考研数学高数真题分类—多元函数微分学

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第六章多元函数微分学

综述：本章是对一元函数中极限、连续、导数与微分等知识的推广，主要考点是围绕偏导数的一系列计算，由于多元函数微分学计算的复杂性要大于一元函数，考试在微分学中的大题一般都出在本章.在考试中，每年直接涉及到本章知识所占的分值平均在12分左右.

本章的主要知识点有：二重极限的定义及其简单的性质，二元函数的连续、偏导数和可微，多元函数偏导数的计算，方向导数与梯度，多元函数的极值，曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线.其中学习的难点是二重极限、二元函数连续、有偏导数和可微这些概念.这一部分考查的频率不高，且以小题为主，考生在学习时要注重把握相关概念严格的数学定义，并与一元函数的相关概念进行比较.本章考查的重点在偏导数的计算及其应用上：首先，偏导数的计算与一元函数的求导并无本质区别，考生只需将一元函数求导的相关知识进行推广，就可以得到偏导数相应的计算公式；在全面掌握了偏导数的计算方法之后，考生还需要掌握偏导数的各种应用，包括多元函数的极值（无条件极值与条件极值）、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线，对于它们，考生只要能计算偏导数，再记住相关的公式定理即可.

本章常考的题型有：1.关于连续、偏导数与全微分定义的考查；2.偏导数的计算；3.方向导数与梯度；4.极值，5.空间曲线的切线与法平面，6.空间曲面的切平面与法线.

常考题型一：连续、偏导数与全微分

1．【1994-1 3分】二元函数(,)f x y 在点()00,x y 处两个偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y ''存在是(,)f x y 在该点连续的（）

充分条件而非必要条件必要条件而非充分条件

充分必要条件既非充分条件又非必要条件

2．【1997-1 3分】二元函数22

(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xy

x y x y f x y x y ?≠ += =?

，，，在点处（）

连续，偏导数存在

连续，偏导数不存在 不连续，偏导数存在

不连续，偏导数不存在

3．【2002-1 3分】考虑二元函数(,)f x y 的下面4条性质，正确的是（） ①(,)f x y 在点00(,)x y 处连续②(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数连续 ③(,)f x y 在点00(,)x y 处可微④(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在 ②③①③②①③④①③①④

4．【2003-3 4分】设可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是

),(0y x f 在处的导数等于零. ),(0y x f 在处的导数大于零. ),(0y x f 在处的导数小于零. ),(0y x f 在处的导数不存在.

5．【2007-1 4分】二元函数(,)f x y 在点处可微的一个充分条件是（）

()

[](,)0,0lim

(,)(0,0)0x y f x y f →-=.

0(,0)(0,0)(0,)(0,0)

lim

0,lim 0x y f x f f y f x y

→→--==且.

(

(,)0,0lim 0x y →=.

00lim (,0)(0,0)0,lim (0,)(0,0)0x x y y x y f x f f y f →→????''''-=-=????

且.

6．【2008-3 4分】

已知(,)f x y =，则

(0,0)x f '，(0,0)y f '都存在(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在 (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '不存在(0,0)x f '，(0,0)y f '都不存在

7．【2012-1 4分】如果(,)f x y 在处连续，那么下列命题正确的是（）

（A ）若极限00

(,)

lim

x y f x y x y

→→+存在，则(,)f x y 在处可微

（B ）若极限22

00

(,)

lim

x y f x y x y

→→+存在，则(,)f x y 在处可微 （C ）若(,)f x y 在处可微，则极限00

(,)

lim

x y f x y x y →→+存在

（D ）若(,)f x y 在处可微，则极限22

00

(,)

lim

x y f x y x y

→→+存在 8．【2012-2 4分】设函数(,)f x y 可微，且对任意都有(,)0f x y x ?>?，(,)0f x y y ?

则使得1122(,)(,)f x y f x y <成立的一个充分条件是

(A) 1212,x x y y ><

(B)1212,x x y y >> (C)1212,x x y y <<

(D)1212,x x y y <>

9.【2012-3 4分】连续函数(,)z f x y =

满足0

1

0x y →→=，则

(0,1)

dz

=________。

【小结】：1、二元函数在()00,x y 处连续当且仅当函数值等于极限值，这里的极限指二重极限，也即()0

00lim (,),x x y y f x y f x y →→=.

2、二元函数在()00,x y 处的偏导数()'00,x f x y 就是一元函数()0,f x y 在处的导数，它

存在当且仅当极限()

00000

(,),lim x x f x y f x y x x →--存在.注意，与连续性不同的是：这里的极限过

程是一元函数的极限.

3、判断函数在某一点()00,x y 是否可微的方法：首先计算函数在该点的两个偏导数

()()0000,,,x y f x y f x y .如果二者至少有一个不存在，则不可微.如果两个偏导数都存在，则

计算极限

()()()

,,,lim

x y z f x y x f x y y ??→?-?+?，如果该极限不存在或不等于0

则不可微，如果该极限等于则可微.

