(完整版)高二文科数学_复数

高二文科数学 复数

1. 复数的概念及其表示形式：

（）形如（）的数称为复数，分别叫做复数的实部、虚部1a bi a b R a b +∈,, 当时，表示实数；当时，表示虚数；b a bi b a bi =+≠+00

{}{}当，时，表示纯虚数，显然，纯虚数虚数，a b a bi =≠+?00{}{}当，时，表示纯虚数，显然，纯虚数虚数，a b a bi =≠+?00{}{}当，时，表示纯虚数，显然，纯虚数虚数，a b a bi =≠+?00

{}{}{}

实数虚数复数Y ==C

通常复数z 的实部记作Rez ；复数z 的虚部记作Imz. 两个重要命题：

定理：复数是实数的充要条件是；1z z z =

定理：复数是纯虚数的充要条件是（）200z z z z +=≠

（2）复数的几何形式：复数集与平面上的点集之间能建立一一对应关系，故可用平

面上的点来表示复数，一般地，可用点（）表示复数，（），

Z a,b a +bi a,b R ∈或用向量表示复数OZ a bi →

+.

（）复数相等：且3a bi c di a c b d +=+?==. 00a bi a +=?=且b=0

这是解决复数问题时进行虚实转化的工具：

（）共轭复数：与（）互为共轭复数。4z a bi z a bi a b R =+=-∈, 在复平面上，互为共轭复数的两个点关于实轴对称：

另外z z =||

注：复数的分类：0,0)0)0,0)Z a bi a a ??

=+≠≠??≠??

≠=??

实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b

虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是3,62i i ++也没有大小。

（）复数的模：设在复平面上对应的点为（），则

5z a bi a b R Z a b =+∈(,),把向量的模（即线段的长度）叫做复数的模。OZ OZ z →

||()z a b =+≥220

积或商的模可利用模的性质（1）112n n z z z z z ?=???L L ，（2）()11

2

22

0z z z

z z =≠

（6）共轭复数的运算性质：

z z z z z z z z z z z z z z z z 1212121212121212

+=+-=-?=?=；；；（） z z z z z z n

n

=?==()||||；2

2

（7）复数的模的运算性质：

||||||||||z z z z z z z z OZ OZ 1212121212-≤+≤+→→

（当与，对应的向量，同向时，右边

的等号成立：当，反向时，左边的等号成立）OZ OZ 12→→

||||||||||z z z z z z 121212-≤-≤+（取等号的情形与以上相反）

|||||

|||

||

||.z z z z z z z z z z n n 12121212?=?==；； （）关于复数与81232

i i ω=-+. i

i i i i i i i i n n n n 41

42

243344411++++===-==-==，，，

ωωωωω322

110==++=，，；ωωωωω322

110==++=，，.

注：熟记常用算式：1

i i

=-，i i 2)1(2

=+，i i 2)1(2

-=-，i i i =-+11，i i

i

-=+-11 2. 复数的运算：

（1）四则运算法则（可类比多项式的运算） ①加法：()()()(),,,a bi c di a c b d i a b c d R +++=+++∈

②减法：()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+- ③乘法：()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++ ④除法：…转化为乘法运算()()()()

()()

()a bi c di a bi c di a bi c di c di c di +÷+=++=+-+-= 简记为“分母实数化”。

特例：()()()().a bi a bi a b i i i i +-=++=-=-2

2

2

2

1212；，

（）开平方运算的平方根（）可由22

:()a +bi x +yi a,b,x,y R ∈+=+x yi a bi 利用复数相等的充要条件转化为解实方程组。 （3）复数加法、减法的几何意义：

复数的加法即向量的加法，满足平行四边形法则。 复数减法即向量的减法，满足三角形法则。

z 1-z 2对应的向量，是以z 2的对应点为起点，指向z 1的对应点的向量，|z 1-z 2|表示复平面内与z 1，z 2对应的两点的距离，如： |z-i|表示z 与i 的对应的点的距离；

注：12||||z z z z -=-z 对应的点的轨迹是线段12Z Z 的垂直平分线；0||z z r -=， z 对应的点的

轨迹是一个圆；()

