(完整word版)导数及其应用测试题(有详细答案)
《导数及其应用》
一、选择题
1.0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的:
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分又不必要条件 2、设曲线2
1y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ,则函数()cos y g x x =的部分图象可以为
A. B. C. D.
3.在曲线y =x 2
上切线的倾斜角为π4
的点是( )
A .(0,0)
B .(2,4) C.? ????14,116 D.? ??
??12,14 4.若曲线y =x 2
+ax +b 在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( )
A .a =1,b =1
B .a =-1,b =1
C .a =1,b =-1
D .a =-1,b =-1 5.函数f (x )=x 3
+ax 2
+3x -9,已知f (x )在x =-3时取得极值,则a 等于( )
A .2
B .3
C .4
D .5
6. 已知三次函数f (x )=13x 3-(4m -1)x 2+(15m 2
-2m -7)x +2在x ∈(-∞,+∞)是增函数,则m 的取值
范围是( )A .m <2或m >4 B .-4 7. 直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线,则实数a 的值为A .1- B .e C .ln 2 D .1 8. 若函数)1,1(12)(3 +--=k k x x x f 在区间上不是单调函数,则实数k 的取值范围( ) A .3113≥≤≤--≤k k k 或或 B .3113<<-<<-k k 或 C .22<<-k D .不存在这样的实数k 9. 10.函数()f x 的定义域为(),a b ,导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示, 则函数()f x 在(),a b 内有极小值点 A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 10.已知二次函数2 ()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数x 都有()0f x ≥,则 (1)'(0)f f 的最小值为A .3 B .52 C .2 D .3 2 二、填空题 O x x x x y y y y O O O 11.函数sin x y x = 的导数为_________________ 12、已知函数2 2 3 )(a bx ax x x f +++=在x=1处有极值为10,则f (2)等于____________. 13.函数2cos y x x =+在区间[0, ]2 π 上的最大值是 14.已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点,则实数a 的取值范围是 15. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,0)1(=f , ) ()(2 >-'x x f x f x )(0>x ,则不等式 0)(2>x f x 的解集是 三、解答题 16. 设函数f (x )=sin x -cos x +x +1,0 17. 已知函数3 ()3f x x x =-. (Ⅰ)求)2(f '的值;(Ⅱ)求函数()f x 的单调区间. 18. 设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3. (1)求)(x f 的单调区间和极值; (2)若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根,求实数a 的取值范围. (3)已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立,求实数k 的取值范围. 19. 已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点,其中,,0m n R m ∈< (1)求m 与n 的关系式; (2)求()f x 的单调区间; (3)当[1,1]x ∈-,函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ,求m 的取值范围。 20. 已知函数2 ()ln .f x x ax bx =-- (I )当1a =-时,若函数()f x 在其定义域内是增函数,求b 的取值范围; (II )若()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点,且AB 的中点为0(,0)C x ,求证: 0'()0.f x < 21. 已知函数2 (),()2ln (x f x g x a x e e ==为自然对数的底数) (1)求()()()F x f x g x =-的单调区间,若()F x 有最值,请求出最值; (2)是否存在正常数a ,使()()f x g x 与的图象有且只有一个公共点,且在该公共点处有共同的切线? 若存在,求出a 的值,以及公共点坐标和公切线方程;若不存在,请说明理由。 