高考一轮复习课时作业10A-1
课时作业(四十七)
一、选择题
1．两个平面重合的充要条件是()
A．有三个公共点B．有无数个公共点
C．有一条公共的直线D．有两条公共的直线
答案 D
解析由公理3及推论满足的条件知：A、B、C不正确．
对于D，若两个平面重合，则这两个平面必有两条公共直线，反之，若两个平面有两条公共直线，则这两条直线为平行直线，或相交直线，据公理3的推论，过两条平行直线、相交直线有且只有一个平面，所以这两个平面重合，故D正确，所以选D.
2．如图所示，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C?l，直线AB∩l＝M，过A、B、C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()
A．点A
B．点B
C．点C但不过点M
D．点C和点M
答案 D
解析通过A、B、C三点的平面γ，即是通过直线AB与点C的平面，M∈AB.
∴M∈γ，又∴M∈β，C∈β
∴γ和β的交线必通过点C和点M.
3．(09·湖南)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()
A．3 B．4
C．5 D．6
答案 C
解析依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行的棱有AA1、BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD、C1D1，故符合条件的棱共有5条，选C.
4．(2010·江西卷)如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：
①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；
②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；
④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．
其中真命题是()
A．②③④B．①③④
C．①②④D．①②③
答案 C
解析将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意非零的角度，所得的平面与直线AB，B1C1都相交，故③错误，排除ABD，选C.
5．正方体ABCD－A1B1C1D的棱长为1，M、N分别为BB1、C1D1的中点，设平面A1MN 与棱CC1的交点为P，则NP的长为()
A.
2
2 B.
5
4
C.
3
4 D.
1
2
答案 B
6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别为AB、AD、B1C1的中点，那么正方体的过P、Q、R点的截面图形是()
A．四边形B．三角形
C．五边形D．六边形
答案 D
解析如右图取C1D1的中点H，连结HR，则有HR綊QP.再取BB1与D1D的中点M、N，连结PM、MR、HN、NQ，有HRMPQN为正六边形．
7．对于不同的点A、B、C，直线a、b、l，平面α有下列命题：①若l上有一点在α外，则l有无穷多点在α外；②若A，B∈α，C∈AB，则C∈α；③若a，b?α，l∩α＝A，l∩b ＝B，则l?α；④若l上有两点在α外，则l上所有点在α外，其中真命题的个数为()
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
答案 B
解析 当直线l 与平面α相交时，满足l 上有两点在α外，但交点在α内，④不真．其余命题可由公理1验证，均为真命题．选B.
8．在空间，下列命题中正确的是( ) A ．对边相等的四边形一定是平面图形 B ．四边相等的四边形一定是平面图形 C ．有一组对边平行的四边形一定是平面图形 D ．有一组对角相等的四边形一定是平面图形 答案 C
解析 若两组对边都异面，则可相等，排除A 和B.若一组对角相等，有可能一个角的两条边与另一角的两条边分别是异面直线，这时是空间四边形，所以D 不对，由公理3的推论知C 是正确的．
9．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是AA 1、CC 1的中点，P 是CC 1上的动点(包括端点)，过E 、D 、P 作正方体的截面，若截面为四边形，则P 的轨迹是( )
A ．线段C 1F
B ．线段CF
C ．线段CF 和一点C 1
D ．线段C 1F 和一点C
答案 C
10．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积为( )
A.12＋22
B ．1＋
22
C ．1＋ 2
D ．2＋ 2
答案 D
解析 根据平面图形斜二测直观图的画法，所求平面图形为四边形；由“横不变”知，四边形为梯形，且上底边长为1，容易求得下底边长为1＋2；由直观图的底角45°知，这个梯形为直角梯形；再由“竖取半”知，腰长为2，故这个平面图形的面积为S ＝1
2[1＋(1＋
2)]×2＝2＋ 2.
11．如图所示，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误的命题是( )
A．点H是△A1BD的垂心
B．AH垂直于平面CB1D1
C．AH的延长线经过点C1
D．直线AH和BB1所成角为45°
答案 D
解析A中，△A1BD为等边三角形，所以三心合一．
∵AB＝AA1＝AD，
∴H到△A1BD各顶点的距离相等，即H为外心垂心，∴A正确；
∵CD1∥BA1，CB1∥DA1，CD1∩CB1＝C，
∴平面CD1B1∥平面A1BD.
∴AH⊥平面CB1D1，
∴B正确；连AC1，则AC1⊥B1D1，
∵B1D1∥BD，∴AC1⊥BD同理AC1⊥BA1.
∴AC1⊥平面A1BD.
∴A、H、C1三点共线，∴C正确，故选D.
二、解答题
12．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AA1，D1C1的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.
(1)画出l的位置；
(2)设l∩A1B1＝P，求PB1的长；
(3)求D1到l的距离．
解析(1)面DMN∩面AA1D1D＝DM在面AA1D1D中，DM的延长线交D1A1的延长线于E，则E∈DM，DM?面
DMN，∴E∈面DMN
又∵E∈A1D1而A1D1?面A1B1C1D1，
∴E∈面A1B1C1D1，
同理，N ∈面DMN 且N ∈面A 1B 1C 1D 1， ∴E 、N 都为面DMN 和面A 1B 1C 1D 1的公共点， 面DMN ∩面A 1B 1C 1D 1＝EN ∴直线EN 为所求的l .
(2)∵M 为AA 1的中点，AA 1∥DD 1 ∴A 1为D 1E 的中点，又∵A 1B 1∥C 1D 1 ∴A 1P 綊12D 1N ＝14a ，∴PB 1＝3
4a .
(3)在面A 1B 1C 1D 1中，作D 1H ⊥EN 于H
在RtΔED 1N 中，D 1E ＝2a ，D 1N ＝12a ，∴EN ＝17
2a
∴D 1H ＝ED 1·D 1N
EN ＝2a ·1
2a
17
2
a ＝21717a .
13．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点，求证(1)E 、C 、D 1、F 四点共面；(2)CE 、D 1F 、DA 三线共点；(3)若Q 是A 1C 与平面ABC 1D 1的交点，则B 、Q 、D 1三点共线．
证明 (1)∵E 、F 分别是AB 和AA 1的中点，连结EF ，则EF ∥D 1C ，∴E 、F 、C 、D 1
四点共面．
(2)设D 1F ∩DA 于G ， ∴G ∈DA 且G ∈D 1F .
∴G ∈面ABCD ，且G ∈面EFD 1C . ∴G ∈CE .∴D 1F 、DA 、CE 三线共点于G . (3)∵Q 是A 1C 与面ABC 1D 1的交点． ∴Q 是A 1C 的中点．
又∵A 1D 1綊BC ，∴面A 1BCD 1是平面四边形， ∴A 1C 与BD 1互相平分
∴Q 是BD 1的中点，即B 、Q 、D 1三点共线．