q x 的分母()Q x 分拆成两个没有公因式的多项式的乘积:其中一个多项式可以表示为一次因式()k x a -;而另一个多项式可以表示为二次质因式()2l x px q ++, (2 40p q -<); 即:()()()12Q x Q x Q x =? 一般地:n mx n m x m ? ?+=+ ?? ?,则参数n a m =- 2 2b c ax bx c a x x a a ??++=++ ?? ? 则参数,b c p q a a = = ⑵则设有理函数() () P x Q x 的分拆和式为: ()()()()() () 122k l P x P x P x Q x x a x px q =+-++ 其中 () () ()() 112 2...k k k P x A A A x a x a x a x a = +++---- () () ()() 21122 2 22 22...l l l l P x M x N M x N x px q x px q x px q M x N x px q ++= + +++++++++ ++ 参数12 1212,,...,,,,...,l k l M M M A A A N N N ???? ?????由待定系数法(比较法)求出 ⑶得到分拆式后分项积分即可求解 【题型示例】求2 1 x dx x +?(构造法) 【求解示例】 ()()()2 21111111111 ln 112 x x x x dx dx x dx x x x xdx dx dx x x x C x +-++??==-+ ?+++? ?=-+=-++++?????? 第五节 积分表的使用(不作要求) 第四章 定积分极其应用 第一节 定积分的概念与性质 ○定积分的定义(★) ()()0 1 lim n b i i a i f x dx f x I λ ξ→==?=∑? (()f x 称为被积函数,()f x dx 称为被积表达式,x 则称为积分变量,a 称为积分下限,b 称为积分上限,[],a b 称为积分区间) ○定积分的性质(★★★) ⑴ ()()b b a a f x dx f u du =? ? ⑵()0a a f x dx =? ⑶()()b b a a kf x dx k f x dx =?????? ⑷(线性性质) ()()()()1212b b b a a a k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+????? ?? ⑸(积分区间的可加性) ()()()b c b a a c f x dx f x dx f x dx =+? ?? ⑹若函数()f x 在积分区间[],a b 上满足()0f x >,则()0b a f x dx >?; (推论一) 若函数()f x 、函数()g x 在积分区间[],a b 上满足()()f x g x ≤,则()()b b a a f x dx g x dx ≤? ?; (推论二) ()()b b a a f x dx f x dx ≤? ? ○积分中值定理(不作要求) 第二节 微积分基本公式 ○牛顿-莱布尼兹公式(★★★) (定理三)若果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数,则 ()()()b a f x dx F b F a =-? ○变限积分的导数公式(★★★)(上上导―下下导) ()()() ()()()()x x d f t dt f x x f x x dx ?ψ??ψψ''=-????????? 【题型示例】求2 1 cos 2 lim t x x e dt x -→? 【求解示例】 () 2 2 11 00 cos cos 2002lim lim 解:t t x x x L x d e dt e dt dx x x --'→→=' ?? () () ()()22 22221 cos cos 000cos 0 cos cos 0 cos 010sin sin lim lim 22sin lim 2cos sin 2sin cos lim 2 1 lim sin cos 2sin cos 21122x x x x x L x x x x x x e e x x e x x d x e dx x x e x e x x e x x x x e e ---→→-'→--→-→-?-?-?==?=' ?+??=?? =+?? ?=?= 第三节 定积分的换元法及分部积分法 ○定积分的换元法(★★★) ⑴(第一换元法) ()()()()b b a a f x x dx f x d x ????'?=?? ????????????? 【题型示例】求201 21 dx x +? 【求解示例】 ()[]2 220001111 21ln 212122121ln 5ln 5ln122 解:dx d x x x x =+=?+?? ?++=-=? ? ⑵(第二换元法) 设函数()[],f x C a b ∈,函数()x t ?=满足: a .,αβ?,使得()(),a b ?α?β==; b .在区间[],αβ或[],βα上,()(),f t t ??'????连续 则: ()()()b a f x dx f t t dt β α ??'=?????? 【题型示例】求4 ? 【求解示例】 ()221 0,43 22 0,1014,3 3 2332311132213111332223522933 解:t t x x t x t t dx t t t dt t dt t x t =-====+??????→+??=??=+=+ ???=-= ???? ⑶(分部积分法) ()()()()()()()()()()()() b b a a b b b a a a u x v x dx u x v x v x u x dx u x dv x u x v x v x du x ''=-=-? ???? ??? ○偶倍奇零(★★) 设()[],f x C a a ∈-,则有以下结论成立: ⑴若()()f x f x -=,则 ()()0 2a a a f x dx f x dx -=? ? ⑵若()()f x f x -=-,则()0a a f x dx -=? 如:不定积分公式 21 arctan 1dx x C x =++?的证明。很多同学上课时无法证明,那么在学期结束时,我给出这样一种 证明方法以说明问题: ()tan 2 2arctan 222 22211tan 11tan 111cos sec cos cos arctan x t t t x dx t dt x t dt t dt dt t t t t C x C π π?? =-<< ???='??????→??++=??=??==+=+????? 如此,不定积分公式2 211arctan x dx C a x a a =++?也就很容易证明了,希望大家仔细揣摩,认真理解。 高等数学(下)知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1) 椭圆锥面:2 2 222z b y a x =+ 2) 椭球面:122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面:1222222=++c z a y a x 3) 单叶双曲面:122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面:1222222=--c z b y a x 4) 椭圆抛物面:z b y a x =+2222 双曲抛物面(马鞍面):z b y a x =-22 22 5) 椭圆柱面:1222 2=+b y a x 双曲柱面:122 22=-b y a x 6) 抛物柱面: ay x =2 (二) 平面及其方程 1、 点法式方程: 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量:),,(C B A n =ρ ,过点),,(000z y x 2、 一般式方程: 0=+++D Cz By Ax 截距式方程: 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角:),,(1111C B A n =ρ,),,(2222C B A n =ρ, ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ;?