第5篇傅里叶递推算法

一个以T 为周期的函数()t f T ，若在[]0，T -上满足狄氏条件（电网中的电压、电流满足），那么，在[]0，T -上就可以展成傅氏级数。

在计算电网中的电压、电流的基波时，存在两种算法：一种随截取不同时刻的窗（积分区间），得到不同的初相角；另一种维持初相角不变。

例如，[]11---k k t T t ，的基波值

()tdt t f T a k k t T t T k ωcos 2111?----=

，()tdt t f T

b k k t T t T k ωsin 21

11?----=。计算[]k k t T t ，-的基波值第一种算法

()tdt T t f T a S t T t T k k k ωcos 211+=?---，()tdt T t f T b S t T t T k k k ωsin 21

1+=?---。

()()dt t t f T a S t T t T k k k ?ω-=?-cos 2，()()dt t t f T b S t T

t T k k

k ?ω-=?-sin 2。()1

第二种算法

()()dt T t T t f T a S S t T t T k k k ++=?---ωcos 211，()()dt T t T t f T b S S t T t T k k k ++=?---ωsin 21

1。

()tdt t f T a k k t T t T k ωcos 2?-=，()tdt t f T b k

k t T

t T k ωsin 2?-=。()2

比较()1式与()2式，初相角差()1--==k k S S t t T ωω?。这是由于被分解函数()t f T 与相关函数t ωcos ，t ωsin 的时间差引起的。被分解函数()t f T 后移S T ，而相关函数t ωcos ，

t ωsin 未移。若相关函数同步后移S T ，就消除了初相角差S ?。

电网的应用中并不关心相量的绝对初相角，只关心它们之间的相对相角（相位差）。因此，同时刻的相量运算，只要截取相同的窗，采用相同的算法，得到的相位差是正确的。但是，不同时刻的相量运算，也必须坚持正确的相角关系。第一种算法的窗只能相差T n ?，而第二种算法无此要求。例如计算突变量，第一种算法故障前窗超前故障后窗T n ?且随故障后窗同步推移。第二种算法固定故障前窗且靠近故障时刻，故障后窗随时间推移。直观上

()2式比()1式简单、规整，例如采用第二种算法计算

()()[]tdt T t f t f T a a k k t t T T k k ωcos 211?---=

--，()()[]tdt T t f t f T

b b k

k t t T T k k ωsin 211?---=-- 若采用第一种算法计算就相对复杂。将()3离散得递推公式

()()[]N k t f t f N a a N k T k T k k π2cos 2

1---+

=，()()[]N

k t f t f N b b N k T k T k k π2sin 21---+=()4 应用()4式计算故障分量。这里引入一个新概念：当前时刻t ，变化量（t ）=故障后量（t ）-

固定故障前量（譬如，记忆启动前一周波）；突变量（t ）=故障后量（t ）-故障后量（t-T ）。可见，故障后一个周波的变化量=突变量。将()4式两边同减0a ，0b 。得故障分量递推公式傅立叶采取全波递推算法，无论稳态量，还是变化量。我们认为，启动前故障已经发生，约定：

变化量全波傅氏算法

启动前预计算2个点，启动后进入故障处理程序，接着计算第3点……一直递推下去。具体算法：令，故障前一个周波的全波傅氏计算值为零作为初值。预递推2个点，第3点在启动后递推。

5.2-=k 发生故障，初值=0。2-=k 为故障后的第1点。稳态量全波傅氏算法

启动前预计算2个点，启动后进入故障处理程序，接着计算第3点……一直递推下去。具体算法：令，故障前一个周波的全波傅氏计算值作为初值。预递推2个点，第3点在启动后递推。

可见，变化量与稳态量计算公式完全一样，仅仅是初值不同而已！故障前一个周波的采样值是必须记忆的，假设故障前一个周波的变化量为零，而稳态量是实际值。

递推的傅里叶算法计算变化量的好处在于，在相量形成的过程中，随时间推移逐渐逼近满窗逐渐准确。动作特性的裕度也随之逐渐减小直至为零。递推公式：()()()()25

252

241

t f t f t f t f i k

i k

-=-∑∑==，()()()()24

2525

252

-=-=-+=∑∑t

f t f t f t f i k i k

。