摆渡过河分析
摆渡过河
问题重述:
一只狼、一头山羊和一箩卷心菜在河的同侧。一个摆渡人要将它们运过河去，但由于船小，他一次只能运三者之一过河。显然，不管是狼和山羊，还
是山羊和卷心菜，都不能在无人监视的情况下留在一起。问摆渡人应怎样把它们运过河去？
问题分析：
由题意知人划船一次只能运三者之一或者自己独自划船，且无论在河的左岸还是右岸都要保证无人情况下狼和山羊，山羊和卷心菜不能单独在一起。在这里，羊所受的限制条件是最多的，所以羊只能独处或在船上被带走，因此,
A：人首先只能把山羊带去河的对岸（右岸），将山羊放在右岸；
B：人自己回来，可以带狼过去也可以带卷心菜过去，若带卷心菜去对岸，因为卷心菜不能与山羊在一起，所以人回来时要将山羊再带回左岸；
C：人将山羊留在左岸，带狼去对岸，将狼放在右岸；
D：人自己回来再将山羊带去对岸。
用图论方法：对于人，狼，山羊，卷心菜的位置状态，可用1表示在左岸，用0表示不在左岸，则由无人情况下狼和山羊，山羊和卷心菜不能单独在一起，列出可以存在的状态如下表：
状态点
人狼山羊卷心菜
名字
A 1 1 1 1
B 0 1 0 1
C 1 1 0 1
D 0 1 0 0
E 1 1 1 0
F 0 0 1 0
G 1 0 1 0
H 1 0 1 1
I 0 0 0 1
J 0 0 0 0
注释：
A表示人，狼，山羊，卷心菜都在河的左岸；
B表示狼和卷心菜在河的左岸，人和山羊在河的对岸（右岸）
将上表中各种状态作为顶点，将两个可以转变的状态点之间连一条有向边，可得到下图
A
B
C
I
D
E F
G
J H
摆渡人把他们运过河去，最优方案是从上面有向图中找到一条从A点到J点的最短路径。即ABCIHFGJ或者ABCDEFGJ.
教学方案分析《小羊过河》
优秀教案分析 《小羊过桥》 ——小班社会活动 单位：山西大学幼儿园 姓名：李静 日期：2010-5-23
小班社会活动 ——《小羊过河》 课程标准理解： 幼儿园课程标准具有全面性、启蒙性；幼儿园课程内容具有生活性、浅显性；幼儿园课程结构具有整体性、综合性幼儿园课程具有活动性、经验性。究其根本是生活化，生活化是幼儿园课程的根本特征。骑士宏健康领域和社会领域是与生活最贴近的。小班上学期十二月第三个目标就是：不独占玩具，不把玩具带回家。将目标可以分解为不独占玩具一起分享，喜欢的玩具轮流玩，玩喜欢的玩具相互谦让，不把喜欢的玩具带回家，四个分目标。在社会活动中分解进行。根据幼儿的能力经验选择目标。 内容分析： 《小羊过河》是大家所熟知的经典幼儿故事。故事简短易懂，用语生动考究。故事不仅是要让有了知道相互谦让，更要会做会说，遇到类似的问题如何处理。股之中还隐射了亲情，如：小羊去看望姥姥、爷爷；还有生活常识，如：独木桥是什么样子的；还有语言表达的练习，如：你先·····我再·······等句式的学习与运用；还有健康领域，如：走平衡木，也弥补了讲故事活动中幼儿活动量少的问题。涉及的领域广泛，也有很深刻的教育意义。 设计思路： 进入21世纪，独生子女越来越多，日益成为我国儿童青少年的主流，成为在校中、小、幼学生的主体。他们大多在“糖水”里长大，
从小受到父母、爷爷奶奶的百般呵护、溺爱、娇宠，养尊处优，一帆风顺，好比温室里的花朵，往往经受不住任何风吹雨打，犀利素质弹性差，不会自我调节，处理。具有自负、享乐、孤独、冷漠、自私、功利等特点。其中相互谦让就是当代孩子们所要学习的一种品质。相互谦让不仅是一种品质，在某些情况下也是解决问题的方法。《小羊过河》故事情节清晰，用语生动简洁易懂，符合小班幼儿的年龄特点讲的就是两只小羊从互不相让到互相谦让；从遇到问题到解决问题的故事。 活动目标： 小朋友之间要相互谦让。 活动准备： 1、硬纸板小白羊、小黑羊（幼儿美劳课自制）木质积木数块 2、小白羊、小黑羊头饰一对体育器材平衡木 活动过程： 1、导入 “刚才区域活动的时候老师看到叶子和蓉蓉都喜欢一块红色的积木，都想要玩，不一会儿就争了起来。最后谁也没玩成，因为区域活动时间到了。哎····有两只小羊也争了起来，想不想看看它们遇到什么事情了啊？” 2、展开 ⑴：展示用积木搭成的独木桥，桥的两头各放一只羊。一边演
利用有向图解答过河类问题
利用有向图解答“过河”类问题 泉州五中郭仲英362000 摘要：“过河”类问题是全国青少年信息学奥林匹克联赛的典型训练题型，可通过实验、数学方法加以解决，但这些方法不太直观，不易于为参赛选手所掌握。本文通过介绍图论的一些基本知识，探讨利用图论的知识求解“过河”类问题的方法，以求简化该类问题的求解方法。 关键词：信息学奥林匹克联赛有向图“过河”类问题 在全国青少年信息学奥林匹克联赛初赛中有一道大题为问题解答题，此题的分数占10%，选手对此题作答的好坏直接影响着初赛的成绩，很大程度决定了能否进入决赛。然而此题所考察的面非常广，如逻辑推理、概率论、排列组合、数据结构、离散数学等。“过河”类问题是联赛训练的典型题型，本文利用图论对此类问题的解决方法作简单的探讨。 一、常见的“过河”类问题 古老而又经典的“过河”问题：一个农夫带着一只狼，一只羊和一些草过河。