《导数及其应用》参考答案 二、填空题: 11. 2cos sin 'x x x y x -= ;12. 18 13.36 +π ; 14.}0|{ 三、解答题 16. [解析] f ′(x )=cos x +sin x +1=2sin(x +π 4 )+1 (0 令f ′(x )=0,即sin(x +π4)=-2 2, 解之得x =π或x =3 2 π. x ,f ′(x )以及f ( ∴f (x )的单调增区间为(0,π)和(32π,2π)单调减区间为(π,3 2π). f 极大(x )=f (π)=π+2,f 极小(x )=f (32π)=3π 2 . 17. 解:(Ⅰ)33(2 -='x x f ) ,所以9)2(='f . (Ⅱ)2 ()33f x x '=-, 解()0f x '>,得1x >或1x <-. 解()0f x '<,得11x -<<. 所以(,1)-∞-,(1,)+∞为函数()f x 的单调增区间,(1,1)-为函数()f x 的单调减区间. 18. 解:(1)2,2,0)(),2(3)(212 = -=='-='x x x f x x f 得令 …………………1分 ∴当()0;,()0x x f x x f x ''<>><<<,当,…………………2分 ∴)(x f 的单调递增区间是(,)-∞+∞和,单调递减区间是)2,2(-……3分 当245)(,2+-=有极大值x f x ;当245)(,2-= 有极小值x f x .…………4分 (2)由(1)可知)(x f y =图象的大致形状及走向(图略) ∴当)(,245245x f y a y a ==+<<-与直线时的图象有3个不同交点,……6分 即当55a -<<+α=)(x f 有三解. …………………………………7分 (3))1()5)(1()1()(2 -≥-+--≥x k x x x x k x f 即 ∵),1(5,12 +∞-+≤∴>在x x k x 上恒成立. …………………………………………9分 令5)(2 -+=x x x g ,由二次函数的性质,),1()(+∞在x g 上是增函数, ∴,3)1()(-=>g x g ∴所求k 的取值范围是3-≤k ……………………………………12分 19. 解:(1)2'()36(1).f x mx m x n =-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点.所以'(1)0f = 即36(1)0,m m n -++=所以36n m =+ (2)由(1)知,22 '()36(1)363(1)[(1)]f x mx m x m m x x m =-+++=--+ 当0m <时,有2 11m >+,当x 为化时,()f x 与'()f x 的变化如下表: x 2 (,1)m -∞+ 21m + 2(1,1)m + 1 (1,)+∞ '()f x - 0 + 0 - ()f x 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 故由上表知,当0m <时,()f x 在(,1)m -∞+单调递减,在(1,1)m +单调递增,在(1,)+∞上单调 递减. (3)由已知得'()3f x m >,即22(1)20mx m x -++>又0m <,所以222 (1)0x m x m m - ++<,即222 (1)0,[1,1]x m x x m m - ++<∈- 设212()2(1)g x x x m m =-++,其函数图象开口向上,由题意知①式恒成立,所以 22(1)0120(1)010 g m m g ? -<+++??? ??- 解之得403m m -<<又所以4 03m -<<即m 的取值范围为4(,0)3- 20.(1)由题意:bx x x x f -+=2 ln )(,Θ)(x f 在),0(+∞上递增,∴021 )(≥-+= 'b x x x f 对),0(+∞∈x 恒成立,即x x b 21+≤ 对),0(+∞∈x 恒成立,∴只需min )21 (x x b +≤, 0>x Θ,∴ 2221 ≥+x x ,当且仅当22=x 时取“=”,∴22≤b ,∴b 的取值范围为)22,(-∞ (2)由已知得,???=--==--=0 ln )(0ln )(22 22212111bx ax x x f bx ax x x f ????-=-=22221 211ln ln bx ax x bx ax x ,两式相减,得: )())((ln 21212121x x b x x x x a x x -+-+=?])()[(ln 21212 1b x x a x x x x ++-=, 由b ax x x f -+= '21 )(及2102x x x +=,得: ])([2 21)(22 11000b x x a x x b ax x x f ++-+=--= '2111ln 1222x x x x x x +-+= ]ln )(2[12111122 2x x x x x x x x -+--=]ln )1() 1( 2[1212 121 12x x x x x x x x -+--=,令)1,0(21∈=x x t , 且t t t t ln 122)(-+-=?)10(< <+--='t t t t ?,∴)(t ?在)1,0(上为减函数, ∴0)1()(=>??t ,又21x x <,∴0)(0<'x f 21. 