5.6.1 匀速圆周运动的数学模型(原卷版)
形如y=Asin(?ω+x )函数模型的建立：
模型准备(匀速圆周运动)——模型假设(三角函数模型)——模型建立(H=rsin(?ω+t )+h).
一、选择题
1.把函数y=sinx 的图象向左平移3
π
个单位长度后所得图象的解析式为( ) A. y=sinx -
3
π B. y=sin x+
3
π C.y=sin (x -
3
π) D. y=sin (x+
3
π) 2.已知a 是实数，则函数()ax a x f sin 1+=的部分图象不可能是( )
3.为了得到函数y=4sin(
21x -6π),x∈R 的图象,只需将函数y=4sin(x -6
π
),x∈R 的图象上的所有点( ) A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的2
1
倍,纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的
2
1
倍,横坐标不变 4.已知函数f(x)=Acos(?ω+x )(A>0,2
,0π
?ω<
>)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为( )
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
知识讲解
同步练习
A. f(x)=2cos ??
?
??-42πx
B.f(x)=2sin ??? ?
?
+62πx
C.f(x)=2cos ??? ??
+62πx
D.f(x)=2sin ?
??
??-42πx
5.将函数y=sinx 的图象向右平移
6π个单位长度,再将横坐标缩短为原来的()01
>ωω
得到函数y=f(x)的图象,若y=f(x)在???
???60π，上的最大值为5ω,则ω的取值个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
6.已知函数f(x)=sin ()03>??? ??
+ωπωx ,若
??? ??=??
? ??36ππf f .且f(x)在区间??
?
??36ππ，上有最小值,无最大值,则ω=( ) A.
3
2
B.
3
14 C.
3
26 D.
3
28 7.下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )
A. f(x)=3sin ??? ?
?
+3πx
B.f(x)=3sin ??
?
??3-πx
C.f(x)=3sin ??? ??+62
1
πx
D.f(x)=3sin ???
??6-2
1πx
8.已知函数f(x)=sin ()04>??? ?
?
+ωπωx 的最小正周期为π，则该函数的图象( )
A.关于直线x=
8
π
对称
B.关于点??
?
??04，π对称
C.关于直线x=
4
π
对称
D.关于点??
?
??08，π对称 9.将函数y=2sin(2x+4π)的图象向左平移8π
个单位长度,则所得函数( ) A.是奇函数
B.其图象以x=
4
π
为一条对称轴 C.其图象以??
?
??02，π为一个对称中心
D.在区间??
?
??20π，上为单调递减函数
10.对于函数f(x)=sin(2x+6
π
)，下列命题： ∈函数f(x)=sin(2x+
6π)对任意x 都有f(6π+x)=f(6
π-x). ∈函数f(x)=sin(2x+
6π)图象关于??
?
??0125，
π对称. ∈函数f(x)=sin(2x+
6π)图象可看作是把y=sin2x 的图象向右平移12
π
个单位而得到. ∈函数f(x)=sin(2x+6π)图象可看作是把y=sin(x+6π)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2
1
倍(纵坐标不变)而得到.其中正确的命题个数是( ) A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题
1.函数y=sin(5x -2π)的图象向右平移4π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的2
1，所得图象的函数解析式为 . 2.将函数y=sin2x 的图象向左平移4
π
个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数是 .
3.将函数y=2cos(2x+
3π)的图象向左平移3
π
个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为 . 4.已知函数f(x)=Asin(?ω+x )()π?πω<<->>,0,0A 的部分图象如图，则函数f(x)的解析式为 .
5.将函数f(x)=3cos2x 得图象纵坐标伸长到原来得2倍(横坐标不变)，再向左平移6
π
个单位长度后得到函数g(x)得图象，则g(3
π
)= . 6.函数f(x)=3sin(2x -
3
π
)的图象为C ，则以下结论中正确的是 .(写出所有正确结论的编号) ∈图象C 关于直线x=
12
π
对称； ∈图象C 关于点???
??032，π对称； ∈函数f(x)在区间??
?
??12
512-π
π，
上是增函数; ∈由y=3sin2x 的图象向右平移3
π
个单位长度可以得到图象C.
三、解答题
1.已知函数f(x)=Asin(?ω+x )??? ?
?
<<>>∈20,0,0π?ωA R x 其中的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点
的距离为2π，且图象上一个最低点为???
??-2,32πM ,求f(x)得解析式。
2.已知函数f(x)=2sin( ?ω+x -6
π
)()0,0><<ωπ?为偶函数,且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为
2
π. (1)求f(
8
π
)的值； (2)将函数f(x)的图象向右平移6
π
个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间.
3.已知函数f(x)=sin(?ω+x )()0,0>≤≤ωπ?是R 上的偶函数,其图象关于点??
?
??0,43πM 对称,且在区间
??
?
???20π，上是单调函数,求?和ω的值.
4.已知函数()10cos sin 321cos 2)(2<<+-=ωωωωx x x x f ，直线3
π
=x 是函数f(x)的图象的一条对称轴。
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)已知函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,然后再向左平移
3
2π
个单位长度得到的,若???