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离: (三) 空间直线及其方程 1、 一般式方程:?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式(点向式)方程: p z z n y y m x x 0 00-=-=- 高数总复习(上) 一、求极限的方法: 1、利用运算法则与基本初等函数的极限; ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB =g (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论 结论2: ()f x 是基本初等函数,其定义区间为D ,若0x D ∈,则 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质; ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或(lim ()0x f x →∞ =) 则称 ()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为 αβ:. ②性质1:有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设 ~,~ααββ'', 且lim βα'' 存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则; ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123L ; (2)lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。 《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ()2g x x = (C )()f x x = 和 ()() 2 g x x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续,则a =( ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4 y x =的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 8. x x dx e e -+?的结果是( ). (A )arctan x e C + (B )arctan x e C -+ (C )x x e e C --+ ( D )ln()x x e e C -++ 9.下列定积分为零的是( ). 高数重点知识总结 1、基本初等函数:反函数(y=arctanx),对数函数(y=lnx),幂函数(y=x),指数函数(x a y =),三角函数(y=sinx),常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小:高阶+低阶=低阶 例如:1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限:()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式:当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ,[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如:()33lim 10 031lim -? ? ? ? ?-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续,连续未必可导。例如:||x y =连续但不可导。 6、导数的定义:()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导: [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如:x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导:(1)直接求导法;(2)方程两边同时微分,再求出dy/dx 例如:y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+- =?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解:法 9、由参数方程所确定的函数求导:若?? ?==) ()(t h x t g y ,则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==,其二阶导数:()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算:)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如:计算 ?31sin 总复习(上) 一、求极限的方法: 1、利用运算法则与基本初等函数的极限; ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB =g (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论 结论2: ()f x 是基本初等函数,其定义区间为D ,若0x D ∈,则 0lim ()()x x f x f x →= 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质; ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或(lim ()0x f x →∞ =) 则称 ()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为 αβ:. ②性质1:有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设~,~ααββ'', 且lim βα'' 存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,x x x x x x x x ()()2 12 1cos ~,1~,11~,ln 1~,x x x e x x x x x μ μ--+-+ 1~ln ,x a x a -()0→x 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则; ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123L ; (2)lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。 0sin lim 1x x x →= 1 0lim(1)x x x e →+= 1lim(1)x x e x →∞+= 5、利用洛必达法则。 未定式为0,,,0,00∞ ∞∞-∞?∞∞ 类型. ①定理(x a →时的0 型): 设 (1)lim ()lim ()0x a x a f x F x →→==; (2) 在某(,)U a δo 内, ()f x 及()F x 都存在且()0F x ≠; 大一高数试题及解答 大一高数试题及答案 一、填空题(每小题1分,共10分) ________ 1 1.