解:(1)3222() ()()()(0)x a x ea F x f x g x x e x ex -'''=-=-=> ①当0,()0a F x '≤>时恒成立 ()(0,)F x +∞在上是增函数,()F x F 只有一个单调递增区间(0,-∞),没有最值……3分 ②当0a >时,2(() ()(0)x ea x ea F x x ex --=>, 若0x ea <<,则()0,()(0,)F x F x ea '<在上单调递减; 若x ea > ,则()0,()(,)F x F x ea '>+∞在上单调递增, x ea ∴=当时,()F x 有极小值,也是最小值, 即min ()()2ln ln F x F ea a a ea a a ==-=-…………6分 所以当0a >时,()F x 的单调递减区间为(0,)ea 单调递增区间为(,)ea +∞,最小值为ln a a -,无最大值…………7分 (2)方法一,若()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点, 则方程()()0f x g x -=有且只有一解,所以函数()F x 有且只有一个零点…………8分[来源:学_科_ 网] 由(1)的结论可知min ()ln 01F x a a a =-==得…………10分 此时,2 ()()()2ln 0x F x f x g x x e =-=-≥ min ()()0F x F e == ))1,()()f e g e f x g x ∴==∴与的图象的唯一公共点坐标为(,1)e 又((f e g e e ''== Q ()()f x g x ∴与的图象在点(,1)e 处有共同的切线, 其方程为1()y x e e -= -,即1y x e = -…………13分 综上所述,存在a 1=,使()()f x g x 与的图象有且只有一个公共点(,1)e ,且在该点处的公切线方 程为 1.y x e = -…………14分 方法二:设()f x 与g(x)图象的公共点坐标为00(,)x y , 根据题意得???==)()()()(0' 0'00x f x f x g x f 即20 002ln 22x a x e x a e x ?=????=?? 由②得2 0x a e =,代入①得021 ln ,2x x e =∴= 从而1a =…………10分 此时由(1)可知min ()()0F x F e == 0x x e ∴>≠ 当且时,()0,()()F x f x g x >>即 因此除0x e = 外,再没有其它0x ,使00()()f x g x =…………13分 故存在1a =,使()()f x g x 与的图象有且只有一个公共点,且在该公共点处有共同的切线,易求得 公共点坐标为(,1)e ,公切线方程为1y x e =-…………14分 导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1.当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A .在区间[x 0,x 1]上的平均变化率 B .在x 0处的变化率 C .在x 1处的变化量 D .在区间[x 0,x 1]上的导数 2.已知函数y =f (x )=x 2 +1,则在x =2,Δx =0.1时,Δy 的值为( ) A .0.40 B .0.41 C .0.43 D .0.44 3.函数f (x )=2x 2-1在区间(1,1+Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A .4 B .4+2Δx C .4+2(Δx )2 D .4x 4.如果质点M 按照规律s =3t 2 运动,则在t =3时的瞬时速度为( ) A . 6 B .18 C .54 D .81 5.已知f (x )=-x 2+10,则f (x )在x =32处的瞬时变化率是( ) A .3 B .-3 C . 2 D .-2 6.设f ′(x 0)=0,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线( ) A .不存在 B .与x 轴平行或重合 C .与x 轴垂直 D .与x 轴相交但不垂直 7.曲线y =-1 x 在点(1,-1)处的切线方程 为( ) A .y =x -2 B .y =x C .y =x + 2 D .y =-x -2 8.已知曲线y =2x 2上一点A (2,8),则A 处的切线斜率为( ) A .4 B .16 C .8 D .2 9.下列点中,在曲线y =x 2上,且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A .(0,0) B .(2,4) C .(14,1 16) D .(12,1 4) 10.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( ) A .a =1,b = 1 B .a =-1,b =1 C .a =1,b =- 1 D .a =-1,b =-1 11.已知f (x )=x 2,则f ′(3)=( ) A .0 B .2x C . 6 D .9 12.已知函数f (x )=1 x ,则f ′(-3)=( ) A . 4 B.1 9 C .-14 D .-1 9 13.函数y =x 2 x +3 的导数是( )导数练习题 含答案
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