数字滤波器的一般概念

数字滤波器的一般概念

滤波器可广义地理解为一个信号选择系统。它让某些信号成分通过又阻止或衰减另一些成分。在更多地情况下，被窄义地理解为选频系统，如低通、高通、带通、带阻。频域与时域均衡器也是一种滤波器，通信系统的传输媒介如明线、电缆等从特性看也是滤波器。滤波器如系统一样可分为三类：模拟滤波器、采样滤波器和数字滤波器.模拟滤波器（AF）可以是由RLC构成的无源滤波器，也可以是加上运放的有源滤波器，它们是连续时间系统。采样滤波器（SF）由电阻、电容、电荷转移器件、运放等组成，属于离散时间系统，其幅度是连续的。开关电容滤波器、电荷耦合滤波器军属这类滤波器。数字滤波器（DF）由加法器、乘法器、存储延迟单元、时钟脉冲滤波器及逻辑单元等数字电路构成。它精度高，稳定性好，不存在阻抗匹配问题，可以时分复用，能够完成一些模拟滤波器完成不了的滤波任务。其缺点是需要抽样、量化、编码，以及手时钟频率所限，所能处理的信号最高频率还不够高。另外，由于有限字长效应会造成域设计值的频率偏差、量化和运算噪声及极限环振荡。

本章讨论的是数字滤波器。

5.1.1 数字滤波器的分类

下面从各种不同角度对数字滤波器分类：

1.按冲激响应h(n)的长度分类

分为有限冲激响应（FIR）DF和无限冲激响应（IIR）DF两种。冲

激响应本来是用于模拟系统，指系统对冲激函数δ（t）的响应。

发展到数字滤波器后，工程上仍沿用这个名称，与单位抽样响应和

单位脉冲响应的说法通用。

FFR DF的冲激响应h(n)为有限长序列，其差分方程为

y(n)= (5.1)

系统函数为

H(z)= (5.2)

IIR DF 的冲激响应h(n)为无限长序列，其差分方程为

y(n)= (5.3)

系统函数为

H(z)= (5.4)

IIR DF和FIR DF在特性、结构、设计方法、运用场合等方面均不

相同，本章及下一章将分别对 IIR DF和FFR DF的设计进行论述。

2.按有无递归结构分类

分为递归型和非递归型。递归表现为实现过程中出现反馈回路。即

将某些输出量反馈到原输入点与原输入量相加。一般来说，IIR DF

的H(z)有分母，须用递归型结构实现；FIR DF 的H(z)无分母，用

非递归型结构实现。但是FIR DF也可以用递归型结构实现，比如

H(z)=1+z-1+z-2+z-3

可以改写为

H(z)=

然后用递归型结构实现。

因此，尽管IIR、FFR与递归非递归有着密切的关系，但它们毕竟

是从不同的角度看问题，在概念上不能混为一谈。

3.按频域特点分

分为低通滤波器（LP DF）、高通滤波器(HP DF)、带通滤波器（BP DF）和带阻滤波器（BS DF）四种。这四种滤波器的理想幅频特性如图5.1所示。

这里要特别强调一点的是：数字滤波器的频响是周期的,其重复周期是采样频率f,或者数字频率2π，且在每一周期内，幅频特性具有对称性。比如采样频率f=8000Hz,数字带通的通带是300～3400Hz，那么它的重复周期为8000Hz，由对称性可知4600～7700Hz也是通带，由周期性可知8300～11400Hz也是通带，等

等。因此，如果你想从0～20kHz的信号中虑出1～4kHz的频率成分，那么在0～20kHz的频率范围内，带通滤波器应该只有1～4kHz的通带。因为频响的周期为

采样频率f所以在f内与1～4kHz相对称的通带f-4kHz～f-1kHz必须在

20kHz的频率之外，应有

f-4kHz>20kHz

即

f>24kHz

则此时带通滤波器的通带范围为1～4kHz，20～23kHz，25～28kHz，……从而保证了在0～20 kHz的频率范围内，只有1～4kHz的频率成分可以通过该滤波器。

因此，所谓低通、高通、，带通、带阻都是指频率f介于0～f/2或数字频率ω介于0～π的那一段幅频特性而言的。也就是说，数字滤波器处理的频率应该小于f/2.