河边只有一条小船，由于船太小，只能装下农夫和他的一样东西。在无人看管的情况下，狼要吃羊，羊要吃草，请问农夫如何才能使三样东西平安过河。 此类问题还有诸如：有3个油瓶，分别能装10kg、7kg和3kg的油。10kg 的瓶中已经装满了油，其余两瓶为空瓶。现要将油分成两个5kg，不用秤，问能否找到分油方案，如果可以，至少需要倒油的次数是多少。 “八数码”问题也是属于此类问题。八数码问题：给出3×3的九个方格，将1~8这八个自然数填入方格中，给定一个初始状态，如下图左所示，其中空方格用数字0表示。允许空格周围相邻的数字移入空格，但每次只能移动1格。对于任意给定的一个目标状态（如下图右所示），为实现从初始状态到目标状态的转换至少需要移动数字的步数。 这类问题，可以用实验的方法去寻求解决的途径，但是在有限的考试作答时间内用实验的方法显然是不可取的。当然，如果选手具备相应的数学知识（矩阵运算），用数学方法解决也是可以的，但是，利用图论中有向图的概念去解决是较为直观的、简洁的。 二、图论的基本概念 在计算机科学中，数据是计算机程序加工处理的对象，抽象地说，数据是对客观事物所进行的描述。数据元素之间抽象化的相互关系称为数据的逻辑结构，这种相互关系可用一组运算及相应的运算规则来描述，简称为数据结构。图是一种复杂的数据结构。 图G 由两个集合V( G )和E( G )所组成，记作G= (V, E)，其中V(G)是图中
教案：小船过河问题
小船过河问题 1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间 θ υυsin 1船d d t = = ，显然，当?=90θ时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为 v d ，合运动沿v 的方向进行。 2．位移最小 若水船υυ> 结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为船 水 υυθ= cos 若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距 离最短呢？如图所示， 水 船v v = θcos 船头与河岸的夹角应为水 船v v arccos =θ， 船沿河漂下的最短距离为：θ θsin )cos (min 船船水v d v v x ? -= 此时渡河的最短位移：船 水v dv d s == θcos 【例题】河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问： (1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少? v
【例题】在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v 1，摩托艇在静水中的航速为v 2，战士救人的地点A 离岸边最近处O 的距离为d ，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O 点的距离为( ) A ． 21 222 υ υυ-d B ．0 C ． 2 1 υυd D ． 1 2 υυd 【例题】某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T 1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T 2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（ ） (A) 2 1222T T T - (B) 1 2 T T (C) 2 2211T T T - (D) 2 1 T T 【例题】小河宽为d ，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，d v k kx v 0 4= =，水，x 是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为0v ，则下列说法中正确的是（ ） A 、小船渡河的轨迹为曲线 B 、小船到达离河岸 2 d 处，船渡河的速度为02v C 、小船渡河时的轨迹为直线 D 、小船到达离河岸4/3d 处，船的渡河速度为010v 【练习】 1.有一条河宽100m ，当水流为3m/s 时，船速为4m/s ，画图说明能否到达正对岸，若能，按运动的合成分解来分析以下问题 （1）合速度多大？方向如何（画图） （2）由分运动和合运动同时性分析，当到达对岸时，过河时间为多少？
摆渡过河和四人过桥
