2015年因式分解方法培优试题

专题一、（1）提公因式法. （2）运用公式法. 例（1）分解因式

（2）

专题二、分组分解法

在分解因式时，有时为了创造运用公式的条件，需要将所给多项式先进行分组结合，将之整理成便于使用公式的形式，再进行因式分解。（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++

例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102

练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2

2、1+--y x xy

（二）分组后能直接运用公式

例3、（1）分解因式：ay ax y x ++-2

2（2）2

222c b ab a -+-

例4、已知x －2y ＝3，求的值。

专题三、配方法

把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法分解因式的关键是通过拆项或添项，将原多项式配上某些需要的项，以便得到完全平方式，然后在此基础上分解因式．

例5、分解因式：34442

2-+--y y x x

例9、分解因式：221288b ab a --

练习9、分解因式(1)2223y xy x +- (2)2286n mn m +- (3)226b ab a --

例10、分解因式：22672y xy x +-

练习10、分解因式：（1）2

24715y xy x -+ （2）8622

+-ax x a

例11、分解因式：（1）232

+-xy y x （2）56422

-++-y x y x

综合练习11、（1）1783

6--x x （2）22151112y xy x -- （3）10)(3)(2

-+-+y x y x （4）344)(2

+--+b a b a （5）222265x y x y x -- （6）263442

2++-+-n m n mn m （7）342442

2---++y x y xy x （8）2

222)(10)(23)(5b a b a b a ---++

（9）1036442

2-++--y y x xy x （10）2222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++

双十字相乘法

例12、

分解因式：（1）226136x xy y x y +-++-（2）

22xy y x y ++--

(3)分解因式：2910322

-++--y x y xy x

练习12、(1)61362

2-++-+y x y xy x (2)3635562

2-++-+b a b ab a

（3）22227376z yz xz y xy x -+---

专题四、先折后分例13、分解因式：（x ﹣3）（x ﹣1）+1．

练习13、(1)

(2)(3)4x x x +++-=________ (2)因式分解：222222)3(4)5()1(+-+++a a a

(3)将a a a a 2222222

16742++++++()()分解因式，并用分解结果计算。

专题五、用换元法分解因式

所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．例14、（1）分解因式

（2）分解因式2005)12005(20052

2---x x （3）

)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++

练习14、分解因式（1）)(4)(22222

y x xy y xy x

+-++

（2）

10)33)(43(22+++-+x x x x （3）(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2；

专题六、主元法：

所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．

例15 多项式xyz y z x y z x x z z y y x 22

22222-++-+-因式分解后的结果是

( )．

A ．(y －z)(x+y)(x －z)

B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)

C ． (y+z)(x 一y)(x+z)

D ．(y 十z)(x+y)(x 一z) 练习15、因式分解 (1)a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2 (a 一b)；

(2)x 2+xy －2y 2

－x+7y －6．（3）)1()12()12(2223-+-++++a x a a x a x

（4）2

4222)1()1(2)1(y x y x y -++-+；

专题七、用配方法及拆项法分解因式

通过对已知式配方，将其整理成符合平方差公式或完全平方公式等形式进行因式分解，称之为配方法，通过拆项，进行适当组合，便于提取公因式或配方，进一步分解因式，称之为拆项法。例16、分解因式（1）4323

+-x x

（2）3369

-++x x x （3）分解因式

练习16、分解因式（1）

893+-x x （2）1724+-x x （3） 4224

)1()1()

1(-+-++x x x （4）22412a ax x x -+++

（5）4

44)(y x y x +++

例17、分解因式262234

+---x x x x

练习17、（1）6736762

34+--+x x x x （2）)(2122

234x x x x x +++++

(3) 1232234

++++x x x x

专题八：待定系数法

对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式(含待定的字母系数)，然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法，用待定系数法解题的一般步骤是： 1．根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的等式；

2．利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组； 3．解方程组，求出待定系数，再代人所舌问题的结构中去，得到需求问题的解．