函数y=arcsin√1-x2+ ────── 的定义域为 _________ √1-x2 _______________。 2.函数y=x+ex上点(0,1)处 的切线方程是______________。 f(Xo+2h)-f(Xo-3h) 3.设f(X)在Xo可导且f'(Xo)=A, 则lim─────────────── h→o h = _____________。 4.设曲线过(0,1),且其上任意点(X,Y)的切线斜率为2X,则该曲线的方程是 ____________。 x 5.∫─────dx=_____________。 1-x4 1 6.limXsin───=___________。 x→∞ X 7.设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。 _______ R √R2-x2 8.累次积分∫ dx∫ f(X2+Y2)dy化为极坐标下的累次积分为 ____________。 0 0 d3y3d2y9.微分方程─── +──(─── )2的阶数为____________。 dx3xdx2 ∞ ∞ 10.设级数∑ a n 发散,则级数∑ a n _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的()内, 1~10每小题1分,11~20每小题2分,共30分) (一)每小题1分,共10分 1 1.设函数f(x)=── ,g(x)=1-x,则f[g(x)]=() x 大学高等数学知识点整理 公式,用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→ 大学高数试卷及答案 Company Document number:WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998 浙江农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称: 高等数学I 课程类别: 必修 考试方式: 闭卷 注意事项:1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确答案,并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题3分,共21分) 1.下列各式正确的是: ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ ( ) 1 B. ln C. 1- 1-3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义,则它在该点处可导的一个充分条件是: ( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 学院: 专业班级: 姓名 学号: 装 订 线 内 不 要 答 题 4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是: ( ) A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时,所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6.设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导,那么: ( ) A .1a b == B .2,1a b =-=- C .0,1a b == D .1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点,则下列论述正确的是 ( ) A .'()0f a = B .()0f a = C .''()0f a = D .以上都不对 二、填空题(每小题3分,共21分) 1. 极限232)sin (1 cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 .极限2 lim n n →∞ ?? + + +=. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=?在点x =2处连续,则a = . 4. 函数()sin x f x x = 的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln y =dy = . 7.椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线方程为 . 三、求下列极限(每小题 6分, 共18分) 专升本高等数学知识点汇总 常用知识点: 一、常见函数的定义域总结如下: (1) c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域:x ∈R (2)x k y = 分式形式的定义域:x ≠0 (3)x y = 根式的形式定义域:x ≥0 (4)x y a log = 对数形式的定义域:x >0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当21x x <时,恒有)()(21x f x f <,)(x f 在21x x ,所在的区间上是增加的。 当21x x <时,恒有)()(21x f x f >,)(x f 在21x x ,所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性 定义:设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称(即若D x ∈,则有D x ∈-) (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?,恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?,恒有)()(x f x f -=-。 三、基本初等函数 1、常数函数:c y =,定义域是),(+∞-∞,图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数:u x y =, (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数 定义: x a x f y ==)(, (a 是常数且0>a ,1≠a ).图形过(0,1)点。 4、对数函数 定义: x x f y a log )(==, (a 是常数且0>a ,1≠a )。图形过(1,0)点。 5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T , ),()(+∞-∞=f D , ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T , ),()(+∞-∞=f D , ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T , },2 )12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π , ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T , },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π, ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =,]1,1[)(-=f D ,]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =,]1,1[)(-=f D ,],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =,),()(+∞-∞=f D ,)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =,),()(+∞-∞=f D ,),0()(π=D f 。 