微积分定理和公式

一、函数

【定义1、1】 设在某一变化过程中有两个变量x 与y ,若对非空集合D 中的每一点x ,都按照某一对应规则f ,有惟一确定的实数y 与之相对应,则称y 就是x 的函数,记作

.),(D x x f y ∈=

x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为函数的定义域,y 的取值范围即集合

{}D x x f y y ∈=),(|称为函数的值域、

xoy 平面上点的集合{}D x x f y y x ∈=),(|),(称为函数)(x f y =的图形、

定义域D (或记f D )与对应法则f 就是确定函数的两个要素、因此称两个函数相同就是

指它们的定义域与对应法则都相同、

(二)函数的几何特性 1.单调性

(1)【定义1、2】 设函数)(x f 在实数集D 上有定义,对于D 内任意两点21,x x ,当 1x ＜2x 时,若总有)(1x f ≤)(2x f 成立,则称D x f 在)(内单调递增(或单增);若总有 )(1x f ＜

)(2x f 成立,则称)(x f 在D 内严格单增,严格单增也就是单增、当)(x f 在D 内单调递增时,

又称D x f 是)(内的单调递增函数、单调递增或单调递减函数统称为单调函数、

2.有界性

【定义1、3】 设函数内有定义在集合D x f )(,若存在实数M ＞0,使得对任意D x ∈,都有|)(|x f ≤M ,则称)(x f 在D 内有界,或称)(x f 为D 内的有界函数、

【定义1、4】 设函数内有定义在集合D x f )(,若对任意的实数M ＞0,总可以找到一

D x ∈,使得|)(|x f ＞M ,则称)(x f 在D 内无界,或称)(x f 为D 内的无界函数、

【定义1、5】 设函数)(x f 在一个关于原点对称的集合内有定义,若对任意D x ∈,都有))()()(()(x f x f x f x f =--=-或,则称)(x f 为D 内的奇(偶)函数、

奇函数的图形关于原点对称,当)(x f 为连续的函数时,)(x f =0,即)(x f 的图形过原

点、偶函数的图形关于y 轴对称、关于奇偶函数有如下的运算规律: 设)()(21x f x f ±为奇函数,)(),(21y g x g 为偶函数,则

)()(21x f x f ±为奇函数;)()(21x g x g ±为偶函数; )()(11x g x f ±非奇偶函数;

)()(11x g x f ?为奇函数;)()(),()(2121x g x g x f x f ??均为偶函数、

常数C 就是偶函数,因此,奇函数加非零常数后不再就是奇函数了、

利用函数奇偶性可以简化定积分的计算、对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助、 4.周期性

【定义1、6】 设函数内有定义在集合D d x f )(,如果存在非零常数T,使得对任意

D x ∈,恒有)()(x f T x f =+成立,则称)(x f 为周期函数、满足上式的最小正数T,称为)(x f 的基本周期,简称周期、

我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求),除此以外知之甚少、][x x y -=就是以1为周期的周期函数、][x y =与][x x y -=的图形分别如图1-1(a)与图1-1(b)所示、

(三)初等函数 1.基本初等函数

(1)常数函数 C y =,定义域为(-∞,+∞),图形为平行于x 轴的直线、在y 轴上的截距为

c 、

(2)幂函数 α

x y =,其定义域随着α的不同而变化、但不论α取何值,总在(1,+∞)内有定义,且图形过点(1,1)、当α＞0时,函数图形过原点(图1-2)

(a ) (b )

图1-2

(3)指数函数 )1,0(≠=αααφx

y ,其定义域为(-∞,+∞)、

当0＜α＜1时,函数严格单调递减、当α＞1时,函数严格单调递增、子数图形过点(0,1)、微积分中经常用到以e 为底的指数函数,即x

e y =(图1-3)

(4)对数函数 )1,0(log ≠=αααφx y ,其定义域为(1,+∞),它与x

y α=互为反函数、

微积分中常用到以e 为底的对数,记作nx y 1=,称为自然对数、对数函数的图形过点(1,0)(图1-4)

(图1-3) (图1-4) 另有两类基本初等函数:三角函数与反三角函数,不在考纲之内、

对基本初等函数的特性与图形要熟练地掌握,这充分条件判断、导数与定积分应用中都很重要、例如,设f b a x b a x f ),,(,),()(∈对任意区间内二阶可导在″)(x ＜0、

