工程力学答案 第11章 压杆稳定

11-1 两端为铰支座的细长压杆，如图所示，弹性模量E=200GPa，试计算其临界荷载。（1）圆形截面，25,1

d l

==

mm m；（2）矩形截面2400,1

h b l

===

m m；（3）16号工字钢，2

l=m

l

解：三根压杆均为两端铰支的细长压杆，故采用欧拉公式计算其临界力：

（1）圆形截面，25,1

d l

==

mm m：

2

29

2

22

0.025

20010

6437.8

1

cr

EI

P

l

π

π

π

?

???

===

N kN （2）矩形截面2400,1

h b l

===

m m

当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1

μ=时，矩形截面总是绕垂直短边的轴先失稳

2

0.040.02

min(,)

12

y z y

I I I I

?

===，故：

2

29

2

22

0.040.02

20010

1252.7

1

cr

EI

P

l

π

π

?

???

===

N kN （3）16号工字钢，2

l=m

查表知：44

93.1,1130

y z

I I

==

cm cm，当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1

μ=时

4

min(,)93.1

y z y

I I I I

===cm，故：

2298

22

2001093.110

459.4

2

cr

EI

P

l

ππ-

????

===

N kN 11-3 有一根30mm×50mm的矩形截面压杆，一端固定，另一端铰支，试问压杆多长时可以用欧拉公式计算临界荷载已知材料的弹性模量E=200GPa，比例极限σP=200MPa。

解：（1）计算压杆能采用欧拉公式所对应的

P

λ

2

2

99.35

P P

P

E

π

σλ

λ

=→===

（2）矩形截面压杆总是绕垂直于短边的轴先失稳，当其柔度大于

P

λ可采用欧拉公式计算临界力。故

0.7

80.83 1.229

0.03

99.35

x P

y

z

l l

l l

i

μ

λλ

?

===>>

=→mm，

即 1.229

l>mm为细长杆，可采用欧拉公式计算临界力。

11-6 某钢材的比例极限230

P

σ=MPa，屈服极限274

s

σ=MPa，弹性模量E=200GPa，331 1.09

cr

σλ

=-。

试求

P s

λλ

和，并绘制临界应力总图（0150

λ

≤≤）。

解：（1）计算此钢材的判别柔度

①将230P σ=MPa 代入欧拉公式22E

πσλ

=可以计算此钢材细长压杆的判别柔度P λ：

92.64P λ=== ②由经验公式331 1.09cr σλ=-知：此钢材的331, 1.09a b ==MPa MPa ，将274s σ=MPa 代入中柔度杆的公式可以此钢材中柔度杆的判别柔度s λ：

33127452.291.09

s s a b σλ--=

== （2）绘制临界应力总图如图：

52.29

σ

(MPa)

cr

11-7 b=40mm,h=60mm 的矩形截面压杆如图所示，在在平面内，两端铰支，出平面内两端固定。材料为Q 235钢，其弹性模量210E G =Pa ,比例极限σP =200MPa 。试求（1）压杆的临界荷载P cr ，（2）若[]3st n =，压杆所承受的最大轴向压力为多大（3）从稳定性考虑b/h 为何值时最佳

习题11-7图

解：（1）计算柔度：

①当压杆在在平面内xoy 内失稳，为z 中性轴。

1 2.4

138.560.060xy xy z

l

i μλ??=

=

= b

②当压杆在出平面内xoz 内失稳，为y 中性轴。

0.5 2.4

103.920.04xz xz y

l

i μλ??=

=

=

③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。

max(,)138.56xz xy λλλ==

④计算压杆能采用欧拉公式所对应的P λ

22101.8P P P E πσλλ=→=== ⑤101.8138.56P λ=<，故采用欧拉公式计算P cr

222362

(2101010)

(0.0600.040)259.10138.56

cr cr E P A A

πσλ

π=?=????=

??=N kN

(2) 由压杆稳定条件求压杆所承受的最大轴向压力［P ］若[]3st n =，

[][]

259.1086.373cr cr w w w P P n n P P n =

≥→≤==kN （3）求稳定性最佳的b/h

当压杆在不同方向的柔度相等时，才不会在某平面内先失稳。故

1 2.41 2.40.5 2.40.50.5 2.4

xy xy

z

xz xz y l h i b h b h l b i μλμλ???==??

???→=→=????==??

?

补充1 图示边长为a 的正方形铰接结构，各杆的E 、I 、A 均相同，且为细长杆。试求达到临界状态时相应的力P 等于多少若力改为相反方向，其值又应为多少

F BC

F N N BC

N CD

解：（1）各杆的临界力

222..2

2

2cr BD cr EI

EI

P P a

a

ππ=

=

=

外

（2）求各杆的轴力与P 的关系。

由对称性可知，外围的四个杆轴力相同，NAB NBC NCD NDA F F F F ===。研究C 、B 结点，设各杆都是受拉的二力杆，则与结点相联系的杆施与背离结点指向杆内的拉力，C 、B 结点受力如图所示。

第一种情况：

C:)02450x NCB NCB F P F cos F =→--=→=∑o 压杆

B:

()02450Y

NBD NBC NBD NBC F

F F cos F P =→--=→==∑o 拉杆

令22,.22

==NCB

cr CB cr EI EI

F P P P a a π===?外 第二种情况：

)NCB F =

拉杆

()-NBD NBC F P ==压杆

22.2

2

-==

22NBD NBC cr BD EI

EI

F P P P a a ππ===

?

