三角恒等式证明的基本技巧

三角恒等式证明的基本技巧

浙江省定海第一中学（316000） 符海龙

三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。 1．化角

观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是证明三角恒等式时一种常用技巧。

例1求证：tan

2

3x - tan

2

1x =

x x x 2cos cos sin 2+

思路分析：本题的关键是角度关系：x=

2

3x -2

1x ，可作以下证明： 右式=

x

x x x 2

1cos

23cos

2)2123sin(

2-

=x

x x

x x x 2

1cos 23cos 21sin

23

cos

21

cos

23sin

-= tan

2

3x - tan

2

1x 。

2．化函数

三角函数中有几组重要公式，它们不仅揭示了角间的关系，同时揭示了函数间的相互关系，三角变换中，以观察函数名称的差异为主观点，以化异为为同（如化切为弦等）的思路，恰当选用公式，这也是证明三角恒等式的一种基本技巧。 例2 设

A

B A tan )tan(-+

A

C 2

2sin

sin =1，求证：tanA 、tanC 、tanB 顺次成等比数列。

思路分析：欲证tan 2C = tanA ·tanB ，将条件中的弦化切是关键。可作以下证明： ∵ sin 2

C=

C

C 2

2

tan 1tan + ，sin 2

A=

A

A

2

2

tan 1tan

+ ∴

A

C 2

2sin

sin =

)

tan

1(tan

)tan 1(tan 2

2

22C A A C ++ 由已知可得

A

C 2

2

sin

sin =1-

A

B A tan )tan(-=

)

tan tan 1(tan )

tan 1(tan 2

B A A A B ++，

∴

)

tan tan 1(tan )

tan 1(tan 2

B A A A B ++=

)

tan

1(tan

)tan 1(tan 2

2

22C A A C ++ ∴

C

C 2

2

tan 1tan +=

B

A A

B tan tan 1tan tan +

即tan 2C = tanA ·tanB 命题成立。 3．化幂

应用升、降幂公式作幂的转化，以便更好地选用公式对面临的问题实行变换，这也是三角恒等式证明的一种技巧。

例3求证 cos4α-4cos2α+3=8sin 4α

思路分析：应用降幂公式，从右证到左：

右边=8(2

2cos 1α-)2=2(1-2cos2α+cos 2

2α)= 2(1-2cos2α+2

4cos 1α-)=cos4α-4cos2α

+3=左边。 4．化常数

将已知或目标中的常数化为特殊角的函数值以适应求征需要，这方面的例子效多。如 1=sin 2

α+cos 2

α=sec 2

α-tan 2

α=csc 2

α-cot 2

α=tan αcot α=sin αcsc α=cos αsec α，1=tan450=sin900=cos00等等。如何对常数实行变换，这需要对具体问题作具体分析。

例4 求证 αααα2

2sin cos cos sin 21--=α

α

tan 1tan 1+- 思路分析：将左式分子中“1”用“sin 2α+cos 2

α”代替，问题便迎刃而解。 左边=

)

sin )(cos sin (cos )

cos (sin 2

αααααα+--=

α

αααsin cos )cos (sin +--=

α

αtan 1tan 1+-=右边

5．化参数

用代入、加减、乘除及三角公式消去参数的方法同样在证明恒等式时用到。

例5 已知acos 2

α+bsin 2

α=mcos 2

β，asin 2

α+bcos 2

α=nsin 2

β，mtan 2

α=ntan 2

β(β≠n π) 求证：(a+b)(m+n)=2mn

思路分析：消去参数，当m=0时，由mtan 2α=ntan 2β得n=0，显然成立。当m ≠0时，只须消去α、β即可。由acos 2α+bsin 2α=mcos 2β，asin 2α+bcos 2α=nsin 2β得 αααα2

2

22sin cos cos sin b a b a ++=

m

n tan 2β，再由mtan 2α=ntan 2

β得

α

ααα2

2

2

2sin cos cos sin b a b a ++=tan 2α即可得

α

α22

tan tan b a b a ++=tan 2α，解得tan 2α=1，所以sin 2α=cos 2

α=

2

1。

求得cos 2β=m

b a 2+，sin 2β=n

b a 2+，又由cos 2β+sin 2β=1不得。∴m

b a 2++n

b a 2+=1 ，

即 (a+b)(m+n)=2mn

6．化比

一些附有积或商形式的条件三角恒等式证明问题，常可考虑应用比例的有关定理。用等比定理，合、分比定理对条件加以变换，或顺推出结论，或简化条件，常常可以为解题带来方便。

例6 已知(1+ cos α)(1- cos β)=1- 2( ≠0，1)。求证：tan 2

2

α

=

-+11tan 2

2

β

思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将 分离出来，以结论中

-+11为向导，应用

合比定理即可达到论证之目的。 由已知得1+ cos α- cos β- 2cos αcos β=1- 2,

2(cos αcos β-1)= (cos α-cos β)，∴ =

1

cos cos cos cos --βαβα 依合分比定理得

-+11=

β

αβαβαβαcos cos 1cos cos 1cos cos cos cos +---+-=

)

1)(cos cos 1()1)(cos cos 1(-+--βααβ=2

sin

2

cos

42sin 2

cos

42

2

2

2

βααβ

=tan

2

2

α

cot

2

2

β

∴ tan

2

2

α

=

-+11tan

2

2

β

7．化结构

观察等式左右结构上的差异，立足于统一结构形式也是三角恒等式的一种技巧。

例7设A+B+C=π，求证：sinA+sinB+sinC=4cos

2

A cos

2

B cos

2

C

思路分析：这里等式左右分别为和积的形式，现将左边化成积。 ∵ A+B+C=π ∴ sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B) ∴左边=2sin 2

B A +cos

2

B A -+

sin(A+B)= 2sin 2

B A +(cos 2

B A -+cos

2

B A +)=2sin

2

B A +2cos

2

A cos

2

B

=4 cos

2

A cos

2

B cos

2

C

8．化拆项

这一类恒等式可与数学求和结合起来，常拆项相消法。

例8 求cosx+cos2x+…+cosnx=2

sin 2sin 21cos

x x

n x n +

思路分析：左边同乘以sin 2

x ,去括号，积化和差可得

左边=2

1[(sin

23x

-sin

2

x )+(sin

2

5x -sin

23x

)+…+(sin 2

)12(x

n +-sin

2

)12(x

n -)]

=

21(sin

2

)12(x

n +- sin 2

x )=cos

2

)1(x

n +sin

2

nx

9.数学归纳法

与自然数有关的命题，还可以用数学归纳法解决。 上述例题可用数学归纳法证明。