则 (1)f ′)(x 在),(b a 内严格单调减少;(2))(x f 在),1(b 上为凸弧,均不充分、 此题可以用举例的方法来说明(1)、(2)均不充分、由初等函数的图形可知,4

x y -=为凸弧、y ′=3

4x -在(－∞,∞＋)上严格单调递减,但y ″=-122

x ≤0,因此(1),(2)均不充分,故选E 、此题若把题干改成f ″)(x ≤0,则(1),(2)均充分,差别就在等于零与不等于零、可见用初等

函数图形来判断非常便捷、

2.反函数

【定义1、7】 设函数)(x f y =的定义域为D ,值域为R ,如果对于每一个R y ∈,都有惟一确定的D x ∈与之对应,且满足)(x f y =x 就是一个定义在R 以y 为自变量的函数,记作

.),

(1R y y f x ∈=-

并称其为)(x f y =反函数、

习惯上用x 作自变量,y 作因变量,因此)(x f y =反函数常记为R x x f y ∈=-),(1

、

函数)(x f y =与反函数)(1

x f

y -=的图形关于直线x y =对称、

严格单调函数必有反函数,且函数与其反函数有相同的单调性、x y a y a x

log ==与互为

反函、∈=x x y ,2

[0,+∞]的反函数为x y =

,而∈=x x y ,2(－∞,0)的反函数为

x y -=(图1-2(b))、

3.复合函数

【定义1、8】 已知函数f f R y D u u f y ∈∈=,),(、又D x x u ∈=),(??,u ≤R ?,若

f f R D I 非空,则称函数

{}f D x x x x f y ∈∈=)(|)],([??

为函数)()(x u u f y ?==与的复合函数、其中y 称为因变量,x 称为自变量,u 称为中间变量、

4.初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算与有限次复合运算而得到的一切函数统称为初等函数,初等函数在其定义域内有统一的表达式、

(四)隐函数

若函数的因变量y 明显地表示成)(x f y =的形式,则称其为显然函数、

1),13(1,222-=-==x y x n y x y 等、

设自变量x 与因变量y 之间的对应法则用一个方程式0),(=y x F 表示,如果存在函数

)(x f y =(不论这个函数就是否能表示成显函数),将其代入所设方程,使方程变为恒等式:

f D x x f x F ∈=,

0))(,(

其中f D 为非空实数集、则称函数)(x f y =由方程0),(=y x F 所确定的一个隐函数、

如方程1=+y x 可以确定一个定义在[0,1]上的隐函数、

此隐函数也可以表示成显函数的形式,即

]1,0[,

)1()(2∈-==x x x f y

但并不就是所有隐函数都可以用x 的显函数形式来表示,如0=++y x e xy

因为y 我法

用初等函数表达,故它不就是初等函数、另外还需注意,并不就是任何一个方程都能确定隐函

数,如012

2

=++y x 、

(五)分段函数

有些函数,对于其定义域内的自变量x 的不同值,不能用一个统一的解析式表示,而就是要用两个或两个以上的式子表示,这类函数称为分段函数,如

???>≤-=???≤->+=.

0,

1,

0,1)(.0,

1,

0,1)(2

x nx x e x g x x x x x f x 都就是定义在(－∞,＋∞)上的分段函数、

分段函数不就是初等函数,它不符合初等函数的定义、

二、极限(不在考试大纲内,只需了解即可)

极限就是微积分的基础、 (一)数列极限

按照一定顺序排成一串的数叫做数列,如n n a a a a ?Λ21,称为通项、 1.极限定义

【定义1、9】 设数列{}n a ,当项数n 无限增大时,若通项n a 无限接近某个常数A ,则称数列{}n a 收敛于A ,或称A 为数列{}n a 的极限,记作

A a n n =∞

→lim

否则称数列{}n a 发散或n n a ∞

→lim 不存在、 2.数列极限性质

(1)四则极限性质 设b y a x n n n n ==∞

→∞

→lim ,lim ,则

).

0(lim lim lim .

lim lim lim .

lim lim )(lim .

lim lim ≠===?=?±=±=±==∞

→∞→∞→∞

→∞

→∞

→∞

→∞

→∞→∞

→∞→b b a y x y x ab y x y x b a y x y x ca x c cx n n n n n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n

(2)a x a x k n n n n =?=+∞

→∞

→lim lim (k 为任意正整数)、

.lim lim lim 122a x x a x n n n n n n ==?=+∞

→∞

→∞

→

(3)若a x n n =∞

→lim ,则数列{}n x 就是有界数列、

(4)夹逼定理 设存在正整数0N ,使得0N n ≥时,数列{}{}{}n n n z y x ,,满足不等式

n n n y x z ≤≤、

若a z y n n n n ==∞

→∞

→lim lim ,则a x n n =∞

→lim 、

利用此定理可以证明重要极限

e n n

n =??

?