关于数字频率ω，一定要注意它是真实频率于采样频率之比。说一个数字频率低通的带通是0～0.1π,则时钟为1Hz时是指0～50Hz，时钟为2Hz时是指0～100Hz，时钟为100kHz时是指0～5kHz，是相对频率。

4）按同时处理的变量的个数分

分为一维和多维滤波器。一维滤波器的输入、输出、冲激响应和频响分别是x(n)、y(n)、h(n)、和H(e jω),二维滤波器分别是x(n,m)、y(n,m)、h(n,m)和H(e jω1,e j ω2),三维和三维以上类推。一位滤波器最常用。二维滤波器主要用于图象处理，其用途日益广泛。对二维和多维系统理论和实现的研究是目前颇受重视的课题，但本书指涉及一位滤波器。

分类的方法还有很多，比如线性滤波器和非线性滤波器、时变DF和非时变DF、纯振幅DF和纯相位DF、线性相位DF和非线性相位DF等等，不再一一细述。

5.1.2 数字滤波器的一般分析、设计方法

对数字滤波器的分析，主要是考察它再频域和时域两个方面体现的一些特性。

频域：

1.幅频特性，相位特性，群延迟特性。

2.舍入噪声（平均噪声功率、噪声譜）。

时域：

（1）冲激响应，阶跃响应，对任意输入的时间响应。

（2）极限环。

为了描述和分析这些特性，需要有描述系统的方法，主要有：

1.节点方程式。

2.混合方程式。

3.状态方程式。

4.传输函数。

从包含的输入输出关系信息看，（1）（4）逐渐增多，如能得到（4）的传递函数，则可以推出频域时域输入输出关系特性。从包含的系统结构信息量看，（4）（1）逐渐增多，只要知道节点方程式，就可画出系统结构，反之亦然。这集中描述方法式可以相互转化的，比如从状态方程可以推出传递函数。从节点方程可以推出状态方程等等。我们的兴趣主要是在输入输出关系上，所以只讨论传递函数。传递函数H(z)以知后，则可以确定系统的频响为

（5.5）

其中和分别是幅频特性和相位特性。

对于无失真的传输系统，有

(5.6)

即

这就是说，幅频特性为常数，信号通过线性系统后个频率分量的相对大小保持不变，没有失相位失真。相位特性为线性，是对应时域方程的时延量为常数

y(n)=kx(n-τ) (5.9)

即系统对个频率分量的延迟时间相同，这就保证各频率分量的相对位置不变，没有相位失真。

数字通信对相位的要求比模拟通信要高的多，线性相位时很重要的。数字系统描述对各频率分量的相位延迟的函数于模拟系统一样，有两个：

群时延：-dφ（ω）/dω（5.10）

相时延：-φ（ω）/ω (5.11)

群时延特性能反映相频曲线的线性程度，相时延特性能反映各频率分量在时延的相对延时。因无相位失真的传输条件具有恒群时延和恒相时延，即

群时延=相时延＝常数

上面我们讨论的时分析数字滤波器的一般方法，下面来看一个有关数字滤波器的设计问题。

设计一个数字滤波器必须经过下来步骤：

1.确定是用IIR DF还是用FIR DF。

2.确定滤波器的传递函数。

3.用有限精度算法来实现这个系统函数（包括选择运算结构，选择合

适的字长以及有效数字的处理方法）。

实际的技术实现（包括采用通用计算机软件或专用数字滤波器硬件来实现，或者是二者结合的方法）。

应该指出，在设计是并不是可以按照上述顺序一次性解决的，而是互相牵连，需要上下反复多次才能完成。

滤波器的传递函数决定了滤波器的特性。本章和下一章讨论的设计问题就是确定传递函数，即上面的（2）步的内容。关于第（3）步和第（4）步的论述，分别见第7章和第9章。

IIR DF的设计方法大致有两种。一种是借助模拟滤波器的设计技术，应用模拟滤波器低通原型设计各种数字滤波器。另一种是计算机辅助设计，也叫最优化设计，即在某种最优化准则下逼近所希望的响应，下面分两节对这两种设计方法进行介绍。