1.摆渡过河： 一只狼、一头山羊和一箩卷心菜在河的同侧。一个摆渡人要将它们运过河去，但由于船小，他一次只能运三者之一过河。显然，不管是狼和山羊，还是山羊和卷心菜，都不能在无人监视的情况下留在一起。问摆渡人应怎样把它们运过河去？ 分析：由于摆渡人每次只能运载狼、山羊和卷心菜中的一样，那么必然有两样物品要同时留在岸上。但是狼和山羊，山羊和卷心菜之间分别存在捕食关系，不能同时留在岸上。所以摆渡人在第一次渡河时应先运羊过河，留狼和卷心菜在岸上；将羊放在对岸后，摆渡人空船返回。第二次渡河时运狼（或卷心菜），到达河对岸后放下狼（或卷心菜），将山羊运回。第三次渡河时将卷心菜（或狼）运到对岸，空船返回。第四次渡河时再将山羊运到对岸，即完成了渡河任务。 2.四人过桥： 有一天晚上，有四个人需要通过架在山谷间的危桥，任意时刻最多只能有两个人在桥上，过桥需要一盏闪光灯，这些人只有一盏闪光灯。如果单独过桥他们分别需要10、5、2、1分钟，如果两人同时过桥则所需时间是较慢者所需的时间。18分钟后，沿山谷滚滚而下的山洪将把这座桥冲毁。这四个人能及时过桥吗？不用图论知识，证明你的结论；并说明如何用图论知识获得答案。 分析及证明：由于这座桥最多只能有两个人同时通过，并且过桥需要一盏闪光灯，但是四个人只有一盏闪光灯，那么唯一的办法就是让其中的2个人一起过桥，然后让其中的1个人再返回来送闪光灯。将四
人按照其单独过桥时所花费时间由短到长编号为A、B、C、D。当两个人一起过桥时所花时间是两个人中最慢的人的单独过桥时间。无论谁和D一起过桥都要花费10分钟，为了尽量节省时间，D和C肯定需要一起过桥，并且不能由C或D回来送闪光灯。 因此，首先应该让A和B先过桥（2分钟）；然后再让A回来送灯，让C和D过桥（1+10分钟）；最后让B回来，A和B一起过桥（2+2分钟）。总共用时是：2+1+10+2+2=17分钟<18分钟，所以说这四个人在18分钟内能及时过桥。 用图论知识说明：以4个人在桥两端的状态来作为节点来构造一个有向图，以已经过桥了的人的状态作为图的节点，初始时没有人过桥，所以以空表示，第一轮有两个人过桥，有6种可能的组合，(1，2)（1，5）（1，10）（2，5）（2，10）（5，10），从空的状态转换到这些状态的需要的时间分别为2，5，10，5，10，10分钟，时间就作为有向边的权值。当有两个人过桥后，需要一个人拿手电筒回去接其他人，这时有四种可能的情况，分别是1，2，5，10中的一人留在了河的对岸，（1，2）这种状态只能转换到（1）（2）两种状态，对应的边的权值分别为2，1分钟，（1，2）转换到（1）时也就是2返回了，返回需要耗时2分钟，以此类推可以建立图论模型。 要求出最少需要多长时间4人全部通过小桥实际上就是在图中求出（空）节点到（1，2，5，10）节点间的最短路径。最后可用Dijk stra算法求出最短路径。
渡河问题
词法分析 重点与难点 重点：词法分析器的输入、输出，用于识别符号的状态转移图的构造，根据状态转移图实现词法分析器。 难点：词法的正规文法表示、正规表达式表示、状态转移图表示，它们之间的转换。 基本要求 明确词法分析的任务，熟练掌握词法的正规文法表示、正规表达式表示、状态转移图表示及它们之间的转换，掌握词法分析器的设计与实现，重点掌握根据状态转移图实现词法分析器。 例题解析 例1用正规表达式标识符的文法。 【解】设标识符是由字母和数字组成的有限长的符号串，且第一个符号只能是字母。 用l表示字母: a,b,... ,z,A,B,...,Z; d表示数字:0,1, (9) 标识符的正规表达式表示为： l ( l | d)* 例２用正规文法描述标识符的文法。 【解】用l表示字母: a,b,... ,z,A,B,...,Z; d表示数字:0,1, (9) 定义文法G,G =({d,l}, {S,T}, P, S) P:S→l|lT T→l|lT T→d | dS 得到标识符文法的右线性文法表示。 或者定义文法G,G =({d,l}, {S,T}, P, S) P:S→l S→Sd S→Sl 得到标识符文法的左线性文法表示 或者通过正规表达式转换为正规文法的方法得到标识符文法的正规文法。 引入开始符号S，构造S→l ( l | d)* 引入非终结符T，分解“连接”的正规式构造S→l T , T →( l | d)*，因为 ( l | d)*=ε|( l | d)+ =ε|( l | d) ( l | d)* =ε|l T|d T 得到产生式的集合P:S→l T T→ε|l T|d T 构成右线性文法:Ｇ＝（{l,d}，{S,T}，P，S） 例3用状态图描述标识符（变量名等）的文法。 【解】用正规文法转换为状态图的方法。 标识符的正规文法S→l T T→ε|l T|d T，是一个右线性文法, 按照由右线性正规文法构造状态转换图的方法,构造标识符的状态转换图如下: ① l, d 初
部编版2020年高考物理一轮复习 专题4.1 小船过河问题千题精练