??+∞

→11lim (e =

&2、718,就是一个无理数)、

(5)单调有界数列必有极限 设数列{}n x 有界,且存在正整数0N ,使得对任意0N n ≥都有n n x x ≤+1(或n n x x ≥+1),则数列{}n x 的极限一定存在、

利用此定理可以证明重要极限

e n n

n =??

?

??+∞

→11lim (e =

&2、718,就是一个无理数)、 (二)函数的极限 1.∞→x 时的极限

【定义1、10】 设函数)(x f 在)0(||>≥a a

x 上有定义,当∞→x 时,函数)

(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当∞→x 时以A 为极限,记作

.)(lim A x f n =∞

→

当+∞→x 或-∞→x 时的极限

当x 沿数轴正(负)方向趋于无穷大,简记+∞→x (-∞→x )时,)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当+∞→x (-∞→x )时以A 为极限,记作

.

)(lim )(lim )(lim ).

)(lim ()(lim A x f A x f A x f A x f A x f n n n n n ===?===+∞

→+∞

→∞

→-∞

→+∞→

3.0x x →时的极限

【定义1、11】 设函数)(x f 在0x 附近(可以不包括0x 点)有定义,当x 无限接近

)(00x x x ≠时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称当0x x →时,)(x f 以A 为极限,记作

.)(lim 0

A x f x x =→

4.左、右极限

若当x 从0x 的左侧(0x x <)趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时

)(x f 的左极限,记作

.)(lim 0

A x f x x =-

→ 或 A x f =-)0(0

若当x 从0x 的左侧(0x x >)趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时

)(x f 的右极限,记作

.)(lim 0

A x f x x =+

→ 或 A x f =+)0(0

.)(lim )(lim )(lim 0

A x f A x f A x f x x x x x x ===?=-+→→→

(三)函数极限的性质 1.惟一性

若,B x f A x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0

则A=B 、 2.局部有界性

若A x f x x =→)(lim 0、则在0x 的某邻域内(点0x 可以除外),)(x f 就是有界的、

3.局部保号性

若A x f x x =→)(lim 0

、且A ＞0(或A ＜0＝,则存在0x 的某邻域(点0x 可以除外),在该邻

域内有)(x f ＞0(或)(x f ＜0＝。

若A x f x x =→)(lim 0

。且在0x 的某邻域(点0x 可以除外)有)(x f ＞0(或)(x f ＜0＝,则必有

A ≥0(或A ≤0)。

4.不等式性质

若A x f x x =→)(lim 0

,B x g x x =→)(lim 0

,且A>B ,则存在0x 的某邻域(点0x 可以除外),使

)(x f >)(x g 、

若A x f x x =→)(lim 0

,B x g x x =→)(lim 0

、且在0x 的某邻域(点0x 可以除外)有)(x f <)(x g 或

()(x f ≤)(x g ),则A ≤B 。

5.四则运算 同数列

(四)无穷小量与无穷大量 1.无穷小量的定义

【定义1、12】 若0)(lim 0

=→x f x x ,则称)(x f 就是0x x →时的无穷小量。

(若,)(lim 0

∞=→x g x x 则称)(x f 就是0x x →时的无穷大量)。

2.无穷小量与无穷大量的关系

无穷小量的倒数就是无穷大量;无穷大量的倒数就是无穷小量。 3.无穷小量的运算性质

(i)有限个无穷小量的代数与仍为无穷小量。 (ii)无穷小量乘有界变量仍为无穷小量。 (iii)有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。 4.无穷小量阶的比较 设0)(lim

,0)(lim 0

==→→x x a x x x x β,

???

????∞=≠=→.

)()(,,)()(,0),(~)(,)()(,1,)()(,

0)

()(lim 0高阶的无穷大是比称高阶的无穷小是比称记作为等价无穷小与称时特别为同阶无穷小与称x x x x x x x x k x x k x x a x x βαβαβαβαβαβ

5.等价无穷小

常用的等价无穷小:0→x 就是,

)

0(~1)1(,

1~1,

~)1(1,

~1≠-+-+-αααα

ax

x n x x x n x e x

x

等价无穷小具有传递性,即)(~)(x x βα,又)(~)(x x γβ。 等价无穷小在乘除时可以替换,即)(~)(),(~)(*

*

x x x x ββαα,

则)

()

(lim )()(lim **)

()

