时间序列分析

1.1时间序列定义：

时间序列是指将某种现象某一个统计指标在不同时间上的各个数值,按时间先后顺序排列而形成的序列.

构成要素：现象所属的时间,反映现象发展水平的指标数值.要素一：时间t；要素二：指标数值。

1.2时间序列的成分：

一个时间序列中往往由几种成分组成，通常假定是四种独立的成分——趋势T、循环C、季节S和不规则I。

T 趋势通常是长期因素影响的结果，如人口总量的变化、方法的变化等。

C任何时间间隔超过一年的，环绕趋势线的上、下波动，都可归结为时间序列的循环成分。S许多时间序列往往显示出在一年内有规则的运动，这通常由季节因素引起，因此称为季节成分。目前，可以称之为“季节性的周期”，年或者季节或者月份。

I时间序列的不规则成分是剩余的因素，它用来说明在分离了趋势、循环和季节成分后，时间序列值的偏差。不规则成分是由那些影响时间序列的短期的、不可预期的和不重复出现的因素引起的。它是随机的、无法预测的。

四个组成部分与观测值的关系可以用乘法模型或者加法模型或者综合。

1.3预测方法的选择与评估

方法P216

三种预测方法：移动平均法、加权移动平均法和指数平滑法。因为每一种方法的都是要“消除”由时间序列的不规则成分所引起的随机波动，所以它们被称为平滑方法。平滑方法对稳定的时间序列——即没有明显的趋势、循环和季节影响的时间序列——是合适的，这时平滑方法很适应时间序列的水平变化。但当有明显的趋势、循环和季节变差时，平滑方法将不能很好地起作用。

移动平均法使用时间序列中最近几个时期数据值的平均数作为下一个时期的预测值。移动平均数的计算公式如下：

指数平滑法模型：

式中Ft+1——t+1期时间序列的预测值；

Yt——t期时间序列的实际值；

Ft——t期时间序列的预测值；

α——平滑常数（0≤α≤1）。

均方误差是常用的（MSE）

标准误差定义为各测量值误差的平方和的平均值的平方根。

设n个测量值的误差为ε1、ε2……εn，则这组测量值的标准误差σ等于：

数理统计中均方误差是指参数估计值与参数真值之差平方的期望值，记为MSE。MSE是衡量“平均误差”的一种较方便的方法，MSE可以评价数据的变化程度，MSE的值越小，说明预测模型描述实验数据具有更好的精确度。与此相对应的，还有均方根误差RMSE、平均绝对百分误差等等。

时间序列平稳性的定义

假定某个时间序列由某一随机过程（stochastic process）生成，即假定时间序列{Xt}（t=1, 2, …）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到的。如果经由该随机过程所生成的时间序列满足下列条件：

均值E(Xt)=m是与时间t 无关的常数；

方差Var(Xt)=s^2是与时间t 无关的常数；

协方差Cov(Xt,Xt+k)=gk 是只与时期间隔k有关，与时间t 无关的常数；

则称经由该随机过程而生成的时间序列是（弱）平稳的（stationary)。该随机过程便是一个平稳的随机过程（stationary stochastic process）。

例如，白噪声（white noise）过程就是平稳的：

Xt=ut ，ut~IIN(0,s^2)

因为它的均值为常数零；方差为常数s^2；所有时间间隔的协方差均为零。

但随机游走（random walk）过程是非平稳的：

Xt=Xt-1+ut ，ut~IIN(0,s^2)，

因为尽管其均值为常数E（Xt）=E（Xt-1），但其方差Var(Xt)=ts^2非常数。

不过，若令DXt=Xt-Xt-1，则随机游走过程的一阶差分（first difference）是平稳的：DXt=Xt-Xt-1=ut ，ut~IIN(0,s^2)

一般地，在经济系统中，一个非平稳的时间序列通常均可通过差分变换的方法转换成为平稳序列。