??∈=+2,0,56)32(παπαg ,求sinα的值。
5.已知函数()()π?ω?ω<>>+=,0,0cos )(A x A x f )()0,0>≤≤ωπ?的部分图象如图所示. (1)求)(x f 的解析式及对称中心坐标；
(2)先将)(x f 的图象纵坐标缩短为原来的
21倍，再向右平移12
π
个单位长度，最后将图象向上平移1个单位长度后得到)(x g 的图象，求函数y=)(x g 在??
?
???∈43,12ππx 上的单调递减区间和最值。
圆周运动_圆盘模型
圆周运动——圆盘模型 1、如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳中张力为零），物块与转盘间最大静摩擦力是其重力的k倍，求： 2、（1）转盘的角速度为时绳中的张力T1； （2）转盘的角速度为时绳中的张力T2。 2、如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的A、B两个小物块。A的质量为，离轴心，B的质量为，离轴心，A、B与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.5倍，试求： （1）当圆盘转动的角速度为多少时，细线上开始出现张力？ （2）欲使A、B与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？（）
3、如图11所示，在匀速转动的圆盘上，沿半径方向放置以细线相连的质量均为m的A、B两个小物块。A离轴心r1＝20 cm，B离轴心r2＝30 cm，A、B与圆盘面间相互作用的最大静摩擦力为其重力的0.4倍，取g＝10 m/s2。 (1)若细线上没有张力，圆盘转动的角速度ω应满足什么条件？ (2)欲使A、B与圆盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度多大？ (3)当圆盘转速达到A、B刚好不滑动时，烧断细线，则A、B将怎样运动？ 4、如图所示，在水平圆盘上沿半径方向放置用细线相连的质量均为m的A、B
两个物块（可视为质点）．A和B距轴心O的距离分别为r A=R，r B=2R，且A、B与转盘之间的最大静摩擦力都是f ，两物块A和B随着圆盘转动时，始终与 m 圆盘保持相对静止．则在圆盘转动的角速度从0缓慢增大的过程中，下列说法正确的是（） A．B所受合外力一直等于A所受合外力 B．A受到的摩擦力一直指向圆心 C．B受到的摩擦力一直指向圆心 D．A、B两物块与圆盘保持相对静止的最大角速度为 5、如图所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘盘面上，离轴心r=20cm处放置一小物块A，其质量为m＝2kg，A与盘面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的k倍（k＝0.5），试求 ⑴当圆盘转动的角速度ω＝2rad/s时，物块与圆盘间的摩擦力大小多大？方向如何？ ⑵欲使A与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大 角速度多大？（g=10m/s2）
匀速圆周运动基本模型归纳总结水平转盘模型
一．经典例题 1.如图所示，相同材料的A、B两物块置于绕竖直轴匀速转动的水平圆盘上，B的质量是A 的质量的2倍，A与转动轴的距离等于B与转动轴的距离2倍，两物块相对于圆盘静止，则两物块（） A．角速度相同 B．线速度相同 C．向心加速度相同 D．若转动的角速度增大，A、B同时滑动 2.如图，A、B两个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ，A的质量为m，B质量为2m，B离轴为R，A离轴为2R，则当圆台旋转时，（设A、B都没有滑动）（） A．A、B加速度一样大 B．A、B物的静摩擦力一样大 C．当圆台转速增加时，B比A先滑动 D．当圆台转速增加时，A、B同时滑动 总结 1
（1）水平转盘模型概述： 1.向心力由静摩擦力提供，方向指向圆心 2.满足方程： 3.当物体刚要滑动时，有静摩擦力等于滑动摩擦力，从而解出临界角速度 （2）规律 物体离中心O越远，就越容易甩出去。如生活中汽车在水平面上的拐弯 二．相关练习题 1.如图所示，水平圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，转动的角速度为2rad/s．在距离圆心0.8m处放一质量为0.4kg的金属块，随圆盘一起做匀速圆周运动而不被甩出，求： （1）金属块随圆盘运动的向心加速度； （2）金属块受到的静摩擦力． 2.如图所示，A、B、C三个物体放在水平旋转的圆盘上，三物与转盘的最大静摩擦因数均为μ，A的质量是2m，B和C的质量均为m，A、B离轴距离为R，C离轴2R，若三物相 对盘静止，则（） 2
A．每个物体均受重力、支持力、静摩擦力、向心力四个力作用 B．C的向心力最大 C．A、B的摩擦力相等 D．当圆台转速增大时，C比B先滑动，A和B同时滑动 3.A、B物体随圆盘一起做匀速圆周运动，A物体受到的沿水平方向的作用力是（） A．圆盘与B对A的摩擦力，两个力都指向圆心 B．圆盘与B对A的摩擦力及向心力 C．圆盘对A的摩擦力指向圆心，B对A的摩擦力背离圆心 D．圆盘对A的摩擦力及向心力 4.如图所示，一水平圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，圆盘边缘有一个小物块．当圆盘转动的角速度达到某一数值，再增大时，物块从圆盘边缘滑落到地面．已知圆盘半径R=0.5m，物块与圆盘间的动摩擦因数为μ=0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，圆盘中心与地面的距离为h=10m，g=10m/s2． 求：（1）圆盘转动时能保证物块相对圆盘静止的最大角速度． （2）物块落地点到圆盘中心的水平距离为多大？ 3
