离散数学第1章习题集解答
习题1.1
1. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。
⑴中国有四大发明。
⑵计算机有空吗?
⑶不存在最大素数。
⑷21+3＜5。
⑸老王是山东人或河北人。
⑹2与3都是偶数。
⑺小李在宿舍里。
⑻这朵玫瑰花多美丽呀!
⑼请勿随地吐痰!
⑽圆的面积等于半径的平方乘以 。
⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。
⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。
解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。
2. 将下列复合命题分成若干原子命题。
⑴李辛与李末是兄弟。
⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
⑶天正在下雨或湿度很高。
⑷刘英与李进上山。
⑸王强与刘威都学过法语。
⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。
⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。
⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。解：⑴本命题为原子命题；
⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；
⑶p：天在下雨；q：湿度很高；
⑷p：刘英上山；q：李进上山；
⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语；
⑹p：你看电影；q：我看电影；
⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；
⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。
3. 将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭，一面听音乐。
⑵3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。
⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。
解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q
⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q
⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：?p→?q
⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p?q
⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p
⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p?q。
⑺p：a是偶数；q：b是偶数；r：a+b是偶数；原命题符号化为：p∧q→r
4. 将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值。
⑴如果3+3=6，则雪是白的。
⑵如果3+3≠6，则雪是白的。
⑶如果3+3=6，则雪不是白的。
⑷如果3+3≠6，则雪不是白的。
⑸3是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。
⑹2+3=5的充要条件是3是无理数。(假定是10进制)
⑺若两圆O1，O2的面积相等，则它们的半径相等，反之亦然。
⑻当王小红心情愉快时，她就唱歌，反之，当她唱歌时，一定心情愉快。
解：设p：3＋3＝6。q：雪是白的。
⑴原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。
⑵原命题符号化为：?p→q；该命题是真命题。
⑶原命题符号化为：p→?q；该命题是假命题。
⑷原命题符号化为：?p→?q；该命题是真命题。
⑸p：3是无理数；q：加拿大位于亚洲；原命题符号化为：p?q；该命题是假命题。
⑹p：2+3＝5；q：3是无理数；原命题符号化为：p?q；该命题是真命题。
⑺p：两圆O1,O2的面积相等；q：两圆O1,O2的半径相等；原命题符号化为：p?q；该命题是真命题。
⑻p：王小红心情愉快；q：王小红唱歌；原命题符号化为：p?q；该命题是真命题。
习题1.2
1.判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。
⑴(p∧q→r)
⑵(p∧(q→r)
⑶((?p→q)?(r∨s))
⑷(p∧q→rs)
⑸((p→(q→r))→((q→p)?q∨r))。
解：⑴⑶⑸是合式公式；⑵⑷不是合式公式。
2.设p：天下雪。
q：我将进城。
r：我有时间。
将下列命题符号化。
⑴天没有下雪，我也没有进城。
⑵如果我有时间，我将进城。
⑶如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。
解：⑴?p∧?q
⑵r→q
⑶?p∧r→q
3.设p、q、r所表示的命题与上题相同，试把下列公式译成自然语言。
⑴r∧q
⑵? (r∨q)
⑶q?(r∧? p)
⑷(q→r)∧(r→q)
解：⑴我有时间并且我将进城。
⑵我没有时间并且我也没有进城。
⑶我进城，当且仅当我有时间并且天不下雪。
⑷如果我有时间，那么我将进城，反之亦然。
4. 试把原子命题表示为p、q、r等，将下列命题符号化。
⑴或者你没有给我写信，或者它在途中丢失了。
⑵如果张三和李四都不去，他就去。
⑶我们不能既划船又跑步。
⑷如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。
解：⑴p：你给我写信；q：信在途中丢失；原命题符号化为：(?p∧? q)∨(p∧q)。
⑵p：张三去；q：李四去；r：他去；原命题符号化为：?p∧?q→r。
⑶p：我们划船；q：我们跑步；原命题符号化为：?（p∧q）。
⑷p：你来了；q：他唱歌；r：你伴奏；原命题符号化为：p→（q?r）。
5. 用符号形式写出下列命题。
