材料力学(柴国钟、梁利华)第5章答案
5.1 试确定图示梁的危险截面，分别计算图示三种截面上1、2、3点处的正应力。
F =20kN
F =10kN
1m 1m 1m
1203B
A 122
180
30
1
12032
180
30
30
30
1(a)
(b)
(c)
1203
2
180
30
30
1
max （a ）MPa y I M z 4.1590121801201010361max 1=???=-=σ；MPa y I M z
3.106012
180120101036
2max 2=???=-=σ
MPa y I M z
4.159012
180120101036
3max 3-=???-=-=σ
（b ）43
3
4536000012
12045212180120mm I z =??-?=
MPa y I M z 8.19904536000010106
1max 1=??=-=σ；MPa y I M z 2.13604536000010106
2max 2=??=-=σ
MPa y I M z 8.19904536000010106
3max 3-=??-=-=σ
（c ）mm y c 1153012015030165
301207515030=?+???+??=
()()42
323249075001151653012012
3012075115150301215030mm I z =-??+?+-??+?=
MPa y I M z 1.266524907500101061max 1=??=-=σ；MPa y I M z 1.14352490750010106
2max 2=??=-=σ
MPa y I M z 2.4611524907500
10106
3max 3-=??-=-=σ
5.2 如图所示，圆截面梁的外伸部分系空心圆截面，轴承A 和D 可视为铰支座。试求该轴横截面上的最大正应力。
解：剪力图和弯矩图如下：
3.36
1.344
0.9
1.64
4.643
F S x
x
M (kN m)
m kN M B ?=344.1，m kN M D ?=9.0
MPa D M W M B z B B 4.636010344.132323
6
3max
,=???===ππσ
()()
MPa D M W M D z D D 1.6275.0160109.03213243643max
,=-????=-==παπσ 故，MPa 4.63max =σ
5.3 图示简支梁受均布载荷作用。已知材料的许用应力[σ]=160MPa 。（1）设计实心圆截面的直径d ；（2）设计宽度与高度之比b /h =2/3的矩形截面；（3）设计内径与外径之比d /D =3/4的空心圆截面；
（4）选择工字形截面的型钢；（5）分析以上4种截面的合理性。
解：最大弯矩为m kN 204108
18122max ?=??==ql M [][]36
max max max 125000160
1020mm M W W M z z =?=≥?≤=σσσ
实心圆截面：32
3
d W z π=
，故[]mm 109=d ，
6.13=A
W z
； 矩形截面 ：963
2h bh W z =
=，故[][]104mm mm 4.96==h b ，，3.17=A W z ； 空心圆截面：()()3275.013214343-=
-=D D W z παπ，故[]mm 124=D ，2.24=A W
z ； 工字形截面：选16号，0.54=A
W
z 。
由以上计算可见，工字形截面的单位面积抗弯能力最强。
5.4 图示20a 工字钢简支梁。已知材料的许用应力为[σ]=160MPa ，试求许可载荷F 。
解：最大弯矩为()m kN 32
23131max ?=??==F F Fa M
20a 工字钢：3
237cm W z =
[]kN F F W M
z 9.561023710
323
6max max ≤?≤??==σσ
5.5 图示T 形截面悬臂梁。材料为铸铁，其抗拉许用应力[t σ]=40MPa ，抗压许用应力[c σ]=160MPa ，截面对形心轴z 的惯性矩4cm 10180=Z I ，cm 64.91=h 。试按正应力强度条件计算梁的许可载荷F 。
解：()m kN 2max
?==+
F M M C ()m kN 2max ?==-
F M M B
C 截面：
[]t z C t
c F h I M σσ≤???==6.15310101801024
6
2max
,
kN F 3.13≤
[]c z C c
c F h I M σσ≤???==4.9610101801024
61max ,
kN F 5.84≤ A 截面：
[]t z B t
B F h I M σσ
≤???==4.9610101801024
61max
,，kN F 2.21≤
[]c z B c
B F h I M σσ
≤???==6.15310101801024
62max
,，kN F 0.53≤ 故，取[]kN F 3.13≤。
5.6 起重机导轨梁由两根工字钢组成。起重机自重kN 501=F ，起重量kN 102=F 。已知材料的许用正应力[σ]=160MPa ，许用切应力[τ]=100MPa 。不考虑梁的自重，试按正应力强度条件选择工字钢的型号，并进行切应力强度校核。
解：剪力图和弯矩图如下。
10kN
50kN
6x +10(kN)
50-6x
40-6x
10+6x
A
B
x
F S (kN)
x
(50-6x )x
(10+6x )(8-x )
x
M (kN m)
.
