利用导数解决生活中的优化问题

利用导数解决生活中的优化问题

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建立数学模型

利用导数解决生活中的优化问题

导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题;3、与利润及其成本有关的最值问题;４、效率最值问题。

一．解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关系,并确定函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具.

二．利用导数解决优化问题的基本思路:

三、应用举例

例1(体积最大问题)用长为1８ｍ的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大?最大体积是多少？ 解:设长方体的宽为(m)x ,则长为2(m)x ，高为181234.53(m)042x h x x -?

?==-<< ??

?.故长方体的体积为

2232

3()2(4.53)96(m )02V x x x x x x ?

?=-=-<< ???

. 从而2

()181818(1)V x x x x x '=-=-．

令()0V x '=，解得0x =（舍去)或1x =，因此1x =． 当01x <<时,()0V x '>；当3

12

x <<

时，()0V x '<． 故在1x =处()V x 取得极大值，并且这个极大值就是()V x 的最大值.

从而最大体积2

3

3

(1)91613(m )V V ==?-?=，此时长方体的长为2m ,高为1.5m . 答:当长方体的长为2m ,宽为1m ,高为1.5m 时,体积最大，最大体积为3

3m ． 点评:用导数来解决实际问题时,一般首确定自变量，选定了自变量,要搞清自变量的范围,再列出关系式,对关系式进行求导,最后求出最值来。

例2（帐篷设计问题）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥。试问当帐篷的顶点Ｏ到底面中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大?

解决数学模型

作答

用函数表示的

优化

用导数解决

优化问题

解：设OO 1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为(单

位:m)

2223(1)82x x x +-=+-于是底面正六边形的面积为：

222223333(1)6(82)(82)42

x x x x x +-=?

?+-=+- ｍ2 帐篷的体积为233313()(82)(1)1(1612)232

V x x x x x x ??

=+--+=+-???? m 3 求导数,得23

()(123)2

V x x '=

-令()0V x '=解得x ＝－2(不合题意，舍去)，x=２．当1<ｘ<2时，()0V x '>,V(x ）为增函数;当２＜x ＜4时，()0V x '<，V(x)为减函数。所以当ｘ

＝2时,Ｖ(x)最大。即当ＯＯ1为２m 时，帐篷的体积最大。

点评:本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识,以及运用数学知识解决实际问题的能力。求解关键是设法构建函数关系,将实际问题如何转化为数学问题，再利用导数求解.

例３（瞬时速度问题）若已知某质点的运动方程为S （t)=12+t -ａt,要使在t ∈[0, +∞]上的每一时刻的瞬时速度的绝对值都不大于１,求实数ａ的取值范围。 解: Ｓ’（ｔ）=

a t t -+1

2

． ∵| S ’（ｔ)|≤1，∴|1

|

2

a t t -+≤1,

∴???????-≥-+≤-+111122a t t a t t ,即 ???

?

???

++≤-+≥.

11,1122

t t a t t a ?

当t ∈[0,＋∞]时,(

11

2

++t t )mi ｎ=１，∴a ≤1.

当t +∞时，

11

2

→+t t ,且

1

2

+t t 连续递增,所有值都小于1,

∴a ≥０. 故实数a 的取值范围是０≤a ≤1。

点评：①质点运动方程S(ｔ)的导数S ’(t ）的物理意义就是质点在时刻t 的瞬时速度． ②利用导数的物理意义列出不等式,根据不等式在t ∈[0, +∞﹞上恒成立,求出a 的取值范围.

例4(容器的容积最大）用长为90ｃｍ，宽为48ｃm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形翻转?90角,再焊接而成.问该容器的高为多少时,容器的容积最大？最大容积是多少？

解:设容器高为ｘcm ，容器的容积为)(x V c ｍ3

,则

)(x V = x(90-2x)（48-２ｘ) = 4x 3

-276x 2

+４３2０x (0

求)(x V '=12x 2－5５2x ＋4３2０ = １2(x 2-46x ＋3６0) ＝ １２(x-10)(x －36)． 令)(x V '= 0，得ｘ1＝ 10,x 2= 36 (舍去)， 当0＜x<10 时,)(x V '>０，那么)(x V 为增函数； 当10<ｘ<24 时,)(x V '＜0,那么)(x V 为减函数.