课时分层作业50匀速圆周运动的数学模型函数y=Asin(ωx+φ)的图象
课时分层作业 (五十 ) 函数 y ＝ Asin(x ＋ φ) (建议用时： 60 分钟) [合格基础练 ] 、选择题 1．下列表示函数 y ＝sin 2x － 3 在区间 －2 ，π上的简图正确的是 ( 当 x ＝6π 时 y ＝ sin 0＝0，排除 C ， 故选 A.] 2．把函数 y ＝sin 2x －4π的图象向左平移 8π个单位长度， 所得到的图象对应的 函数是 ( ) A ．奇函数 B.偶函数 C ．既是奇函数也是偶函数 D.非奇非偶函数 A [y ＝sin 2x －4π＝sin 2 x －8π ，向左平移 8π个单位长度后为 y ＝ 3．同时具有性质“ (1)最小正周期是 π；(2)图象关于直线 x ＝3π对称； (3)在 A [当 x ＝π时， y ＝ sin －3π＝－ 23 排除 B 、 D. sin 2x ，为奇函数 ．]
－6π，3π 上单调递增”的一个函数是 ( ) 证知只有 C 符合要求 ． ] 4．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B 的一部分图象如图所示， 若 A>0，ω>0， |φ|< 2π ，则 ( ) A ． B ＝4 C ．ω＝1 B [ 由函数图象可知 f(x) min ＝ 0， f(x) max ＝4. 4－0 4＋0 所以 A ＝ 2 ＝ 2，B ＝ 2 ＝2. 2π 5π π 由周期 T ＝ω＝4 12－6 知 ω＝2. 由 f 6 ＝4得 2sin 2× 6＋φ＋ 2＝ 4， π π π sin 3＋φ＝ 1，又 |φ|<2，故 φ＝6.] 5．已知函数 f(x)＝cos ωx －6π (ω>0)的相邻两个零点的距离为 2π ，要得到 y ＝f(x)的图象，只需把 y ＝cos ωx 的图象 ( ) A ．向右平移 1π2个单位 B ．向左平移 1π2个单位 A ． y ＝sin 2x ＋6 B ． y ＝cos 2x ＋ 3 C ． π y ＝sin 2x － 6 D ． y ＝cos2x －6 [ 由(1)知 T ＝π＝2ω π， 2，排除 A. 由(2)(3)知 x ＝ ，f(x)取最大值 ，验 π B ．φ＝6 D ．A ＝4 π C ．向右平移 6π 个单 D ．向左平移 6π 个单位
圆周运动的三种模型
圆周运动的三种模型 一、圆锥摆模型： 如图所示：摆球的质量为m，摆线长度为L ，摆动后摆球做圆周运动，摆线与竖直方向成θ角，对小球受力分析， 正交分法解得：竖直方向：水平方向：F X=最终得F合=。 用力的合成法得F合=。半径r=，圆周运动F向==，由F合=F向可得V=，ω= 圆锥摆是物理学中一个基本模型，许多现象都含有这个模型。分析方法同样适用自行车， 摩托车，火车转弯，飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。 1、小球在半径为R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度V ，周期T 的关系。（小球的半径远小于R） 2、如图所示，用一根长为l＝1m的细线，一端系一质量为m＝1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T。求（取g＝10m/s2，结果可用根式表示）： （1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？ （2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω＇为多大？
二．轻绳模型 （一）轻绳模型的特点： 1. 轻绳的质量和重力不计； 2. 只能产生和承受沿绳方向的拉力； （二）轻绳模型在圆周运动中的应用 小球在绳的拉力作用下在竖直平面内做圆周运动的临界问题： 1. 临界条件：小球通过最高点，绳子对小球刚好没有力的作用，由重力提供向心力： = ，v 临界 = 2. 小球能通过最高点的条件： v v 临界（此时，绳子对球产生 力） 3. 不能通过最高点的条件： v v 临界 （实际上小球还没有到最高点时，就脱离了轨道） 练习： 质量为m 的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v ，当小球以2v 的速度经过最高点时，对轨道的压力是（ ） A . 0 B. mg C .3mg D 5mg 三．轻杆模型： (一)轻杆模型的特点： 1.轻杆的质量和重力不计； 2.能产生和承受各方向的拉力和压力 (二)轻杆模型在圆周运动中的应用 轻杆的一端连着一个小球在竖直平面内做圆周运动，小球通过最高点时，轻杆对小球产生弹力的情况： 1. 小球能通过最高点的最小速度v= ，此时轻杆对小球的作用力N= （ N 为 力） 2. 当 =R v m 2临界 （ 轻杆对小球的作用力N= 0 ），gR v 临界 3 当 （即0
(完整版)最全圆周运动模型