极限 一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限,等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候,可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 (1)利用极限的四则运算法则求极限。 (2)利用等价无穷小量代换求极限。 (3)利用两个重要极限求极限。 (4)利用罗比达法则就极限。 第二章 导数与微分 一、主要内容小结 1. 定义·定理·公式 (1)导数,左导数,右导数,微分以及导数和微分的几何意义 (2) 定理与运算法则 定理1 )(0x f '存在?='- )(0x f )(0x f +' . 定理2 若)(x f y =在点0x 处可导,则)(x f y =在点x 0处连续;反之不真. 定理3 函数)(x f 在0x 处可微?)(x f 在0x 处可导. 导数与微分的运算法则:设)(,)(x v v x u u ==均可导,则 v u v u '±'='±)(, dv du v u d ±=±)( u v v u uv '+'=')(, vdu udv uv d +=)( )0()(2≠'-'='v v v u u v v u , )0()(2≠-=v v udv vdu v u d (3)基本求导公式 2. 各类函数导数的求法 (1)复合函数微分法 (2)反函数的微分法 (3)由参数方程确定函数的微分法 (4)隐函数微分法 (5)幂指函数微分法 (6)函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法. 方法:对数求导法(即先对式子的两边取自然对数,然后在等式的两端再对x 求导). (7)分段函数微分法 3. 高阶导数 (1)定义与基本公式 高阶导数公式:a a a n x n x ln )()(= )0(>a x n x e e =)()( )2sin()(sin )(π?+=n kx k kx n n )2cos()(cos )(π ?+=n kx k kx n n n m n m x n m m m x -+-???-=)1()1()()( !)()(n x n n = n n n x n x )! 1()1()(ln 1)(--=- 莱布尼兹公式: (2)高阶导数的求法 ① 直接法② 间接法 4. 导数的简单应用 (1) 求曲线的切线、法线 (2) 求变化率——相关变化率 二、 例题解析 例2.1 设?? ???=≠?=0,00,1sin )(x x x x x f K , (K 为整数).问: (1)当K 为何值时,)(x f 在0=x 处不可导; (2)当K 为何值时,)(x f 在0=x 处可导,但导函数不连续; (3)当K 为何值时,)(x f 在0=x 处导函数连续? 解 函数)(x f 在x=0点的导数: 0lim →x =--0 )0()(x f x f 0lim →x x f x f )0()(-=0lim →x x x x K 1sin )(? = 0lim →x x x K 1sin )(1?-= ? ??>≤101 K K 当,,当发散 即 ? ??>≤='1,01)0(K K f 不存在, 当1>K 时, )(x f 的导函数为: ?????=≠?-?='--0,00,1cos 1sin )(21x x x x x Kx x f K K 浙江农林大学2016 - 2017 学年第 一学期期中考试 课程名称: 高等数学I 课程类别: 必修 考试方式: 闭卷 注意事 项:1、本试卷满分100分。 2、考试时间120分钟。 题 答 :号学 要 不 :名姓 内 线 ? ?级班 业 专 :院学 题号 -一一 二二二 -三 四 五 六 七 八 得分 得分 评阅人 、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确 答案,并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题 3分, 共21分) 1 ?下列各式正确的是: 得分 A. sin x lim 1 B. x x C. lim 1 - x e D. x x 2.当 x 0时,与 f ■- x 等价的无穷小量 是: A. \/1 V x 1 B. In --------------------- x C. 1 J x 3.设 f (x)在 x a 的某邻域有定义, A.J imhfQ ) f(a)存在 叫 H h sin x lim x 0 lim 1 D. cos 、二 则它在该点处可导的一个充分条件是: B. m o H h 叫 H h 在 x 2 3x 10 2 3. 设函数f (x)= x 2 x 在点x=2处连续,则a a x 2 4. 函数f(x)—的间断点为 ___________________ . ________ sin x 5. 函数y 2x 2 lnx 的单调减区间为 _________________ . _________ 6. 设函数 y ln tan x ,贝卩 dy _____________ . _________ x a cost 7. 椭圆曲线 _________________________________ 在t —相应的点处的切线方程为 .______________________________________ y bsi nt 4 A. 0 B ? 没有 C. 2 D. 2 9 5.函数y 1 x 2 在区间[ 1,1]上应用罗尔定理 时, 所得到的中值 () A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 6.设函数 ax e f(X ) “ 2 b(1 x x 0 处处可导,那么 )x 0 : ( ) 4.函数y 3x 3 x 在区间[0,1]上的最小值是: () A. a b 1 B . a 2,b 1 C. a 0,b 1 D. a 1,b 0 7.设x a 为函数y f (x)的极值点,则下列论述正确的是 A . f '(a) 0 B f(a) 0 C f"(a) 0 D .以上都不对 、填空题(每小题3分,共21 分) 得分 1.极限lim x x 2 cos x 1 = (x sin x)2 2.极限lim n 2 2 2 知识点归纳 1. 求极限 2.1函数极限的性质P35 唯一性、局部有界性、保号性 P34 A x f x x =→)(lim 0 的充分必要条件是 :A x f x f x f x f x x x x == +==-+-→→)()0()()0(lim lim 0 000 2.2 利用无穷小的性质P37: 定理1有限个无穷小的代数和仍是无穷小。 0)sin 2(30 lim =+→x x x 定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 0)1 sin (20 lim =→x x x 定理3无穷大的倒数是无穷小。反之,无穷小的倒数是无穷大。 例如:lim ∞→x 12132335-++-x x x x ∞= , lim ∞→x 131 23523+--+x x x x 0= 2.3利用极限运算法则P41 2.4利用复合函数的极限运算法则P45 2.4利用极限存在准则与两个重要极限P47 夹逼准则与单调有界准则, lim 0→x x x tan 1=,lim 0→x x x arctan 1=,lim 0→x x x arcsin 1=, lim )(∞→x ?)())(11(x x ??+e =,lim 0 )(→x ?) (1 ))(1(x x ??