浅谈数学分析的学习方法

浅谈数学分析的学习方法

纪跃芝

（长春工业大学基础科学学院,吉林长春130012）

摘要：文章针对数学分析“难学”的问题，从授课教师的角度在数学概念的理解、做题技巧的训练、学习方法的获得、以及运算能力的培养等方面给予一些指导和建议，引导学生解决学习中存在的问题。

关键词：数学概念；运算能力；解题技巧；

《数学分析》(又称微积分)是大学数学系(甚至理工科)最重要的一门课程，要学三个学期，所花课时几乎是其它数学课程的5倍。现代数学的大多数分支都发源于此，几乎所有的高年级课程都要以它为基础。

《数学分析》也是大学数学系从一年级直到博士期间所有课程中最难的一门课。第一是因为它与中学数学有很大的差异，思维习惯完全不同，门坎很高，不易进入；第二是因为学生要在很短的时间内接受非常多的、容易使大脑糊涂的信息，使学生产生畏难情绪，丧失信心；第三是数学分析的概念和结论往往不够简洁、美观，显得拖泥带水，不容易记忆。

作为数学分析课程的教师，对待学生学习上的问题，处理问题的心态与学生本人有所不同，初学者有着一种本能的抵触情绪，容易产生急躁、厌烦情绪，为此，有必要用科学的方式、方法和教育手段，引导学生解决学生学习中存在的问题。

一、数学分析课程的学习方法问题

1．不要预习、要复习。第一个学期最好不要预习，但要不断地复习。要跟随老师，认真地模仿数学分析的思维习惯和文字表述方式，最低限度要能听懂课。

2. 极其熟练地掌握数学分析中的概念、术语、符号和结论。数学分析中的许多概念、术语、符号和结论在各个数学分支中反复地出现，是科学的语言，因此要完整、准确地掌握，要像讲母语那样熟练，做到脱口而出、信手能写。

3. 学懂的标志。要把数学分析中的内容领会的像中学平面几何一样清楚，没有一点含混之处，尤其要注意像“一个看起来是显然的结论却要费很大的力气来证明”、“一个定理中为什么要添上某个条件才成立”诸如此类的问题。

4. 适当地做一些笔记。教师的讲课内容与教材会有一些区别，或有一些不同的理解和注解，有时还会补充一些典型例题，需要及时记下。学生所记笔记内容将是获得新知识的主要来源，因此要养成记笔记的良好习惯。

5. 学会单元复习，经常对知识进行归纳、整理、总结，建立一个属于自己的知识框架，其中要将一些关联的、注意的、难点的、典型的等等写在旁边提醒自己，将复杂化问题化为若干个简单的问题，以便使学过的知识更加条理化、系统化。

6. 课本上有很多结论、公式，切忌死记硬背，而是认真地推导几遍，直至不看书也能顺利推导下去，这样才可以认为把内容消化理解了。这样做有两个好处，首先，考试的时候即使没记住公式（事实上，如果真正会推导了，公式一般都记得很牢），自己也可以再推导。第二个好处就是培养对数学的感觉和数学素养，这才是最重要的，经过一次次的分析、推导，才能真正领略到数学的博大精深。

二、数学分析课程中的概念问题

数学概念是在人类历史发展过程中，逐步形成和发展的。数学概念(mathematical con

cepts)是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式。讲清数学概念是“三基”的基本要求之一，要全面理解数学概念的内涵与外延，理解数学概念的特点。

1. 在数学中，作为一般的思维形式的判断与推理，以定理、法则、公式的方式表现出来，而数学概念则是构成它们的基础。正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提。

正确地理解和形成一个数学概念，必须明确这个数学概念的内涵—对象的“质”的特征，及其外延—对象的“量”的范围。一般来说，定义是准确地表达数学概念的方式，运用定义的形式来揭露其本质特征。有些数学概念要经过长期的酝酿，最后才以定义的形式表达，如函数、极限等。

2. 数学概念经常需要用数学符号来表示。如dy表示函数y的微分。数学符号是表达数学概念的一种独特方式，对学生理解和形成数学概念起着极大的作用，它把学生掌握数学概念的思维过程简约化、明确化了。许多数学概念的定义就是用数学符号来表达，从而增强了科学性。

3. 要建立一个数学分析概念的关系网。数学分析是一个个概念的点阵，所有的相关的、从属的概念要在头脑中形成一个网络。要把不能纳入其中的或相关的概念认识清楚。总概念中各相关概念是怎样发展的要有一个清晰的脉络。