可能最大的弯矩及极值为
()()x x x M 6501-=，
()0125011=-=??x x
x M ，m x 17.41=，m kN M ?=2.104max ,1 ()()()x x x M -+=86102，()0123822=-=??x x
x M ，m x 17.32=，m kN M ?=2.140max ,1 故，当m x 17.3=，弯矩最大，其值为
m kN M ?=2.140max [][]36
max max max mm 8.438020160
2102.14022=??=≥?≤=σσσM W W M z z
查表，可选取28a 工字钢，3mm 508000=z W ，mm 246=z
z S I
，mm b 5.8=。
当m x 8=，kN 58max ,=S F ，
[]ττ≤=???==MPa bI S F z z S 9.13246
5.8210583
max ,max
结构满足剪切强度条件。
5.7 图示由三根木条胶合的悬臂梁，其长度l ＝1m 。木材的许用正应力[σ]=10MPa ，许用切应力[τ]=1MPa ，胶合面的许用切应力[胶τ]=0.34MPa 。试求许可载荷F 。 解：()m kN F Fl M ?==max
木材弯曲正应力校核：
[]kN 75.31501001062
6
max max ≤?≤???==F F W M z σσ
木材切应力校核：
[]kN 10150
100105.15
.13
max ≤?≤??==F F A F ττ 胶合面切应力校核：
F
A
B
505050
100
l
[]kN 825.312
/15010010050100501033≤?≤??????==F F bI FS z z s 胶胶
ττ 综合，可得[]kN 75.3=F 。
5.8 图示槽形截面外伸梁。已知材料的抗拉许用应力[t σ]=50MPa ，抗压许用应力[c σ]=120MPa ，许
用切应力[τ]=30MPa 。试校核梁的强度。 解：剪力图和弯矩图如图。
m kN 10max ?==+D M M m kN 20max ?==-B M M
mm
y 6.153200
100250150100
2001001252501502=?-???-??=
，mm y 4.966.1532501=-=
()()4
2
3231018601191006.153200100122001001256.15325015012250150mm I z =-??-?--??+?= D 截面弯曲强度校核：
[]t z D t
D MPa y I M σσ
≤=??==1.156.153101860119
101062max
, []c z D c
D MPa y I M σσ≤=??==
47.94.96101860119
10
106
1m ax , B 截面弯曲强度校核：
[]t z B t
B MPa y I M σσ≤=??==
9.184.96101860119
10
206
1max , []c z B c
B MPa y I M σσ≤=??==2.306.153101860119
10206
2max
,
切应力强度校核：
3max ,6.5896042
6
.1536.153252mm S z =???=
[]ττ≤=???==MPa bI S F z z 32.2101860119
506.58960410203max ,max max
故，梁满足强度条件。
5.9 图示18号工字钢梁，其上作用着可移动的载荷F 。为提高梁的承载能力，试确定a 的合理数值及相应的许可载荷F 。设材料的许用应力为[σ]=160MPa 。
解：两种情况可能弯矩最大，如图。
类似题4.4，只有当()Fa a F =-26时，最大弯矩最小，即m 2=a 。
()m kN 2max ?=F M
查表，18号工字钢截面： 3mm 185000=z W
则，
[]σσ≤?==185000
1026
max max F W M z
kN 8.14≤F
B
D C
35kN 5kN 5
10
15
20
A x
x M (kN m)
.F S (kN)
F F /2
F (6-a )/2
F /2
F (12-a )/(12-2a )
Fa
Fa /(12-2a )
F
x
M (kN m)
.x
M (kN m)
.12m
A
B a a
F
5.10 我国晋朝的营造法式中，给出矩形截面梁的高度与宽度之比为2:3。试用正应力强度条件证明：从圆木中锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。
解：()6
6222b d b bh W z -== d b b d b W z 3306322=?=-=??，d b d h 3622=-= 5.12≈=b
h
5.11 均布载荷作用下的等强度简支梁，材料的许用正应力为[σ]，许用切应
力为[τ]。假设其横截面为矩形，宽度b 保持不变。试求截面高度h 沿梁轴线的变化规律。
解：()2
2
121qx qlx x M -=
()()()[]()[]
σσσb x lx q
x h x bh x lx q x bh qx
qlx W x M z 2
2222max 3321216-=?=-=-==
()qx ql x F s -=
21，ql F s 2
1max ,= ()[][]
τττb ql h bh ql bh ql x A F s 434321
5.15.1max ,max
≥?≤===
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