圆周运动模型 一、匀速圆周运动模型 1．随盘匀速转动模型 1．如图，小物体m 与圆盘保持相对静止，随盘一起做匀速圆周运动，则物体的受力情况是： A ．受重力、支持力、静摩擦力和向心力的作用 B ．摩擦力的方向始终指向圆心O C ．重力和支持力是一对平衡力 D ．摩擦力是使物体做匀速圆周运动的向心力 2． 如图所示，质量为m 的小物体系在轻绳的一端，轻绳的另一端固定在转轴上。轻绳长度为 L 。现在使物体在光滑水平支持面上与圆盘相对静止地以角速度 做匀速圆周运动，求： （1）物体运动一周所用的时间T ； （2）绳子对物体的拉力。 3、如图所示，MN 为水平放置的光滑圆盘，半径为1.0m ，其中心O 处有一个小孔，穿过小孔的细绳两端各系一小球A 和B ，A 、B 两球的质量相等。圆盘上的小球A 作匀速圆周运动。问 （1）当A 球的轨道半径为0.20m 时，它的角速度是多大才能维持B 球静止？ （2）若将前一问求得的角速度减半，怎样做才能使A 作圆周运动时B 球仍能保持静止？ 4、如图4所示，a 、b 、c 三物体放在旋转水平圆台上,它们与圆台间的动摩擦因数均相同，已知a 的质量为2m ，b 和c 的质量均为m ，a 、b 离轴距离为R ，c 离轴距离为2R 。当圆台转动时,三物均没有打滑，则：（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）（ ） A.这时c 的向心加速度最大 B ．这时b 物体受的摩擦力最小 C.若逐步增大圆台转速，c 比b 先滑动 D ．若逐步增大圆台转速，b 比a 先滑动 5、如右图所示，某游乐场有一水上转台，可在水平面内匀速转动，沿半径方向面对面手拉手坐着甲、乙两个小孩，假设两小孩的质量相等，他们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两小孩刚好还未发生滑动时，某一时刻两小孩突然松手，则两小孩的运动情况是( ) A ．两小孩均沿切线方向滑出后落入水中 B ．两小孩均沿半径方向滑出后落入水中 C ．两小孩仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动而落入水中 D ．甲仍随圆盘一起做匀速圆周运动，乙发生滑动最终落入水中 6、线段OB=AB ，A 、B 两球质量相等，它们绕O 点在光滑的水平面上以相同的角速度转动时，如图4所示，两段线拉力之比T AB ：T OB ＝______。 2.转弯模型 1．火车在水平轨道上转弯时，若转弯处内外轨道一样高，则火车转弯时：[ ] A ．对外轨产生向外的挤压作用 B ．对内轨产生向外的挤压作用 C ．对外轨产生向内的挤压作用 D ．对内轨产生向内的挤压作用 2.火车通过半径为R 的弯道，已知弯道的轨道平面与水平面的夹角为θ，要使火车通过弯道时对内外轨道不产生挤压，求火车通过弯道时的速度？ O ω ω m
高中物理分类模型：圆周运动
第1 页 第二章圆周运动 解题模型： 一、水平方向的圆盘模型 1．如图1.01所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，当物块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间最大静摩擦力是其正压力的μ倍，求：（1）当转盘的角速度ωμ12=g r 时，细绳的拉力F T 1。（2）当转盘的角速度ωμ232= g r 时，细绳的拉力F T 2。图2.01解析：设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为ω0，则μωmg m r =02，解得ωμ0=g r 。（1）因为ωμω102=
物块。A 的质量为m kg A =2，离轴心r cm 120=，B 的质量为m kg B =1，离轴心r cm 210=，A、B 与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.5倍，试求： （1）当圆盘转动的角速度ω0为多少时，细线上开始出现张力？ （2）欲使A、B 与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大 角速度为多大？（g m s =102 /）图2.02 （1）当圆盘转动的角速度ω0为多少时，细线上开始出现张力？ （2）欲使A、B 与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？（g m s =102 /） 解析：（1）ω较小时，A、B 均由静摩擦力充当向心力，ω增大，F m r =ω2可知，它们受到的静摩擦力也增大，而r r 12>，所以A 受到的静摩擦力先达到最大值。ω再增大，AB 间绳子开始受到拉力。 由F m r fm =1022ω，得：ω011111 055===F m r m g m r rad s fm ./（2）ω达到ω0后，ω再增加，B 增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同来提供，A 增大的向心力靠增加拉力来提供，由于A 增大的向心力超过B 增加的向心力，ω再增加，B 所受摩擦力逐渐减小，直到为零，如ω再增加，B 所受的摩擦力就反向，直到达最大静摩擦力。如ω再增加，就不能维持匀速圆周运动了，A、B 就在圆盘上滑动起来。设此时角速度为ω1，绳中张力为F T ，对A、B 受力分析： 对A 有F F m r fm T 1112 1 +=ω对B 有F F m r T fm -=22122 ω
高中数学用匀速圆周运动来讲解三角函数的图像和性质
以匀速圆周运动来讲解三角函数的图像和性质对于三角函数y=Asin（ωx+φ)的周期，频率，初相，它是由函数y=sinx经过怎样的变换来得到，有些同学掌握的不是很好，他们主要是觉得比较抽象，虽然对于对变换法则进行了记忆，但由于理解并不透彻，因而在具体应用时，仍然常常出错。为了让初次接触这些函数的同学能更好的理解，掌握这些函数的性质和它们之间的关系，我在此尝试用质点做圆周运动的模型来讲解三角函数y=Asin（ωx+φ)的图像和性质以及它是由y=sinx经过怎样的变换得到的。 在正式讲述之前，我们先来思考一个问题：有一个单位圆，以其圆心为坐标原点建立直角坐标系，有一质点，以单位圆与横轴的交点为起点，以角速度1rad/单位时间在单位圆上按逆时针方向做周而复始的匀速圆周运动，求任一时刻质点对横轴的位移（以x轴上方为正）是多少？并作出其图像。 对上面的问题，当我们学过单位圆和三角函数之后，我们就知道，所求的这一位移正是质点所到达位置的正弦线，如下图中的PM