专题4.1 小船过河问题 一．选择题 H的A、B两个码头同时1. （2018安徽合肥三模）如图所示，在宽为H的河流中，甲、乙两船从相距 3 开始渡河，船头与河岸均成60°角，两船在静水中的速度大小相等，且乙船恰能沿BC到达正对岸的C。则下列说法正确的是 A. 两船不会相遇 B. 两船在C点相遇 C. 两船在AC的中点相遇 D. 两船在BC的中点相遇 【参考答案】D 【命题意图】本题考查小船过河、运动的合成与分解及其相关的知识点。 【解后反思】若A、B两个码头之间距离为，则此题正确选项上哪一个？若A、B两个码头之间距离 大于2 ，则此题正确选项上哪一个？若甲船在静水中的速度大于乙船，则两船哪一个先到达和对岸？ 3 还能够相遇吗？若甲船在静水中的速度小于乙船，则两船哪一个先到达和对岸？还能够相遇吗？ 2．一小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条河宽为150 m，水流速度为4 m/s的河流中渡河，则该小船( )
A ．能到达正对岸 B ．渡河的时间可能少于50 s C ．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200 m D ．以最短位移渡河时，位移大小为150 m 【参考答案】C 3.如图所示，河的宽度为L ，河水流速为v 水，甲、乙两船均以静水中的速度v 同时渡河。出发时两船相距2L ，甲、乙船头均与岸边成60°角，且乙船恰好能直达正对岸的A 点。则下列判断正确的是( ) A ．甲船正好也在A 点靠岸 B ．甲船在A 点左侧靠岸 C ．甲、乙两船可能在未到达对岸前相遇 D ．甲、乙两船到达对岸的时间相等 【参考答案】BD 【名师解析】甲、乙两船垂直河岸的速度相等，渡河时间为t ＝ L v sin60° ，乙能垂直于河岸渡河，对乙船则 有v 水＝v cos60°，可得甲船在该时间内沿水流方向的位移为(v cos60°＋v 水) L v sin60°＝2 3 3L <2L ，甲船在 A 点左侧靠岸，甲、乙两船不能相遇。综上所述，A 、C 错误， B 、D 正确。 3.（2018湖北咸宁期中联考）如图所示，小船以大小为v （小船在静水中的速度）、方向与上游河岸成θ的速度从O 处过河，经过一段时间，正好到达正对岸的O ’处，现要使小船在更短的时间内过河并且也正好到达正对岸O ’处。在水流速度不变的情况下，可采取的方法是 A ．θ角不变且v 增大
小船渡河专题训练(含答案详解)
小船渡河专题训练卷 1．如图所示，河的宽度为d ，船渡河时船头始终垂直河岸．船在静水中的速度大小为v 1，河水流速的大小为v 2，则船渡河所用时间为( ) A ． 1d v B ．2 d v C ． 12d v v + D 2．河宽420 m ，船在静水中速度为4 m ／s ，水流速度是3 m ／s ，则船过河的最短时间为( ) A ．140 s B ．105 s C ．84 s D ．760 s 3．小船在静水中的航行速度为1m/s ，水流速度为2m/s ，为了在最短距离内渡河，则小船船头指向应为（图中任意方向间的夹角以及与河岸间的夹角均为300）（ ） A ．a 方向 B ．b 方向 C ．c 方向 D ．e 方向 4．小船在静水中的速度是v ，今小船要渡过一河流，渡河时小船朝对岸垂直划行，若航行至河中心时，河水流速增大，则渡河时间将（ ） A. 不变 B.减小 C.增大 D.不能确定 5．一条河宽为d ，河水流速为1v ，小船在静水中的速度为2v ，要使小船在渡河过程中所行 路程S 最短，则( ) A ．当1v ＞2v 时， B ．当1v ＜2v 时， C ．当1v ＞2v 时，．当2v ＜1v ，6．一小船在静水的速度为3m/s ，它在一条河宽150m ，水流速度为4m/s 的河流中渡河，则 该小船（ ） A ．能到达正对岸 B ．渡河的时间可能少于50s C ．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200m D ．以最短位移渡河时，位移大小为150m 7．某船在静水中的速率为4m/s, 要横渡宽为40m 的河, 河水的流速为5m/s 、 下列说法中不
小船过河问题分析与题解
小船过河问题分析与题 解 Revised as of 23 November 2020
小船过河问题分析与题解 【问题概说】 （1）船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。 （2）三种速度:船相对水的速度为v船（即船在静水中的速度），水的流速为v水（即水对地的速度），船的合速度为v（即船对地的速度，船的实际速度，其方向就是船的航向）。 （3）三种情景： ①过河时间最短:当船头垂直河岸，渡河时间最短，且渡河时间与水的流速无关。 ②过河路径最短：在v 船>v水的条件下，当船的合速度垂直于河岸时，渡河位移（航程或路径）最小并等于河宽。 