⑴假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
⑵我今天进城，除非下雨。
⑶仅当你走，我将留下。
解：⑴p：上午下雨；q：我去看电影；r：我在家读书；s：我在家看报；原命题符号化为：（?p→q）∧（p→r∨s）。
⑵p：我今天进城；q：天下雨；原命题符号化为：?q→p。
⑶p：你走；q：我留下；原命题符号化为：q→p。
习题1.3
1.设A、B、C是任意命题公式，证明：
⑴A A
⑵若A?B，则B?A
⑶若A?B，B?C，则A?C
证明：⑴由双条件的定义可知A?A是一个永真式，由等价式的定义可知A?A成立。
⑵因为A?B，由等价的定义可知A?B是一个永真式，再由双条件的定义可知B?A 也是一个永真式，所以，B?A成立。
⑶对A、B、C的任一赋值，因为A?B，则A?B是永真式，即A与B具有相同的真值，又因为B?C，则B?C是永真式，即B与C也具有相同的真值，所以A与C也具有相同的真值；即A?C成立。
2.设A、B、C是任意命题公式，
⑴若A∨C?B∨C, A?B一定成立吗？
⑵若A∧C?B∧C, A?B一定成立吗？
⑶若?A??B，A?B一定成立吗？
解：⑴不一定有A?B。若A为真，B为假，C为真，则A∨C?B∨C成立，但A?B 不成立。
⑵不一定有A?B。若A为真，B为假，C为假，则A∧C?B∧C成立，但A?B不成立。
⑶一定有A?B。
3.构造下列命题公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
⑴q∧(p→q)→p
⑵p→(q∨r)
⑶(p∨q)?(q∨p)
⑷(p∧ q)∨(r∧q)→r
⑸((?p→(p∧?q))→r)∨(q∧?r)
解：⑴q∧(p→q)→p的真值表如表1.24所示。
使得公式q∧(p→q)→p成真的赋值是：00，10，11，使得公式q∧(p→q)→p成假的赋值是：01。
⑵p→(q∨r) 的真值表如表1.25所示。
使得公式p→(q∨r)成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式p→(q∨r)成假的赋值是：100。
⑶(p∨q)?(q∨p) 的真值表如表1.26所示。
表1.26
p q p∨q q∨p(p∨q)?(q∨p)
0 0 0 0 1
0 1 1 1 1
1 0 1 1 1
1 1 1 1 1
所有的赋值均使得公式(p∨q)?(q∨p)成真，即(p∨q)?(q∨p)是一个永真式。
⑷(p∧q)∨(r∧q)→r的真值表如表1.27所示。
p q r q p∧q r∧q(p∧q)∨(r∧q) (p∧q)∨(r∧q)→r
0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 1 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0 0 1
0 1 1 0 0 1 1 1
1 0 0 1 1 0 1 0
1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 0 0 0 0 0 1
1 1 1 0 0 1 1 1
使得公式(p∧q)∨(r∧q)→r成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式(p∧q)∨(r∧q)→r成假的赋值是：100。
⑸((p→(p∧q))→r)∨(q∧r) 的真值表如表1.28所示。
使得公式((
p →(p ∧q ))→r )∨(q ∧r )成真的赋值是：000，001，010，011，101，
110，111，使得公式((p →(p ∧
q ))→r )∨(q ∧
r )成假的赋值是：100。
4.用真值表证明下列等价式： ⑴
(p →q )?p ∧
q
证明：证明(p →q )?p ∧q 的真值表如表1.29所示。
p
q
p →q
(p →
q )
q p ∧
q
0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1
1
1
由上表可见：(p →q )和p ∧
q 的真值表完全相同，所以(p →q )?p ∧q 。
p
q
r p ∧
q
p →(p ∧q )
(
p →(p ∧
q ))→r q ∧
r
((p →(p ∧q ))→r )∨(q ∧r )
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1
1
1
1
1
1
,.
⑵p→q??q→?p
证明：证明p→q??q→?p的真值表如表1.30所示。
表1.30
p q p→q p q?q→?p
0 0 1 1 1 1
0 1 1 1 0 1
1 0 0 0 1 0
1 1 1 0 0 1
由上表可见：p→q和?q→?p的真值表完全相同，所以p→q??q→?p。
⑶(p?q)?p?q
证明：证明(p?q)和p?q的真值表如表1.31所示。
p q
p?q (p?
q) q p?q
0 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
1 0 0 1 1 1
1 1 1 0 0 0
由上表可见：(p?q)和p?q的真值表完全相同，所以(p?q)?p?q。
⑷p→(q→r)?(p∧q)→r
证明：证明p→(q→r)和(p∧q)→r的真值表如表1.32所示。
p q r q→r p→(q→r) p∧q(p∧q)→r
0 0 0 1 1 0 1
0 0 1 1 1 0 1
0 1 0 0 1 0 1
0 1 1 1 1 0 1
1 0 0 1 1 0 1
1 0 1 1 1 0 1
1 1 0 0 0 1 0
1 1 1 1 1 1 1
由上表可见：p→(q→r)和(p∧q)→r的真值表完全相同，所以p→(q→r)?(p∧q)→r。
⑸p→(q→p)?p→(p→q)
证明：证明p→(q→p)和p→(p→q)的真值表如表1.33所示。
p q
q→p p→(q→p) p q p→
q
p→(p→
q)
0 0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 0 1 1
1 0 1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 0 0 0 1
由上表可见：p→(q→p)和p→(p→q)的真值表完全相同，且都是永真式，所以p→(q→p)?p→(p→q)。
⑹(p?q)?(p∨q)∧(p∧q)
证明：证明(p?q)和(p∨q)∧(p∧q)的真值表如表1.34所示。
p q
p?q (p?