因此，所求问题的解正是正弦函数y=sinx，其图像也就是三角函数y=sinx 的图像，在此模型下，函数y=sinx图像也就是质点做此圆周运动的位移---时间图像，如下图 从上面问题的叙述来看，质点的圆周运动明显是一种周期运动，那么其运动的周期是多少呢？我们知道，一个整圆的圆周角是2π，质点以1rad/单位时间的角速度在圆上做圆周运动，那么它走完一周所需要的时间就是整圆的圆周角除以质点运动的角速度，也就是2π/1=2
π，这就是它的周期。如果质点在此单位圆上运动的角速度变成了ω，那么其运动的周期就是2π/ω，这时，相应的函数也就变成了y=sin ωx。在上面两图中，两纵轴的意义相同，其上的纵坐标都是表示位置，但两图的横坐标却有了不同的含义，上面质点在单位圆上的运行图中，横坐标仍然是表示位置的，但下面函数图象上的横坐标就不再表示位置了，而是表示时间，整个函数图象表示的是在质点运行时间内的任一时刻质点对横轴的位移，因此，后面在此模型下讨论函数y=Asin（ωx+φ)的图象和性质时，其图象横轴都是时间轴，其轴上坐标都表示了某一时刻。在正弦函数y=sinx中的x实际上是1和x的乘积，它表示了质点以1rad/单位时间的角速度运动了x时间后所产生的角位移，把这些区别记清楚。 在上面，我们讨论到当质点做匀速圆周运动的角速度ω不为单位速度时，其周期是2π/ω，而在三角函数的书本上，我们知道，函数y=Asin（ωx+φ)的周期为2π除以频率，从这里我们可以知道，我们平时在书本上所看到的三角函数的频率正是这一模型中质点运行的角速度。下面我们从角速度的方面出发来理解频率ω为什么能决定周期。我们再来看上面质点做匀速圆周运动的模型，在这一模型中能影响质点运行周期的因素有哪些呢？从学过的关于匀速圆周运动的知识中我们知道，做匀速圆周运动的物体其运行周期取决于运行一个周期所经历的角位移的大小和运行角速度的大小。在这一模型中，无论运行的圆的半径是多少，只要是一个整圆，其圆周角就是2π，为一定值，因此，其运行的周期就只决定于质点做圆周运动的角速度ω，
课时分层作业50 匀速圆周运动的数学模型 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
课时分层作业(五十) 函数y ＝A sin(x ＋φ) (建议用时：60分钟) [合格基础练] 一、选择题 1．下列表示函数y ＝sin ? ????2x －π3在区间???? ??－π2，π上的简图正确的是( ) A [当x ＝π时，y ＝sin ? ???? －π3＝－32排除B 、D. 当x ＝π 6 时y ＝sin 0＝0，排除C ，故选A.] 2．把函数y ＝sin ? ? ???2x －π4的图象向左平移π8个单位长度，所得到的图象对应的 函数是( ) A ．奇函数 B.偶函数 C ．既是奇函数也是偶函数 D.非奇非偶函数 A [y ＝sin ? ????2x －π4＝sin ?????? 2? ????x －π8，向左平移π8个单位长度后为y ＝ sin ???? ?? 2? ????x －π8＋π8＝sin 2x ，为奇函数．] 3．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x ＝π 3对称；(3)在???? ?? －π6，π3上单调递增”的一个函数是( )
A ．y ＝sin ? ???? x 2＋π6 B ．y ＝cos ? ? ???2x ＋π3 C ．y ＝sin ? ?? ??2x －π6 D ．y ＝cos ? ?? ??2x －π6 C [由(1)知T ＝π＝2πω，ω＝2，排除A.由(2)(3)知x ＝π 3时，f (x )取最大值，验证知只有C 符合要求．] 4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图象如图所示，若A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2，则( ) A ． B ＝4 B ．φ＝π 6 C ．ω＝1 D ．A ＝4 B [由函数图象可知f (x )min ＝0，f (x )max ＝4. 所以A ＝4－02＝2，B ＝4＋0 2＝2. 由周期T ＝2πω＝4? ???? 5π12－π6知ω＝2. 由f ? ????π6＝4得2sin ? ???? 2×π6＋φ＋2＝4， sin ? ?? ?? π3＋φ＝1，又|φ|＜π2，故φ＝π6.] 5．已知函数f (x )＝cos ? ? ???ωx －π6(ω＞0)的相邻两个零点的距离为π2，要得到y ＝f (x )的图象，只需把y ＝cos ωx 的图象( ) A ．向右平移π 12个单位 B ．向左平移π 12个单位 C ．向右平移π 6个单位 D ．向左平移π 6个单位 A [由已知得2πω＝2×π 2，故ω＝2. y ＝cos 2x 向右平移π12个单位可得y ＝cos 2? ????x －π12＝cos ? ? ? ??2x －π6的图象．]
高中物理 圆周运动中的“双星模型”