在v船 【典型题例】 两河岸平行，河宽d=100m ，水流速度v 1=3m/s ，求：（1）船在静水中的速度是4m/s 时，欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河最短时间是多少船的位移是多大 （2）船在静水中的速度是6m/s 时，欲使船航行距离最短，船应怎样渡河渡河时间多长 （3）船在静水中的速度为1.5m/s 时，欲使船渡河距离最短，船应怎样渡河船的最小航程是多少 [思路分析]（1 t min =d/v 2=100/4=25s 合速度v=s m v v / 543222 221=+=+ 船的位移大小s=v t min =125m （2）欲使船航行距离最短，需船头向上游转过一定角度使合速度方向垂直于河 岸，设船的开行速度v 2与岸成θ角，则cos θ所以θ=600，合速度v=v 2sin600=3s m /3 t= s v d 9 3 100= （3）船在静水中速度小于水流的速度，船头垂直于合速度v 时，渡河位移最小， 设船头与河岸夹角为β，如图所示： cosβ=2 1 35.112== v v 所以β=600 小船过河问题 轮船渡河问题： （1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。 1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间 θ υυsin 1 船d d t = = ，显然，当?=90θ时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小 为 v d ，合运动沿v 的方向进行。 2．位移最小 若水船υυ> 结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为船 水 υυθ= cos 若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示， 设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大，根据水 船v v = θcos 船头与河岸的夹角应为 2 水 船v v arccos =θ，船沿河漂下的最短距离为： θ θsin )cos (min 船船水v d v v x ? -= 此时渡河的最短位移：船 水v dv d s = =θcos 【例题】河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问： (1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少? ★解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间 s s d t 2030 60 2 == = υ (2)渡河航程最短有两种情况： ①船速v 2大于水流速度v 1时，即v 2>v 1时，合速度v 与河岸垂直时，最短航程就是河宽； ②船速v 2小于水流速度v l 时，即v 2 小船过河问题的分析与求解方法 濮阳市油田二高（457001） 何春华 小船过河是运动合成和分解中一种非常具有代表性的运动形式，它对学生正确理解合运动、分运动的概念；弄清合运动、分运动之间的等时性、等效性，以及各分运动之间的独立性等，都有着非常高的思维能力要求。因此是学生学习运动合成与分解的一个难点。那么如何正确解决小船渡河问题呢？笔者认为要想学好这个问题，必须理解好三个方面的关系： （1）运动关系：小船在有一定的河水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对于水的运动（即在静水中船的运动），船的实际运动是合运动。 （2）时间关系：①合运动和分运动的等时性；②当船头与河岸垂直时，渡河时间最短。（3）位移关系：①合运动和分运动的位移等效关系；②理解在什么情况下位移最小。下面就对以上关系加以分析和应用举例: 例：设一条河的宽度为L ，水流速度为v 1,已知船在静水中的速度为v 2，那么： （1）怎样渡河时间最短？ （2）若v 2>v 1,怎样渡河位移最小？ （3）若v 2 小船渡河问题 小船渡河的问题,可以分解为它同时参与的两个分运动,一是小船相对水的运动(设水不流时船的运动,即在静水中的运动),一是随水流的运动(即水冲船的运动,等于水流的运动),船的实际运动为合运动. 两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。 两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间。 【例1】一条宽度为L 的河，水流速度为水 v ，已知船在静水中速度为 船 v ，那么： （1）怎样渡河时间最短 （2）若水船v v >，怎样渡河位移最小 （3）若 水 船v v <，怎样渡河位移最小，船漂下的距离最短 解析：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如右图所示，船头与河岸垂直渡河，渡河时间最短：船 v L t = min 。 