1212||||22z z z z a Z Z a -+-=<， z 对应的点的轨迹是一个椭圆；

()1212||||22z z z z a Z Z a ---=>， z 对应的点的轨迹是双曲线。

3. 复数与方程：

（1）含z 的复数方程：可设出z 的代数形式，利用复数相等转化为实方程组。 （2）实系数一元二次方程：ax 2+bx+c=0（a ≠0）

△>0时，方程有两个不等实根；△=0时，方程有两个相等实根；

△<0时，方程有两个互为共轭的虚根。其中 21x x =。 此时有a

c

x x x x =

==212

2

2

1

且a i b x 22,1?-±-=。

注意两种题型：21x x (1)- 21x x (2)+

虚系数一元二次方程有实根问题：不能用判别式法，一般用两个复数相等求解。但仍然适用

韦达定理。

已知12x x -是实系数一元二次方程0c bx ax 2

=++的两个根，求12x x -的方法：

（1）当042

≥-=?ac b 时，a

ac

b x x x x x x 44)(2212

2112-=-+=-

(2)当042

<-=?ac b 时，

a

b a

c x x x x x x 2

212

211244)(-=

-+=-

已知21x ,x 是实系数一元二次方程0c bx ax 2=++的两个根，求12x x +的方法： （1）当042≥-=?ac b 时，①,021≥?x x 即

0≥a

c

，则 a b x x x x =+=+2112

②,021

c ，则 a ac b x x x x x x x x 44)(2212

212112-=-+=-=+

（2）当

042

<-=?ac b 时，a c

x x x x x 2

2221112=?==+

韦达定理以及求根公式仍然适用。

（3）复系数一元二次方程：ax 2+bx+c=0（a ≠0）

根的判别式不再适用，如x 2-ix-2=0，△=7>0，但该方程并无实根。但韦达定理以及求根公式仍适用。

［注］1. 解决复数问题，注意虚实转化的方法。 2. 解决复数问题，注意充分利用共轭，模的运算性质。

高二数学文科试题（复数）

一、选择题

1．设,,,a b c R ∈则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是（ ）

（A ）0ad bc -= （B ）0ac bd -= （C ）0ac bd += （D ）0ad bc +=

2 ）

A ．i

B ．i -

C i

D i

3．若复数z 满足方程022=+z ，则3

z 的值为（ ）

A.22±

B. 22-

C. i 22-

D. i 22±

4．对于任意的两个实数对（a ,b ）和(c,d),规定（a ,b ）＝(c,d)当且仅当a ＝c,b ＝d;运算“?”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=?，运算“⊕”为：

),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕，设R q p ∈,，若)0,5(),()2,1(=?q p 则=

⊕),()2,1(q p （ ）

A. )0,4(

B. )0,2(

C.)2,0(

D.)4,0(-

5．复数10

(1)1i i

+-等于（ ）

A ．1i +

B 。1i --

C 。1i -

D 。1i -+

6．3(1－i )2＝ ( )

（A ）32i （B ）－3

2i （C ）i （D ）－i

7．i 是虚数单位，

=+i

i

1（ ） A ．i 2121+ B ．i 2121+- C ．i 2121- D ．i 2

121--

8．如果复数2

()(1)m i mi ++是实数，则实数m =（ ）

A ．1

B ．1-

C

D ．

9．已知复数z 3i ）z ＝3i ，则z ＝（ ）

A ．32

B. 34

C. 32

D.34 10．在复平面内，复数1i

i

+对应的点位于 ( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

二、填空题 11．已知

11m

ni i

=-+，

m n i 其中，是实数，是虚数单位，m ni +=则__________ 12．在复平面内，若复数z 满足|1|||z z i +=-，则z 所对应的点的集合构成的图形是 。 13. 设x 、y 为实数，且

i

i y i x 315

211-=

-+-，则x +y =__________. 14．若复数z 同时满足z －-

z ＝2i ，-

z ＝iz （i 为虚数单位），则z ＝ ． 15．已知

z =则501001z z ++的值为________________ 16．非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意,a b G ∈，都有a b G ⊕∈；

（2）存在e G ∈，使得对一切a G ∈，都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融

洽集”；现给出下列集合和运算：

①{},G =⊕非负整数为整数的加法 ②{},G =⊕偶数为整数的乘法 ③{},G =⊕平面向量为平面向量的加法 ④{},G =⊕二次三项式为多项式的加法 ⑤{},G =⊕虚数为复数的乘法

其中G 关于运算⊕为“融洽集”_______________;（写出所有“融洽集”的序号） 18．已知复数z 满足2||=z ，2z 的虚部为 2 ，

（I ）求z ；

（II ）设z ，2

z ，2

z z -在复平面对应的点分别为A ，B ，C ，求ABC ?的面积.

17、[解法一] i 2i

21i

34,i 34)i 21(-=++=∴+=+w w Θ， ……4分

i 3|i |i

25

+=-+-=

∴z . ……8分 若实系数一元二次方程有虚根i 3+=z ，则必有共轭虚根i 3-=z . 10,6=?=+z z z z Θ，]

∴ 所求的一个一元二次方程可以是01062=+-x x . ……10分

[解法二] 设i b a w +=R)(∈b a 、

b a b a 2i 2i 34i +-=-+，

得 ???-==-,23,24a b b a ∴ ?

??-==,1,

2b a

i 2-=∴w ， ……4分

以下解法同[解法一].

18、解：（I ）设(,)Z x yi x y R =+∈

由题意得2

2

2

2

()2Z x y x y xyi =-=-

+21

(2)xy =∴=??

故()2

0,x y x y -=∴=将其代入（2）得2

221x x =∴=±

故11x y =??=?或1

1

x y =-??=-? 故1Z i =+或1Z i =-- ……6分

（II ）当1Z i =+时，2

2

2,1Z i Z Z i =-=-

所以(1,1),(0,2),(1,1)A B C -1

2,1212

ABC AC S ?∴==??=

当1Z i =--时，

222,13Z i Z Z i =-=--，

(1,1),(0,2),(1,3)A B C ---

1

121

2ABC S ?=??= ……10分