+e = 2.6利用等价无穷小P55 当0→x 时, x x ~sin ,x x ~tan , x x ~arcsin ,x x ~arctan ,x x ~)1ln(+, x e x ~,221 ~cos 1x x -,x x αα++1~)1(,≠α0 为常数 2.7利用连续函数的算术运算性质及初等函数的连续性P64 如何求幂指函数)()(x v x u 的极限?P66 )(ln )()()(x u x v x v e x u =,)(ln )()(lim )(lim x u x v x v a x a x e x u →=→ 2.8洛必达法则P120 lim a x →)() (x g x f )() (lim x g x f a x ''=→ 基本未定式:00,∞∞ , 其它未定式 ∞?0,∞-∞,00,∞1,0∞(后三个皆为幂指函数) 2. 求导数的方法 2.1导数的定义P77: lim 00|)(→?==='='x x x dx dy x f y x x f x x f x y x ?-?+ =??→?) ()(000lim h x f h x f h ) ()(000lim -+=→ 浙江农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称: 高等数学I 课程类别: 必修 考试方式: 闭卷 注意事项:1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确答案,并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题3分,共21分) 1.下列各式正确的是: ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ ( ) 1 B. ln C. 1- 1-3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义,则它在该点处可导的一个充分条件是:( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 学院: 专业班级: 姓名: 学号: 装 订 线 内 不 要 答 题 4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是: ( ) A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时,所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6.设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导,那么: ( ) A .1a b == B .2,1a b =-=- C .0,1a b == D .1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点,则下列论述正确的是 ( ) A .'()0f a = B .()0f a = C .''()0f a = D .以上都不对 二、填空题(每小题3分,共21分) 1. 极限232)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 .极限lim n →∞ ?? +L =. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=?在点x =2处连续,则a = . 4. 函数()sin x f x x = 的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln y =dy = . 7.椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线方程为 . 主要公式总结 第八章空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1) 椭圆锥面:2 2222z b y a x =+ 2) 椭球面:122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面:1222222=++c z a y a x 3) 单叶双曲面:122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面:1222222=--c z b y a x 4) 椭圆抛物面:z b y a x =+2222双曲抛物面(马鞍面):z b y a x =-22 22 5) 椭圆柱面:1222 2=+b y a x 双曲柱面:122 22=-b y a x 6) 抛物柱面: ay x =2 (二) 平面及其方程 1、 点法式方程: 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量:),,(C B A n =ρ ,过点),,(000z y x 2、 一般式方程: 0=+++D Cz By Ax 截距式方程: 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角:),,(1111 C B A n =ρ ,),,(2222C B A n =ρ , 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ;? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离: 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= (三) 空间直线及其方程 大一上学期高数复习要点 同志们,马上就要考试了,考虑到这是你们上大学后的第一个春节,为了不影响阖家团圆的气氛,营造以人文本,积极向上,相互理解的师生关系,减轻大家学习负担,以下帮大家梳理本学期知识脉络,抓住复习重点; 1.主要以教材为主,看教材时,先把教材看完一节就做一节的练习,看完一章后,通过看小结对整一章的内容进行总复习。 2.掌握重点的知识,对于没有要求的部分可以少花时间或放弃,重点掌握要求的内容,大胆放弃老师不做要求的内容。 3.复习自然离不开大量的练习,熟悉公式然后才能熟练任用。结合课后习题要清楚每一道题用了哪些公式。没有用到公式的要死抓定义定理! 一.函数与极限二.导数与微分三.微分中值定理与导数的应用四.不定积分浏览目录了解真正不熟悉的章节然后有针对的复习。 一函数与极限 熟悉差集对偶律(最好掌握证明过程)邻域(去心邻域)函数有界性的表示方法数列极限与函数极限的区别收敛与函数存在极限等价无穷小与无穷大的转换夹逼准则(重新推导证明过程)熟练运用两个重要极限第二准则会运用等价无穷小快速化简计算了解间断点的分类零点定理 本章公式: 两个重要极限: 二.导数与微分 熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数 洛必达法则: 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意: ①在着手求极限以前,首先要检查是否满足或型,否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时(不包括∞情形),就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则失效,应从另外途径求极限 . ②洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止. ③洛必达法则是求未定式极限的有效工具,但是如果仅用洛必达法则,往往计算会十分繁琐,因此一定要与其他方法相结合,比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 曲线的凹凸性与拐点: 注意:首先看定义域然后判断函数的单调区间 求极值和最值 利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断(注意二阶导数的符号) 四.