此时，实际速度（合速度）2 2 水船合v v v += 实际位移（合位移）船 水船v v v L L 2 2 sin s +=?= （2）如右图所示，渡河的最小位移即河的宽度。为使渡河位移等于L ，必须使船的合速度v 合的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，所以有水船v v =θcos ，即 船水 v v arccos =θ。因为θ为锐角，1cos 0<<θ，所以只有在 水船v v >时，船头与河岸上游的夹角船 水v v arccos =θ，船才有可 能垂直河岸渡河，此时最短位移为河宽，即L s =min 。实际速度（合速度）θsin 船合v v =，V 船 V 水 V 合 运动时间θ sin 船合v L v L t == （3）若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢 如右图所示，设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 合与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么， 在什么条件下α角最大呢以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 合与圆相切时，α角最大，根据水 船v v = θcos ，船头与河岸的夹角应为水 船v v arccos =θ，此时渡河的最短位移： 船 水v Lv L s == θcos 渡河时间：θ sin 船v L t = ， 船沿河漂下的最短距离为：θ θsin )cos (min 船船水v L v v x ? -= 误区：不分条件，认为船位移最小一定是垂直到达对岸；将渡河时间最短与渡河位移最小对应。 【练习1】小河宽为d ，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比， d v k kx v 0 4= =，水，x 是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为0v ，则下列说法中正确的是（ ） A. 小船渡河的轨迹为曲线 B. 小船到达离河岸 2 d 处，船渡河的速度为02v C. 小船渡河时的轨迹为直线 农夫过河问题的算法与实现 引言 .问题的描述 二.需求分析 三.概要设 计 3.1数据结构的设计3.2算法的设计目录 3.3抽象数据类型的设计 四.详细设计 4.1算法的主要思想 4.2主要功能函数设计 4.3算法的实现 五.代码实现10 六.测试与运行18 6.1测试工具18 6.2 运行结果18 七.总结与体会19 八.参考文献20 农夫过河问题的算法与实现 引言 所谓农夫过河问题是指农夫带一只狼、一只羊和一棵白菜在河南岸，需要安全运到北岸。一条小船只能容下他和一件物品，只有农夫能撑船。问农夫怎么能安全过河，当然狼吃羊，羊吃白菜，农夫不能将这两种或三种物品单独放在河的一侧，因为没有农夫的照看，狼就要吃羊，而羊可能要吃白菜？这类问题的实质是系统的状态问题，要寻求的是从初始状态经一系列的安全状态到达系统的终止状态的一条路径. 一.问题的描述 任何的实际问题，都可以抽象成固定的数学模型，然后再根据模型解决问题。这样就可以不考虑繁琐的实际过程，从而简化问题。 在我们的问题中，过河与没过河是两种不同的状态。农夫、狼、羊和菜，分别处于这两种状态。而，如果把他们看成一个系统，则农夫、狼、羊和菜的不同状态组合成系统的2的4次方种，即16种状态。 但在系统的16种状态中，有些不满足题给条件，应给予剔除。剔除的判断条件：羊跟狼、菜状态相同，且不同于农夫的状态。 当我们挑选好一系列系统的合法状态后，我们的问题就清晰了很多。我们不妨设，没过河状态为0,过河为1。我们的问题就抽象为，系统从初始状态（0000），经过有限的合法状态，到达最终状态（1111）的过程。系统不同的合法状态之间，可能，有的有路，有的则不能到达。具体的判断条件是，农夫可以与一件物品同时边，或自己单独变。根据这一个条件，我们可以抽象出一个图来：系统的每一种状态视为一个节点，满足条件的节点间有一条路。这样问题就抽象为，在无向图中找一条路。 小船过河问题 组题：杨炼军 问题本质 小船渡河是典型的运动的合成问题。需要理解运动的独立性和等时性原理，掌握合速度与分速度之间的关系。小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动v 水（水冲船的运动），和船相对水的运动v 船（即在静水中的船的运动），船的实际运动v 是合运动。 基本模型 1、v 水 小船过河问题分析与题解 【问题概说】 （1） 船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。 （2） 三种速度：船相对水的速度为 v 船（即船在静水中的速度），水的流速为v 水（即水对地 的速度），船的合速度为v （即船对地的速度，船的实际速度，其方向就是船的航向） 。 （3） 三种情景： ① 过河时间最短：当船头垂直河岸，渡河时间最短，且渡河时间与水的流速无关。 ② 过河路径最短：在 v 船〉v 水的条件下，当船的合速度垂直于河岸时，渡河位移（航程 或路径）最小并等于河宽。 在v 船＜v 水的条件下，当船头与船的合速度垂直时，渡河位移（航程或路径）最小。 此种情况下，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。最短航程确定如下 ：如图所示, 以v 水矢量末端为圆心，以 v 船矢量的大小为半径画弧，从 v 水矢量的始端向圆弧作切线，则 合速度沿此切线方向航程最短。 （下图中V 1表船速，V 2表水速） ③ 最小渡河速度：水速和航向一定，船速垂直航向有最小船速。 【典型题例】 两河岸平行，河宽d=100m ，水流速度v i =3m/s ，求：（1）船在静水中的速度是 4m/s 时, 欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河最短时间是多少船的位移是多大 （2） 船在静水中的速度是 6m/s 时，欲使船航行距离最短，船应怎样渡河渡河时间多长 （3） 船在静水中的速度为 1.5m/s 时，欲使船渡河距离最短，船应怎样渡河船的最小航程是 多少 ［思路分析］（1）当船头垂直于河岸时，渡河时间最短: t min =d/v 2=100/4=25S 合速度 v= V ： v - 3 2 42 5m/s 船的位移大小s=v t min =125m （2）欲使船航行距离最短，需船头向上游转过一定角度使合速度方向垂直于河岸，设船的 v 3 1 开行速度v 2与岸成B 角，则cos v 2 6 2 所以 0 =0°,合速度 v=v 2sin60°=3?-3m/s d 100.3 t= s v 9 （3）船在静水中速度小于水流的速度，船头垂直于合速度 v 时，渡河位移最小, C V 2 cos 1.5 1 所以3 =60 V 1 3 2 d 100 最小位移 S mi n = 200m cos cos60 设船头与河岸夹角为 3,如图所示: v 2 过河 【问题描述】在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上 有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L （其中L 是 桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L 的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开 始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S 到T 之间的任意正整数（包括S,T ）。当 青蛙跳到或跳过坐标为L 的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。 题目给出独木桥的长度L ，青蛙跳跃的距离范围S,T ，桥上石子的位置。你的任务是确定青 蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。 【输入文件】输入文件river.in 的第一行有一个正整数L （1 ≤ L ≤ 109），表示独木桥 的长度。第二行有三个正整数S ，T ，M ，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离， 及桥上石子的个数，其中1≤S≤T≤10，1≤M≤ 100。第三行有M 个不同的正整数分别表示这 M 个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用 一个空格隔开。 【输出文件】输出文件river.out 只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。 方法1：搜索 ?直叙式搜索不行：搜索桥有困难（桥的长度1..109）；搜索石子更困难,（石头的分布是没有 任何规律） ?优化：以桥的长度为对象搜索+巧妙的剪枝 ?分析：从桥的一侧到另一侧，中间最多只有100个石子。假设桥长为最大值(109)，石头数 也为最大值(100)，则中间一定会有很多“空长条” (两个石子中的空地)，关键是如何在处理时 把这些“空长条”跳过，使得运算次数降到M 次。 先求出青蛙可能跳到的所有位置，然后就可以在忽略“空长条”的前提下，计算青蛙过河最少 需要踩到的石子数了。算法的时间复杂度为O(m2) 方法2、动态规划 设opt[n]为青蛙到达n 位置最少需要踩到的石子数。 rock[n]= 这个方程的时间复杂度是O （n ）级的 ，显然在竞赛时限内， n≤109的极限数据是无法出 解的 优化方法：压缩法 ?结论： ?