q) p∨q p∧q(p∧q) (p∨q)∧(p∧q)
0 0 1 0 0 0 1 0
1 0 0 1 1 0 1 1
1 1 1 0 1 1 0 0
由上表可见：(p?q)和(p∨q)∧(p∧q)的真值表完全相同，所以(p?q)?(p∨q)∧(p∧q)
⑺(p?q)?(p∧q)∨(p∧q)
证明：证明(p?q)和(p∧q)∨(p∧q)的真值表如表1.35所示。
p q
p?q (p?
q)
p∧
q p∧q(p∧q)∨(p∧q)
0 0 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1
1 1 1 0 0 0 0
由上表可见：(p?q)和(p∧q)∨(p∧q)的真值表完全相同，所以(p?q)?(p∧q)∨(p∧q)。
⑻p→(q∨r)?(p∧q)→r
证明：证明p→(q∨r)和(p∧q)→r的真值表如表1.36所示。
p q
r q∨r p→(q∨r) q p∧q (p∧q)→
r
0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1
0 1 1 1 1 0 0 1
1 0 0 0 0 1 1 0
1 0 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 0 0 1
1 1 1 1 1 0 0 1
由上表可见：p→(q∨r)和(p∧q)→r的真值表完全相同，所以p→(q∨r)?(p∧q)→r。
5. 用等价演算证明习题4中的等价式。
⑴(p→q)
?(p∨q) (条件等价式)
?p∧q (德·摩根律)
⑵?q→?p
???q∨?p (条件等价式)
?q∨?p (双重否定律)
??p∨q (交换律)
? p→q (条件等价式)
⑶(p?q)
?((p→q)∧(q→p)) (双条件等价式)
?((p∨q)∧(q∨p)) (条件等价式)
?(p∧q)∨(q∧p) (德·摩根律)
?((p∧q)∨q)∧((p∧q)∨p) (分配律)
,. ?(p∨q)∧(q∨p) (分配律)
?(p∨q)∧(q∨p) (交换律)
?(p→q)∧(q→p) (条件等价式)
?p?q (双条件等价式)
⑷p→(q→r)
?p∨(q∨r) (条件等价式)
?(p∨q)∨r (结合律)
?(p∧q)∨r (德·摩根律)
?(p∧q)→r (条件等价式)
⑸p→(q→p)
?p∨(q∨p) (条件等价式)
?T
p→(p→q)
?p∨(p∨q) (条件等价式)
?T
所以p→(q→p)?p→(p→q)
⑹(p?q)
?((p∧q)∨(p∧q)) (例1.17)
?(p∨q)∧(p∨q) (德·摩根律)
?(p∨q)∧(p∧q) (德·摩根律)
所以(p?q)?(p∨q)∧(p∧q)
⑺(p?q)
?((p→q)∧(q→p)) (双条件等价式) ?((p∨q)∧(q∨p)) (条件等价式) ?(p∧q)∨(p∧q) (德·摩根律)
⑻p→(q∨r)
?p∨(q∨r) (条件等价式) ?(p∨q)∨r (结合律)
?(p∧q)∨r (德·摩根律)
?(p∧q)→r (条件等价式)
6.试用真值表证明下列命题定律。
⑴结合律：(p∨q)∨r?p∨(q∨r)，(p∧q)∧r?p∧(q∧r)
证明：证明结合律的真值表如表1.37和表1.38所示。
p q r p∨q(p∨q)∨r q∨r p∨(q∨r)
0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 1
0 1 0 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 0 1
1 0 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1 1
由真值表可知结合律成立。
⑵分配律：p∧(q∨r)?(p∧q)∨(p∧r)，
p∨(q∧r)?(p∨q)∧(p∨r)
证明：证明合取对析取的分配律的真值表如表1.39所示，析取对合取的的分配律的真值表如表1.40所示。
1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
表1.40
p q r q∧r p∨(q∧r) p∨q p∨r(p∨q)∧(p∨r)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1
1 0 1 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
由真值表可知分配律成立。
⑶假言易位式：p→q?q→p
证明：证明假言易位式的真值表如表1.41所示。
p q p→q q p q→p
0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 1 1
1 0 0 1 0 0
1 1 1 0 0 1
由真值表可知假言易位律成立。
⑷双条件否定等价式：p?q?p?q
证明：证明双条件否定的真值表如表1.42所示。
p q p?q 由真值表可知双条件否定等价式成立。