圆周运动中的“双星模型” 宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的某一固定点O做同周期的匀速圆周运动。如图6所示，这种结构叫做双星．双星问题具有以下两个特点： ⑴由于双星和该固定点O 总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。 ⑵由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等， 由可得，可得，，即固定点O离质量大的星较近。 列式时须注意：万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，按题意应该是L，而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r1、r2，千万不可混淆。 【例1】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图1所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。 如图1 （1）可见星A所受暗星B的引力F A可等效为位于O点处质量为m’的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m’（用m1、m2表示）； （2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式； （3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m s的2倍，它将有可能成为黑洞。若可见星A的速率v＝2．7×105m/s，运行周期T＝4．7π×104s，质量m1＝6m s，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？（G＝6．67×10－11N·m2/kg2，m s＝2．0×1030kg）
圆周运动的三种模型
圆周运动的三种模型 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
圆周运动的三种模型 一、圆锥摆模型： 如图所示：摆球的质量为m，摆线长度为L ，摆动后摆球做圆周运动，摆线 与竖直方向成θ角，对小球受力分析， 正交分法解得：竖直方向：水平方向：F X=最终得 F合 =。用力的合成法得F合=。半径r=，圆周运动F向= =， 由F合=F向可得V=，ω= 圆锥摆是物理学中一个基本模型，许多现象都含有这个模型。分析方法同样适用自行车，摩托车，火车转弯，飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。 1、小球在半径为R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度V ，周期T 的关系。（小球的半径远小于 R） 2、如图所示，用一根长为l＝1m的细线，一端系一质量为m＝1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T。求（取g＝10m/s2，结果 可用根式表示）： （1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大 （2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω＇为多大 二．轻绳模型 （一）轻绳模型的特点： 1. 轻绳的质量和重力不计； 2. 只能产生和承受沿绳方向的拉力； （二）轻绳模型在圆周运动中的应用
小球在绳的拉力作用下在竖直平面内做圆周运动的临界问题： 1. 临界条件：小球通过最高点，绳子对小球刚好没有力的作用，由重力提供向心力： = ，v 临界 = 2. 小球能通过最高点的条件：v v 临界（此时，绳子对球产生 力） 3. 不能通过最高点的条件：v v 临界（实际上小球还没有到最高点时，就脱离了轨道） 练习： 质量为m 的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v ，当小球以2v 的速度经过最高点时，对轨道的压力是（ ） A. 0 B. mgC .3mgD 5mg 三．轻杆模型： (一)轻杆模型的特点： 1.轻杆的质量和重力不计； 2.能产生和承受各方向的拉力和压力 (二)轻杆模型在圆周运动中的应用 轻杆的一端连着一个小球在竖直平面内做圆周运动，小球通过最高点时，轻杆对小球产生弹力的情况： 1. 小球能通过最高点的最小速度v= ，此时轻杆对小球的作用力N= （ N 为 力） 2. 当 =R v m 2临界 （轻杆对小球的作用力N= 0 ），gR v 临界 3当 （即0
最全的圆周运动模型
圆周运动模型 一、匀速圆周运动模型 1．随盘匀速转动模型 1．如图，小物体m 与圆盘保持相对静止，随盘一起做匀速圆周运动，则物体的受力情况是： A ．受重力、支持力、静摩擦力和向心力的作用 B ．摩擦力的方向始终指向圆心O C ．重力和支持力是一对平衡力 D ．摩擦力是使物体做匀速圆周运动的向心力 2． 如图所示，质量为m 的小物体系在轻绳的一端，轻绳的另一端固定在转轴上。轻绳长度为L 。现在使物体在光滑水平支持面上与圆盘相对静止地以角速度 做匀速圆周运动，求： （1）物体运动一周所用的时间T ； （2）绳子对物体的拉力。 3、如图所示，MN 为水平放置的光滑圆盘，半径为，其中心O 处有一个小孔，穿过小孔的细绳两端各系一小球A 和B ，A 、B 两球的质量相等。圆盘上的小球A 作匀速圆周运动。问 （1）当A 球的轨道半径为时，它的角速度是多大才能维持B 球静止 （2）若将前一问求得的角速度减半，怎样做才能使A 作圆周运动时B 球仍能保持静止 4、如图4所示，a 、b 、c 三物体放在旋转水平圆台上,它们与圆台间的动摩擦因数均相同，已知a 的质量为2m ，b 和c 的质量均为m ，a 、b 离轴距离为R ，c 离轴距离为2R 。当圆台转动时,三物均没有打滑，则：（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）（ ） A.这时c 的向心加速度最大 B ．这时b 物体受的摩擦力最小 C.若逐步增大圆台转速，c 比b 先滑动 D ．若逐步增大圆台转速，b 比a 先滑动 5、如右图所示，某游乐场有一水上转台，可在水平面内匀速转动，沿半径方向面对面手拉手坐着甲、乙两个小孩，假设两小孩的质量相等，他们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两小孩刚好还未发生滑动时，某一时刻两小孩突然松手，则两小孩的运动情况是( ) A ．两小孩均沿切线方向滑出后落入水中 B ．两小孩均沿半径方向滑出后落入水中 O ω ω m