(0

x x x x x x x x x x βαβα∞→→∞→→=或或 第二讲 函数的连续性、导数的概念与计算

重点:闭区间上连续函数的性质、导数的定义、几何意义、基本初等

函数的求导公式、复合函数求导公式、导数的四则运算。

三、函数的连续性

(一)函数连续的概念 1.两个定义

【定义1、13】 设函数)(x f y =的定义域为D x D ∈0,。若)()(lim 00

x f x f x x =→,则称

0)(x x f 在点连续;若D x f 在)(中每一点都连续,则称0)(x x f 在点右连续。

【定义1、14】 若)()(lim 00

x f x f x x =+→,则称0)(x x f 在点右连续。 若)()(lim 00

x f x f x x =-→,则称0)(x x f 在点左连续。

0)(x x f 在点连续0)(x x f 在?点既左连续又右连续。

2.连续函数的运算

连续函数经过有限次四则运算或复合而得到的函数仍然连续,因而初等函数在其定义区间内处处连续。

(二)间断点

1.若)(lim )(lim 0

0x f x f x x x x -+→→与都存在,且不全等于)(0x f ,则称0x 为)(x f 的第一类间断点。 其中若)(lim 0

x f x x →存在,但不等于)(0x f (或)(x f 在0x 无定义),则0x 为)(x f 的可去间断点。

若)(lim )(lim 0

x f x f x x x x -+→→与都存在,但不相等,则称0x 为)(x f 的跳跃间断点。

2.若)(lim )(lim 0

x f x f x x x x -+→→与中至少有一个不存在,则称0x 为)(x f 的第二类间断点。

(三)闭区间上连续函数的性质

若)(x f 在区间],[b a 内任一点都连续,又)()(lim ),()(lim b f x f f x f b

x x ==-+→→αα

,则称函

数)(x f 在闭区间],[b a 上连续。

1.最值定理

设)(x f 在],[b a 上连续,则)(x f 在],[b a 上必有最大值M 与最小值m ,即存在

],[,21b a x x ∈,使],[,)(,)(,)(11b a x M x f m m x f M x f ∈≤≤==且。

2.价值定理

设)(x f 在],[b a 上连续,且m,M 分别就是)(x f 在],[b a 上最小值与最大值,则对任意的

],[M m k ∈,总存在一点k c f b a c =∈)(],,[使。

【推论1】 设)(x f 在],[b a 上连续,m,M 分别为最小值与最大值,且mM <0,则至少存在一点0)(],,[=∈c f b a c 使。

【推论1】 设)(x f 在],[b a 连续,且0)()(

0)(=c f 。

推论1,推论2又称为零值定理。

第二章 导数及其应用

一、导数的概念

1.导数定义

【定义2、1】 设y=f(x)在x 0的某邻域内有定义,在该邻域内给自变量一个改变量x ?,函数值有一相应改变量)()(00x f x x f y -?+=?,若极限

x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)

()(lim

lim

0000 存在,则称此极限值为函数y=f(x)在x 0点的导数,此时称y=f(x)在x 0点可导,用

??

???

?

==='

'00

0)

(,,)(x x dx x df x x dyx dy

x x y x f 或

或

或

表示、

若)(x f y =在集合D 内处处可导(这时称f(x)在D 内可导),则对任意D x ∈0,相应的导数

)(0x f '将随0x 的变化而变化,因此它就是x 的函数,称其为y=f(x)的导函数,记作

??

?

?

?''dx x df dx

dy y x f )(,,)(或或

或

、 2.导数的几何意义

若函数f(x)在点x 0处可导,则)(0x f '就就是曲线y=f(x)在点(x 0,y 0)处切线的斜率,此时切线方程为))((000x x x f y y -'=-、

当)(0x f '=0,曲线y=f(x)在点(x 0,y 0)处的切线平行于x 轴,切线方程为)(00x f y y ==、 若f(x)在点x 0处连续,又当0x x →时∞→')(x f ,此时曲线y=f(x)在点(x 0,y 0)处的切线垂直于x 轴,切线方程为x=x 0、

3.左、右导数

【定义2、2】 设f(x)在点x 0点的左侧邻域内有定义,若极限

x

x f x x f ?-?+-

→?)

()(lim 000

存在,则称此极限值为f(x)在点x 0处的左导数,记为)(0x f -'

)(0x f -'=x

x f x x f ?-?+-

→?)

()(lim 000

类似可以定义右导数、

f(x)在点x 0点处可导的充要条件就是f(x)在点x 0点处的左、右导数都存在且相等,即

)()()(000x f x f x f +-'='?