因此，在定义域(０,24)内，函数)(x V 只有当x ＝ 1０时取得最大值,其最大值为： )10(V = １０×(90-20）(48-2０) = １９６0０(cm 3)．

所以当容器的高为10cm 时，容器的容积最大，最大容积为19600cm 3．

点评:函数的应用题主要存在于用料最省、造价最低、利润最大等最优化问题中，由于函数的应用性问题是一种最广泛，实用性又极强的问题，并且利用导数运算工具简化了运算量，所以函数应用题已成为高考的一大热点．

例5(水库的蓄水量问题)水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为

124(1440)50,010,

()4(10)(341)50,1012.

x t t e t V t t t t ??-+-+<≤=??--+<≤?

(Ⅰ)该水库的蓄求量小于５0的时期称为枯水期.以1i t i -<<表示第１月份(1,2,

,12i =）

，同一年内哪几个月份是枯水期？ （Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取 2.7e =计算）. 解:(Ⅰ)①当010t <≤时,1

2

4

()(1440)5050x V t t t e

=-+-+<，化简得

214400t t -+>,

解得4t <，或10t >，又010t <≤,故04t <<.

②当1012t <≤时,()4(10)(341)5050V t t t =--+<，化简得(10)(341)0t t --<， 解得41

103

t <<

,又1012t <≤，故1012t <≤. 综合得04t <<,或1012t <≤;

故知枯水期为１月，2月，3月，11月,12月共５个月. (Ⅱ)（Ⅰ)知：Ｖ(t )的最大值只能在(４，10）内达到．

由V ′（t )=),8)(2(4

1)42341(41

24

1-+-=++-t t c t t c t

t

令V ′(ｔ）=０,解得t=８（t=-2舍去).

当ｔ变化时,V ′(t ) 与Ｖ (ｔ)的变化情况如下表:

t (4,8) ８ (８,1０）

V ′(ｔ） + 0 - V （t ）

极大值

由上表,V （t ）在t =8时取得最大值V （8)=8ｅ2

+50-10８.52(亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是１08.32亿立方米

点评：本题以水库蓄水为背景，考查了函数、导数和不等式等基本知识，同时还考查了运用导数知识求最值和综合运用数学知识解决生产生活实际问题的能力．

例6(磁盘的最大存储量问题)计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或１，这个基本单元通常被称为比特（ｂi ｔ）。

为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m ，每比特所占用的磁道长度不得小于n 。为了数据检索便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。

问题：现有一张半径为R 的磁盘，它的存储区是半径介于r 与R 之间的环形区域. (１）是不是r 越小，磁盘的存储量越大？

(2)r 为多少时,磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息)? 解:由题意知:存储量=磁道数×每磁道的比特数。

设存储区的半径介于r 与R 之间,由于磁道之间的宽度必需大于m ，且最外面的磁道不存

储任何信息，故磁道数最多可达R r

m

-。由于每条磁道上的比特数相同,为获得最大存储量,最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达2r

n

π。所以，磁盘总存储量

()f r =R r m -×2r n π2()r R r mn

π

=-. （1)它是一个关于r 的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是r 越小，磁盘的存储量

越大．

(2)为求()f r 的最大值,计算()0f r '=．

()

2()2f r R r mn

π

'=

-,令()0f r '=，解得2R r =， 当2R r <

时,()0f r '>；当2

R

r >时,()0f r '<． 因此2

R r =时,磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为2

24R mn π。

例７（饮料瓶大小对饮料公司利润的影响问题)

（1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ (２)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大？

【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是2

0.8r π分，其中 r 是瓶子的半径,单位是厘米。已知每出售1 ｍＬ的饮料,制造商可获利 ０．2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm

问题：(1）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ (２)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？ 解:由于瓶子的半径为r ,所以每瓶饮料的利润是

()332240.20.80.8,0633r y f r r r r r πππ??==?-=-<≤ ???

令()2

0.8(2)0f r r r π'=-= 解得 2r =(0r =舍去)

当()0,2r ∈时,()0f r '<;当()2,6r ∈时,()0f r '>．

当半径2r >时,()0f r '>它表示()f r 单调递增，即半径越大，利润越高; 当半径2r <时,()0f r '< 它表示()f r 单调递减，即半径越大,利润越低．

（1)半径为2cm 时，利润最小，这时()20f <，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值.

（2）半径为6ｃｍ时,利润最大．

换一个角度:如果我们不用导数工具,直接从函数的图像上观察,会有什么发现?

可根据单调区间画出函数的大致图像，由图像知:当3r =时，()30f =,即瓶子的半径为3ｃm 时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当3r >时，利润才为正值.

当()0,2r ∈时,()0f r '<，()f r 为减函数,其实际意义为：瓶子的半径小于2cm 时,瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm 时,利润最小．