若（采用跳跃距离p 和p+1时可以跳至任何位置Q ），则在Q ≥P*（P-1）时是一定有解的。 为什么呢？ Because 证明 ]}[][{m in ][n rock i n opt n opt T i S +-=≤≤?????位置无石子 位置有石子n n 01Q y p px =++)1( 小船过河问题分析与题 解 集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN] 小船过河问题分析与题解 【问题概说】 （1）船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。 （2）三种速度:船相对水的速度为v 船（即船在静水中的速度），水的流速为v 水（即水对地的速度），船的合速度为v （即船对地的速度，船的实际速度，其方向就是船的航向）。 （3）三种情景： ①过河时间最短:当船头垂直河岸，渡河时间最短，且渡河时间与水的流速无关。 ②过河路径最短：在v 船>v 水的条件下，当船的合速度垂直于河岸时，渡河位移（航程或路径）最小并等于河宽。 在v 船 小船过河问题 问题本质 小船渡河是典型的运动的合成问题。需要理解运动的独立性和等时性原理，掌握合速度与分速度之间的关系。小船在有一定流速的水中过河时，实际上 参与了两个方向的分运动，即随水流的运动 v 水（水冲船的运动），和船相对水的运动 v 船（即在静水中的船的运动），船的实际运动 v 是合运动。基本模型 1、 v 水 曲线运动 ---- 小船渡河问题分析 1. 一人以垂直河岸不变的速度（相对水）向对岸游去，若河水流动速度恒定。下列说法中 正确的是 A. 河水流动速度对人渡河无任何影响 B. 游泳者渡河的路线与河岸垂直 C. 由于河水流动的影响，人到达对岸的位置将向下游方向偏移 D. 由于河水流动的影响，人到达对岸的时间与静水中不同 答案：C 2. 小船在200m 宽的河中横渡，水流速度是 4m/s ， 船在静水中的航速是 5m/s ，则下列判断 正确的是 A ?小船过河所需的最短时间是 40s B ?要使小船过河的位移最短，船头应始终正对着对岸 C .要使小船过河的位移最短，过河所需的时间是 50s D ?如果水流速度增大为 6m/s ，小船过河所需的最短时间将增大 答案：A 120m 的河流，当船头垂直于河岸方向航 行时, ;若船头保持与河岸上游成 该小船（ ） A. 能到达正对岸 B .渡河的时间可能少于 50s C. 以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为 200m 3.降落伞在匀速下降的过 程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，则降落伞（ A 、下落时间越短 C 、落地时速度越小 答案：D B 、下落时间越长 D 、落地时速度越大 4.小船匀速横渡一条宽 60m 处，则船在静水中的速度为 30s 到达河对岸下游 a 角航行，恰好到达正对 5. 一小船在静水的速度为 3m/s ,它在一条河宽 150m,水流速度为4m/s 的河流中渡河，则 D. 以最短位移渡河时，位移大小为150m 答案：C 6 ?小船在静水中的速度是v，今小船要渡过一河流，渡河时小船朝对岸垂直划行，若航行 至河中心时，河水流速增大，则渡河时间将（） A.不变 B.减小 C.增大 D.不能确定 答案：A 7.若河水的流速大小与水到河岸的距离有关，河中心水的流速最大，河岸边缘处水的流速 最小。现假设河的宽度为120m河中心水的流速大小为5m/s，船在静水中的速度大小为 3m/s，则下列说法中正确的是（） A ?船渡河的最短时间是40s B. 船在河水中航行的轨迹是一条直线 C .要使船渡河时间最短，船头应始终与河岸垂直 D .要使船渡河行程最短，船头应与上游河岸成53°行驶 答案：AC 8.—条河宽100m水流速度为3m/s，一条小船在静水中的速度为5m/s，关于船过河的过程，下列说法不正确的是： A.船过河的最短时间是20s B .船要垂直河岸过河需用25s的时间 C. 船的实际速度可能为5m/s D .船的实际速度可能为 10m/s 答案：D 9.某船在静水中的速率为4m/s,要横渡宽为40m的河，河水的流速为5m/s、下列说法中 不正确的是 A该船不可能沿垂直于河岸的航线抵达对岸B该船渡河的速度最小速度是3m/s C该船渡河所用时间至少是10s D、该船渡河所经位移 的大小至少是50m 答案：B 10._________________________________________ 一只船在200m宽的河中横渡，水流速度是2m/s，船在静水中的航速是4m/s，欲使小船以最短时间渡过河去，则应使船头方向河岸（填垂直”或不垂直”）行驶，最 短的时间是__________ s. 答案：垂直50高中物理小船过河问题含答案
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