不定积分:(要求:将例题重新做一遍) 对原函数的理解 原函数与不定积分 1 基本积分表基本积分表(共24个基本积分公式) 不定积分的性质 最后达到的效果是会三算两证(求极限,求导数,求积分)(极限和中值定理的证明),一定会取得满意的成绩! 高等数学知识点总结 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= , , , a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π 大一高等数学期末考试试卷 (一) 一、选择题(共12分) 1. (3分)若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为( ). (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. (3 分)定积分22 π π -?的值为( ). (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分) 1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. (3分) 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. (3分) 2 1lim sin x x x →= . 4. (3分) 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题(共42分) 1. (6分)求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. (6 分)设1 y x = +求.y ' 3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. (6分)求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. (6分)设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. (6分)设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. (6分)求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题(共28分) 1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. (7分)求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. (7 分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? (二) 一、 填空题(每小题3分,共18分) 1.设函数()2 312 2 +--= x x x x f ,则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2.函数()2 1ln x y +=,则= 'y . 3. =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4.曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 . 高数知识点总结(上册) 函数: 绝对值得性质: (1)|a+b|≤|a|+|b| (2)|a-b|≥|a|-|b| (3)|ab|=|a||b| (4)|b a |=)0(||||≠b b a 函数的表示方法: (1)表格法 (2)图示法 (3)公式法(解析法) 函数的几种性质: (1)函数的有界性 (2)函数的单调性 (3)函数的奇偶性 (4)函数的周期性 反函数: 定理:如果函数)(x f y =在区间[a,b]上是单调的,则它的反函数)(1 x f y -=存在,且是单 值、单调的。 基本初等函数: (1)幂函数 (2)指数函数 (3)对数函数 (4)三角函数 (5)反三角函数 复合函数的应用 极限与连续性: 数列的极限: 定义:设 {}n x 是一个数列,a 是一个定数。如果对于任意给定的正数ε(不管它多么小) , 总存在正整数N ,使得对于n>N 的一切n x ,不等式 ε <-a x n 都成立,则称数a 是数列 {}n x 的 极限,或称数列{}n x 收敛于a ,记做a x n n =∞ →lim ,或 a x n →(∞→n ) 收敛数列的有界性: 定理:如果数列 {}n x 收敛,则数列{}n x 一定有界 推论:(1)无界一定发散(2)收敛一定有界 (3)有界命题不一定收敛 函数的极限: 定义及几何定义 函数极限的性质: (1)同号性定理:如果A x f x x =→)(lim 0 ,而且A>0(或A<0),则必存在0x 的某一邻域,当x 在该邻域内(点0 x 可除外),有0)(>x f (或0)( . 农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称: 高等数学I 课程类别: 必修 考试式: 闭卷 注意事项:1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确答案,并将正确答案的选项填在题后的括号。每小题3分,共21分) 1.下列各式正确的是: ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ 等价的无穷小量是: ( ) A. 1 B. ln C. 1- D. 1- 3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义,则它在该点处可导的一个充分条件是:( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是: ( ) 学院: 专业班级: 姓名: 学号: 装 订 线 内 不 要 答 题 A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时,所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6.设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导,那么: ( ) A .1a b == B .2,1a b =-=- C .0,1a b == D .1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点,则下列论述正确的是 ( ) A .'()0f a = B .()0f a = C .''()0f a = D .以上都不对 二、填空题(每小题3分,共21分) 1. 极限232)sin (1 cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 .极限2 lim n n →∞ ?? + + +=. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=? 在点x =2处连续,则a = . 4. 函数()sin x f x x =的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln tan y =,则dy = . 7.椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线程为 . 三、求下列极限(每小题6分, 共18分) 1. 求极限 1 1sin 1lim 2 --+→x x e x x高等数学知识点总结 (1)
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