匀速圆周运动专题整理完整版本
常见的圆周运动模型 物体做匀速圆周运动时，向心力才是物体受到的合外力.物体做非匀速圆周运动时，向心力是合外力沿半径方向的分力(或所有外力沿半径方向的分力的矢量和).具体运动类型如下。 一、匀速圆周运动模型及处理方法 1．随盘匀速转动模型（无相对滑动，二者有共同的角速度） 例4． 如图所示，质量为m 的小物体系在轻绳的一端，轻绳的另一端固定在转轴上。轻绳长度为L 。现在使物体在光滑水平支持面上与圆盘相对静止地以角速度ω（1）物体运动一周所用的时间T ； （2）绳子对物体的拉力。 2。火车转弯模型（或汽车拐弯外侧高于内侧时） 汽车做匀速圆周运动，向心力由重力与斜面对汽车的支持力的合 力提供，且向心力的方向水平，向心力大小F 向＝mg tan θ，根据牛顿第二 定律：F 向＝m v 2 R ， tan θ＝h d ， 例.在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看作是做半径为R 的圆周运动．设内外路面高度差为h ，路基的水平宽度为d ，路面的宽度为L .已知重力加速度为g .要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于( ) A. gRh L B. gRh d C. gRL h D. gRd h B 对． 3。圆锥摆模型 小球在水平面内是匀速圆周运动，重力和拉力合力提供向心力θtan mg 例6.如图所示，用细绳系着一个小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，不计空气阻力，关于小球受力有以下说法，正确的是（ ） A.只受重力 B.只受拉力 C.受重力.拉力和向心力 D.受重力和拉力 4.双星模型 练习．如图所示，长为L 的细绳一端固定，另一端系一质量为m 的小球。给小球一个合适O ω θ
匀速圆周运动模型整合
传动系统 1、如图所示的皮带传动装置中，右边两轮粘 在一起且同轴，A、B、C三点均是各轮边缘 上的一点，半径RA =RC =2RB，皮带不打滑， 则：线速度vA: vB:vC = __________；向心加速度aA : aB : aC = __________ 飞檐走壁 3、如图所示，一光滑的圆锥内壁上，一个小球在 水平面内做匀速圆周运动，如果要让小球的运动 轨迹离锥顶远些，则下列各物理量中，不会引起 变化的是 A．小球运动的线速度B．小球运动的角速度 C．小球的向心加速度D．小球运动的周期 4、如图所示，竖直固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内 壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水 平面做匀速圆周运动，以下说法正确的是： A．V A>VB B．ωA>ωB C．aA>aB D．压力NA>NB 圆锥摆 5、如图所示的圆锥摆中，摆球在水平面上作匀速圆周运动，关于摆球的受力情况，下列说法中正确的是（） A．摆球受重力、拉力和向心力的作用； B．摆球受拉力和向心力的作用； C．摆球受拉力和重力的作用； D．摆球受重力和向心力的作用。 6、在圆锥摆中，已知绳子长度为L ，绳子转动过程中与竖直方向的夹角为θ，试求小球做圆周运动的周期。 汽车过桥 7、如图所示，当汽车通过拱桥顶点的速度为10m/s 时，车对桥顶的压力为车重的3/4，如果要使汽车在粗 糙的桥面行驶至桥顶时，不受摩擦力作用，则汽车通 过桥顶时的速度应为多大 8、质量为m的物体,沿半径为R的圆形轨道滑下,如图 所示,当物体通过最低点B时速度为V0,已知物体和轨道间的动摩擦因数μ,则物体滑过B点时受到的摩擦力大小为多少. 转盘 9、如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ，A的质量是2m，B和C的质量均为m，A、B离轴为R，C离轴为2R。当圆台旋转时，则（） A．若A、B、C均未滑动，则C的向心加速度最大
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型(原卷版)
形如y=Asin(?ω+x )函数模型的建立： 模型准备(匀速圆周运动)——模型假设(三角函数模型)——模型建立(H=rsin(?ω+t )+h). 一、选择题 1.把函数y=sinx 的图象向左平移3 π 个单位长度后所得图象的解析式为( ) A. y=sinx - 3 π B. y=sin x+ 3 π C.y=sin (x - 3 π) D. y=sin (x+ 3 π) 2.已知a 是实数，则函数()ax a x f sin 1+=的部分图象不可能是( ) 3.为了得到函数y=4sin( 21x -6π),x∈R 的图象,只需将函数y=4sin(x -6 π ),x∈R 的图象上的所有点( ) A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的2 1 倍,纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的 2 1 倍,横坐标不变 4.已知函数f(x)=Acos(?ω+x )(A>0,2 ,0π ?ω< >)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为( ) 5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 知识讲解 同步练习