4、多元函数各种概念之间的关系与一元函数有所区别，具体来说：在多元函数中，偏导数存在不一定可导，偏导数存在也不一定连续，但可微则一定是连续并且存在偏导数.

常考题型二：偏导数的计算

1．链式法则的运用

10．【2000-3 3分】设,

x y z f xy g y x ????=+ ? ???

??，其中均可微，则z x ?=?

11．【2004-3 4分】设函数(,)f u v 由关系式[(),]()f xg y y x g y =+确定，其中函

数可微，且()0g y ≠，则2f

u v

?=??.

12．【2005-3 4分】设二元函数)1ln()1(y x xe

z y

x +++=+，则=)

0,1(dz

.

13．【2014-2 4分】设(,)z z x y =是由方程227

4

yz e x y z +++=

确定的函数，则11(,)22

|dz =．

14．【2006-3 4分】设函数可微,且()1

02

f '=

,则()224z f x y =-在点处的全微分()

1,2d z

=.

15．【2009-3 4分】设()y x

z x e =+，则

(1,0)

z

x ?=?

16．【1998-3 5分】设(

)arctan

22

y x

z x y

e

-=+，求与2z

x y

???.

17．【1994-1 3分】设sin x

x u e y -=，则2u x y ???在点1

(2,)π

处的值为

18．【1998-1 3分】设1()(),z f xy y x y f x ??=++、具有二阶导数，则2z

x y

?=??

19．【2007-1 4分】设(,)f u v 是二元可微函数，(,)y

x

z f x y =，则

z

x

?=? __________. 20．【2009-1 4分】设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，则2z

x y

?=??.

21．【2011-1 4分】设函数()?

+=

xy

dt t t

y x F 0

2

1sin ,，则=??==2

022y x x

F ___________.

22．【2007-3 4分】设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ??= ???

，则z z

x y x y ??-=??

__________

23．【2008-2 4分】设x

y

y z x ??

=

?

??

，则(1,2)

z x ?=?

24．【2012-2 4分】设1ln z f x y ??=+ ??

?

,其中函数可微，则2

z z x

y x

y

??+=

??_______。

25．【1992-1 5分】设2

2

(sin ,)x

z f e y x y =+，其中具有二阶连续偏导数，求2z

x y

???

26．【2000-1 5分】设(,)()x

y z f xy g y x

=+，其中具有二阶连续偏导数，具有二阶

连续导数，求2z

x y

???.

27.【2001-1 6

分】设函数(,)

z f x y =在点处可微，且

(1,1)(1,1)(1,1)1,

2,3,()df df f x dx dy ?====(,(,))f x f x x ，求31

()x d

x dx ?= 28．【2004-2 10分】设2

2

(,)xy

z f x y e =-,其中具有连续二阶偏导数,求

2,,

z z z

x y x y

???????. 29．【2009-2 10分】设(),,z f x y x y xy =+-，其中具有2阶连续偏导数，求与2z

x y

???

30．【1997-3 5分】设(),,u f x y z =有连续偏导数，()y y x =和()z z x =分别由

方程0xy

e y -=和0z

e xz -=所确定，求

du dx

. 31．【2013-2 4分】设()y

z f xy x

=

，其中函数可微，则

x z z y x y ??+=??（） （A ）2()yf xy '（B ）2()yf xy '-（C ）

2()f xy x （D ）2

()f xy x

-

32．【2005-1 4分】设函数?

+-+-++=y

x y

x dt t y x y x y x u )()()(),(ψ??, 其中函数具

有二阶导数，具有一阶导数，则必有（）

2222y u x u ??-=??222

2y u x u ??=??2

22y

u y x u ??=???222x u

y x u ??=???. 33．【2007-3 4分】设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ??= ???

，

则z z

x y x y ??-=?? ___ .

34.【2011-3 4分】设函数1x y

x z y ??

=+

???

，则()

1,1=dz .

35．【1996-3 6分】设函数()z f u =，方程()()x

y

u u p t dt ?=+

?，其中是的函数，

()(),f u u ?可微，()()',p t t ?连续，且()'1u ?≠.求()

()z z

p y p x x y

??+??. 36．【2001-3 5分】设(),,u f x y z =有连续的一阶偏导数，又函数()y y x =及

()z z x =分别由下列两式确定：2xy

e xy -=和0

sin x z

x t

e dt t

-=

?

，求

du dx 37．【2003-3 8分】设(,)f u v 具有二阶连续偏导数，且满足1222

2=??+??v

f

u f ，又)](21,[),(2

2y x xy f y x g -=,求.2222y

g x g ??+??

38．【2005-3 8分】设具有二阶连续导数，且)()(),(y

x yf x y

f y x

g +=，求

.22

2222

y g y x g x ??-??

【小结】：多元函数的复合函数求导法则比一元函数复杂，根据复合函数中间变量的不同形式我们有如下求导公式：

如果(,)((),())z f u v f t t ?φ==，则

dz f du f dv

dt u dt v dt

??=+

??； 如果(,)((,),(,))z f u v f x y x y ?φ==，则

z f u f v x u x v x

?????=+

?????，z f u f v

y u y v y ?????=+?????