'存在

存在、

若f(x)在(a,b )内可导,且)(a f +'及)(b f -'都存在,则称f(x)在[a,b ]上可导、 4.可导与连续的关系

若函数0)(x x f y 在=点可导,则)(x f 在点0x 处一定连续、 此命题的逆命题不成立、

邮导数定义,极限x

x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)

()(lim

lim

0000存在可知,)(x f 在0x 点可导, 必有0→?y ,故)(x f 在0x 点连续、但)(x f 在0x 点连续只说明当0→?x 时,也有0→?y ,而当y ?的无穷小的阶低于x ?时,极限即不存在,故)(x f 在0x 点不可导、只有y ?与x ?就是同阶无穷小,或y ?就是比x ?高阶的无穷小时,)(x f 在0x 点才可导、 例如,0||,31

===x x y x y 在点连续,但不可导、

二、导数的运算

1.几个基本初等函数的导数 (1).0='=y c y (2).,1-='=a a

ax y x y

(3)x x x x e y e y na a y x y ='=='=,;1,

(4).1

,1;11,log x

y nx y na x y x y a ='=='=

2.导数的四则运算 (1))(])([x u c x u c '?='?; (2))()(])()([x v x u x v x u '+'='±;

(3))()()()()]()([x v x u x v x u x v x u '?+'?'=?;

(4))()()()()()()(2

x v x v x u x v x u x v x u '-'='

??

????; 3.复合函数的导数

设函数)(x u ?=在x 处可导,而函数)(u f y =在相应的点)(x u ?=处可导,则复合函数

)]([x u f y =在点x 处可导,且

dx

du

du dy dx dy x x f dx

dy

?

='?'=或

)()]([??、 4.高阶导数(二阶导数)

若函数 区间(a,b )内可导,一般说来,其导数)(x f y '='仍然就是x 的函数,如果

)(x f y '='

也就是可导的,则对其继续求导数,所得的导函数称为)(x f 的二阶导数,记为

2

222)

(,),(,dx x f d dx d x f y y ''''、

【注】 更高阶的导数MBA 大纲不要求,二阶导数主要用来判定极值、函数凹凸区间及

拐点、导数的计算要求非常熟练、准确

第三讲 微分、导数的应用

重点:微分的概念及运算、求曲线切线方程的方法、函数单调区间、

极值、最值的求法 三、微分

1.微分的概念

【定义2、3】 设)(x f y =在0x 的某邻域内有定义,若在其中给0x 一改变量x ?,相应的函数值的改变量y ?可以表示为

).0()

(0)()(00→??+?=-?+=?x x x A x f x x f y

其中A 与x ?无关,则称)(x f 在0x 点可微,且称A x ?为)(x f 在0x 点的微分,记为

.0

x A x x df

x x dy

?====

x A ?就是函数改变量y ?的线性主部、

)(x f y =在0x 可微的充要条件就是)(x f 在0x 可导,且)(00

x x f x x dy ?'==、当

x x f =)(时,可得x dx ?=,因此

.)(,)(00

dx x f dy dx x f x x dy

'='==

由此可以瞧出,微分的计算完全可以借助导数的计算来完成、

(2)微分的几何意义 当x 由0x 变到x x ?+0时,函数纵坐标的改变量为y ?,此时过0x 点的切线的纵坐标的改变量为dy 、如图2-1所示、

当dy

当dy >y ?时,切线在曲线上方,曲线为凸弧、

2.微分运算法则 设)(),(x v x u 可微,则

)

()

()()()()()().()()()()]()([).()()]()([.0)(),())((2x v x dv x u x du x v x v x u d x du x v x dv x u x v x u d x du x du x v x u d c d x cdu x cu d -=+=?±=±== 一阶微分形式不变性:

设)]([x f y ?=就是由可微函数)(u f y =与)(x u ?=复合而成,则)]([x f y ?=关于x 可微,且

dx dx

du

du u df du u f dy x d x f dx x x f x f d ?=

'='='?'=)()()()]([)()]([)])([(即

?????

由于du u f dy )('=,不管u 就是自变量还就是中间变量,都具有相同的形式,故称一阶微分形式不变、但导数就不同了:若u 就是自变量,)(u f y '='、若u 就是中间变量,x u u f y x u u '?'='=则),(、

四、利用导数的几何意义求曲线的切线方程

求切线方程大致有四种情况,最简单的一种就是求过曲线)(x f y =上一点))(,(00x f x 的切线方程,此时只需求出)(0x f ',切线方程为))(()(000x x x f x f y -'=-、

第二种情况就是过曲线)(x f y =外一点(a,b ),求曲线的切线方程,此时)(a f b ≠、 设切点为))(,(00x f x ,切线方程为))(()(000x x x f x f y -'=-,将点(a,b )代入方程中,有

))(()(000x a x f x f b -'=-从中求出0x ,化成第一种情况的切线方程,若得到0x 惟一,则切

线也不惟一、

第三种情况就是求两条曲线的公共切线,这两条曲线可能相离,也可能相交、设两曲线为