补充2 图示矩形截面松木柱，其两端约束情况为：在纸平面内失稳时，可视为两端固定；在出平面内失稳时，可视为上端自由下端固定。试求该木柱的临界力.

解：（1）计算柔度：

①当压杆在在平面内xoz 内失稳，y 为中性轴。

0.57

101.04xz xz y

l

i μλ??=

=

=

②当压杆在出平面内xoy 内失稳，z 为中性轴。

27242.490.200

xy xy z

l

i μλ??=

== ③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。

max(.)242.49xz xy λλλ==

（2）松木75242.49P λ=<，故采用欧拉公式计算P cr

222112

(0.110)

(0.1200.200)40.28242.49

cr cr E

P A A

πσλ

π=?=???=

??=N kN

补充3 图示压杆，材料为Q235钢，横截面有四种形式，其面积均为2

3

102.3mm ?，试计算其临界力.

解：（1）矩形：

①计算柔度：2

3

6

32 3.21010

3.2100.04b b --=??=?→=

0.530.53

129.90.04xz xz y

l

b i μλ???=

=

== 129.9>123=xz P λλ=

矩形截面压杆属于细长压杆，采用欧拉公式计算其临界力 ②计算其临界力

22113

22

2103,210N 374.34kN 129.9

cr E P A ππλ-??=?=??= （2）正方形截面：

①计算柔度：2

3

6

33.21010

3.2100.057a a --=??=?→=

0.530.53

91.860.057xz xz y

l

b i μλ???=

=

== 06091.86<123=xz P λλλ=<=

正方形截面压杆属于中柔度杆，采用经验公式计算其临界力 ②采用直线经验公式计算其临界力

63()(304 1.1291.86)10 3.210N 643.57kN cr cr P A a b A σλ-=?=-?=-????=

（3）圆形截面： ①计算柔度：

23633.21010 3.2100.0644

d d π

--=??=?→=

0.530.53

94.000.06444

xz xz y

l

d i μλ???=

=

== 0=6094<123xz P λλλ<==

圆形截面压杆属于中柔度杆，采用经验公式计算其临界力 ②采用直线经验公式计算其临界力

63()(304 1.1294)10 3.210N 635.9kN cr cr P A a b A σλ-=?=-?=-????=

（3）圆环形截面： ①计算柔度：

2222363(1)(10.7) 3.21010 3.2100.0894m 4

4

D D D π

π

α---=

-=??=?→=

0.530.53

54.990.0894

xz xz y

l

D i μλ???=

=

==

054.99<60=xz λλ=

圆环形截面压杆属于粗短杆，临界应力为屈服极限 ②计算其临界力

()()6323510 3.210N 752kN cr cr s P A A σσ-=?=?=???=

补充4 图示结构中，横梁AB 由14号工字钢制成，材料许用应力[]160MPa σ=，CD 杆为Q235轧制钢管，2636d D ==mm,mm 。其弹性模量210E G =Pa 。若[] 1.5st n =,试对结构进行强度与稳定校核。

F N 图

（kN ）M 图

（kN m ）

+

24

12

-

解:（1）求反力：取ABC 杆为研究对象，受力如图所示。

()0sin 45122033.941kN A

NDC

NDC m F

F =→-+?=→==∑o F

（2）内力分析：ABC 杆的AC 段发生拉弯组合变形，CB 段发生弯曲；CD 杆为轴向压缩杆件。内力图如图所示。

（3）对压杆进行稳定性校核。 ①求压杆的柔度

127.39

l

i

μ

λ===

②求压杆临界力

对于Q235钢材料为100

P

λ=，127.39>100

P

λλ

==，采用欧拉公式计算压杆临界应力229

22

21010

Pa127.72MPa

127.39

cr

E

ππ

σ

λ

??

===

③校核压杆的稳定性

[][]

66

6

322

127.7210127.7210

1.83 1.5

26

/69.7010

33.9410/{0.036[1()]}

436

cr cr

w w w w NDC

n n n

F A

σσ

π

σ

??

=≥→===≥=

?

???-

故，压杆的稳定性足够。

（4）对梁ABC进行强度计算

梁的C的左截面为拉弯组合变形的危险面，其上距中性轴最远的上边缘点位危险点。

查表可知14号工字钢的23

21.516cm,102cm

z

A W

==。则梁的最大拉应力为：

33

max

max46

24101210

Pa11.154117.647MPa128.8MPa

21.5161010210

N

z

F M

A W

σ

--

??

=+=+=+=

??

故，ABC梁的的强度足够。