4. 有比较才有认识，要从不同的层面上来理解一个数学概念。对于一个数学分析概念要擅于从正面、侧面、上面、下面等各个层面上来认识它。对相似的、类似的概念或概念的内部关系认识不清，将不利于数学概念的理解。

学好数学分析，一个很重要的前提是必须建立完整的思维方式。随着知识水平的提高，学生对数学概念的理解也会逐步深入，处理数学问题的方式、方法也会逐步趋于严谨。总之，对概念的定义都有一个失败—认识—再失败的过程。

三、数学分析课程中运算能力的培养

数学中的运算能力是和记忆能力、观察能力、理解能力、联想能力、表述能力等互相渗透，也和逻辑思维能力等数学能力相互支撑。数学分析课程的最大特点是符号化、模式化，因此，运算能力的培养，必须从理解数学符号、数学模式着手。

1．模式化。数学分析的一些定理、原理、公理都有一定的模式，其中“因为……所以…，就是最简单的一种模式，对各种数学模式的理解与认识的过程也是对学生逻辑思维能力的训练过程。

2．符号化。数学分析中的符号与文学艺术作品中的表达性符号不同，后者需要我们仔细体会其中的含义，而数学分析中的符号只是一种替代性符号，无需我们猜想其含义，它只是一个替身，其作用仅在于推导，帮助我们进行数学思维，所以我们不必在它的含义上耗费太多的时间和精力。

四、数学分析课程中的做题技巧的训练

对于数学分析的学习，首先必须要有一个淡定的心态去应对，因为有的题真的很难，只有淡定，你的心才会静下来看那些“疑难杂症”；其次，阅读相关的书籍，掌握一些解题技巧，拓宽解题思路。如果说分析是认知的话，那么做题无疑就是实践了，做的题越多，对所学知识就会有更清晰、更全面地理解，分析问题时的洞察力越强。有些同学可能觉得做题很枯燥，很浪费时间，其实只要真的投入就感觉到它的魅力了，或许还会发出“风景这边独好”的感叹。

1.首先，对于每天布置的硬性作业必须认认真真的完成，这类作业要按正规的步骤一丝

不苟地做，旨在训练自己的动手能力和书写能力；

2. 做题要有节奏，难易结合。做题要讲质量，不能把精力都放在做偏、难、怪的题型上，若平时将重心放在难题上，基础知识难免会偏失，所以平时适度地做一些中等难度的题即可，关键是要打好基础，循序渐进。

3. 做题要留下体会，留下痕迹。学习分为三个过程：模仿、品味、迁移。模仿是初始阶段经常作用的一种方式，以老师或教科书为参照，按部就班地做。经过一次次地模仿，对这些记忆中的题型在大脑中进一步地加工、体会，形成自己对这类题的成型的理解。经过前两个阶段的积累，最后达到将原知识体系与现有知识相互融合，实现了对新、旧知识的最新体会。

4. 做题时应树立一种次序和关联的思想。数学分析习题的题干中各要素一般都是按一定的次序和关系排放的，做题前要审清题意，分先后，分主次，各个击破。

总之，对于数学分析的学习应该和它建立时的历史一样,是分层次的。

首先是数学分析交给我们一些方法，比如求极限，计算微分，积分等等。这个过程主要是以实用为主，因为当时微积分发展的背景就是应天文学和工程力学等计算方面的需要而建立的。

第二层，对于数学专业的学生，就要特别注意书本上的一些证明以及定理间的构建框架。比如微分中值定理可以证明哪些定理，而其本身又是怎样从罗尔定理推广过来的。这是微积分的基础部分以及由其生成的一些重要结构，作为一个学习数学的人，必须深刻领会。

第三层，数学分析的核心理论是戴德金分划理论，柯西列，集合论的知识等，这是微积分的基础部分，通过这些内容的学习才能对数学分析有深刻的理解。

第四层，数学分析和其他学科的结合，当然是数学内部的结合。比如和拓扑的结合，从一个新的角度看待映射，把连续函数可以看成一个连续映射，它的拓扑同胚变换等等。这是一个高屋建瓴的境界，是统观全局并且能将其发展的时刻。

数学是开发思维的一门学科,同时也是掌握各种技能的基础,如物理，化学，机械，计算机，光电技术等都需要以数学为基础，所以，一定要学好数学。