例18、如果82

3+++bx ax x 有两个因式x+1和x+2，则a+b ＝( )．

A ．7

B ．8

C ．15

D ．2l

练习16、（1）若k x x x +-+332

3有一个因式是x+1，则k ＝．

（2）如果 a 、b 是整数，且12--x x 是123++bx ax 的因式．那么b 的值为( )

A ．－2

B ．－l

C ．0

D ．2

（3）已知522

++x x 是b ax x ++2

4的一个因式，求b a +的值．

（4）．已知62

-+x x 是多项式12234-+++-+b a bx ax x x 的因式，则a ＝．

例19、（1）当m 为何值时，多项式6522-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式。（2）如果823

+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值。

练习19、（1）分解因式2910322-++--y x y xy x

（2）分解因式675232

2+++++y x y xy x

（3）分解因式144234

+++-x x x x

（4）已知：p y x y xy x +-+--1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因式。

（5）k 为何值时，253222

+-++-y x ky xy x

能分解成两个一次因式的乘

积，并分解此多项式。

第四讲因式分解2

例1. 把下列各式分解因式

（1）（2）（3）（4）

说明：（1）一个多项式分解因式的一般步骤：

先提取公因式，再运用公式法，而且一定要分解至不能再分解为止。

（2）运用公式法分解因式时，应仔细观察分析多项式的特征，只有在待分解的多项式完全符合公式的形式时，才能运用公式将其分解，所以，正确运用公式法分解因式应遵循如下三步：

①准确理解公式，②正确选择公式，③灵活运用公式。

训练题

一、选择题

1. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是

A. 12a2b＝3a·4ab

B.（x+3）（x－3）＝x2－9

C. 4x2+8x－1＝4x（x+2）

－1 D. ax－ay＝a（x－y）

2. 分解因式－4x2y+2xy2－xy的结果是

A. －4（x2+2xy2－xy）

B. －xy（－4x+2y－1）

C. －xy（4x

－2y+1） D. －xy（4x－2y）

3. 下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是

A. x2－xy2

B. －1+y2

2y2+2 D. x3－y3

4. 下列各式能用完全平方公式分解因式的是

A. 4x2+1

B. 4x2－4x－1

C. x2+xy+y2

D. x2－4x+4

二、填空题

1. 24m2n+18n的公因式是；

2. 分解因式x（2－x）+6（x－2）＝；

= ；

3. x2-y2＝（x+y）·；

4. x2- +25y2＝2；

5. （x2+y2）2－4x2y2＝；=

三、解答题

1. 把下列各式分解因式

（1）12a3b2－

9a2b+3ab（2）a

（x+y）－（a－b）（x+y）

（3）121x2－

144y2

（4）4（a－b）2－（x－y）2

（5）（x－2）2+10（x－2）+25 （6）

a3（x+y）2－4a3c2

2. 用简便方法计算

（1）6.42－3.62（2）21042－

1042（3）1.42×9－2.32×36

【试题答案】

一、1. D 2. C 3.B 4.D

二、1. 6n 2. （2－x ）（x －6）；

3. x － y

4. ±10xy ，x ±5y

5.（x +y ）2（x －y ）2；（x +1）2（x -1）2 三、1. （1）3ab （4 a 2b －3a +1）；

（2）b （x +y ）；

（3）（11x +12y ）（11x －12y ）；

（4）（2a －2b +x －y ）（2a －2b －x +y ）；（5）（x －2+5）2＝（x +3）2；（6）a 3（x +y +2c ）（x +y －2c ） 2. （1）28 （2）4416000 （3）－172.8

已知x －2y ＝3，求

的值。

练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222--- 综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22 （3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++- （5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+-- （7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a （9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+ （11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abc c b a 3333-++ 综合练习10、（1）17836--x x （2）22151112y xy x -- （3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2+--+b a b a （5）222265x y x y x -- （6）2634422++-+-n m n mn m