A. f(x)=2cos ?? ? ??-42πx B.f(x)=2sin ??? ? ? +62πx C.f(x)=2cos ??? ?? +62πx D.f(x)=2sin ? ?? ??-42πx 5.将函数y=sinx 的图象向右平移 6π个单位长度,再将横坐标缩短为原来的()01 >ωω 得到函数y=f(x)的图象,若y=f(x)在??? ???60π，上的最大值为5ω,则ω的取值个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知函数f(x)=sin ()03>??? ?? +ωπωx ,若 ??? ??=?? ? ??36ππf f .且f(x)在区间?? ? ??36ππ，上有最小值,无最大值,则ω=( ) A. 3 2 B. 3 14 C. 3 26 D. 3 28 7.下列函数中，图象的一部分如图所示的是( ) A. f(x)=3sin ??? ? ? +3πx B.f(x)=3sin ?? ? ??3-πx C.f(x)=3sin ??? ??+62 1 πx D.f(x)=3sin ??? ??6-2 1πx 8.已知函数f(x)=sin ()04>??? ? ? +ωπωx 的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A.关于直线x= 8 π 对称 B.关于点?? ? ??04，π对称
匀速圆周运动模型整合
匀速圆周运动模型整 合 Revised on November 25, 2020
传动系统 1、如图所示的皮带传动装置中，右边 两轮粘在一起且同轴，A、B、C三点均是各轮边缘上的一点，半径RA =RC =2RB，皮带不打滑，则：线速度vA: vB:vC = __________；向心加速度aA : aB : aC = __________ 飞檐走壁 3、如图所示，一光滑的圆锥内壁上，一个 小球在水平面内做匀速圆周运动，如果要 让小球的运动轨迹离锥顶远些，则下列各物理量中，不会引起变化的是 A．小球运动的线速度 B．小球运动的角速度 C．小球的向心加速度 D．小球运动的周期 4、如图所示，竖直固定的锥形漏斗内壁是光 滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B， 在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下说法正确的是：A． VA>VB B．ωA>ωB C．aA>aB D．压力NA>NB 圆锥摆 5、如图所示的圆锥摆中，摆球在水平面上 作匀速圆周运动，关于摆球的受力情况，
下列说法中正确的是（） A．摆球受重力、拉力和向心力的作用； B．摆球受拉力和向心力的作用； C．摆球受拉力和重力的作用； D．摆球受重力和向心力的作用。 6、在圆锥摆中，已知绳子长度为L ，绳子转动过程中与竖直方向的夹角为θ，试求小球做圆周运动的周期。 汽车过桥 7、如图所示，当汽车通过拱桥顶点的速度为 10m/s时，车对桥顶的压力为车重的3/4，如果 要使汽车在粗糙的桥面行驶至桥顶时，不受摩擦力作用，则汽车通过桥顶时的速度应为多大 8、质量为m的物体,沿半径为R的圆形轨道滑下,如图所示,当物体通过最低点B时速度为V0,已知物体和轨道间的动摩擦因数μ,则物体滑过B点时受到的摩擦力大小为多少 . 转盘 9、如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ，A的质量是2m，B和C的质量均为 m，A、B离轴为R，C离轴为2R。当圆台旋
(完整版)匀速圆周运动专题
匀速圆周运动专题 从现行高中知识体系来看，匀速圆周运动上承牛顿运动定律，下接万有引力，因此在高一物理中占据极其重要的地位，同时学好这一章还将为高二的带电粒子在磁场中的运动及高三复习中解决圆周运动的综合问题打下良好的基础。 （一）基础知识 1. 匀速圆周运动的基本概念和公式 （1）线速度大小 ，方向沿圆周的切线方向，时刻变化； （2）角速度 ，恒定不变量； （3）周期与频率 ； （4）向心力 ，总指向圆心，时刻变化，向心加速度 ，方向与向心力相同； （5）线速度与角速度的关系为 ， 、 、 、 的关系为 。所以在 、 、 中若一个量确定，其余两个量也就确定了，而 还和 有关。 2. 质点做匀速圆周运动的条件 （1）具有一定的速度； （2）受到的合力（向心力）大小不变且方向始终与速度方向垂直。合力（向心力）与速度始终在一个确定不变的平面内且一定指向圆心。 3.匀速圆周运动的动力学特征 (1)始终受合外力作用，且合外力提供向心力，其大小不变，始终指向圆心，因合力始终与速度垂直，所以合力不做功． (2)匀速圆周运动的动力学方程 根据题意，可以选择相关的运动学量如v ，ω，T ，f 列出动力学方程；2 ωmr F =，r v m F 2 =， 2 24T mr F π=， 2 24f mr F π=. 熟练掌握这些方程，会给解题带来方便． 4．变速圆周运动的动力学特征 (1)受合外力作用，但合力并不总是指向圆心，且合力的大小也是可以变化的，故合力可对物体做功，物体的速率也在变化． (2)合外力的分力(在某些位置上也可以是合外力)提供向心力． 例题1．在图1中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r 。b 点在小轮上，到小轮中心的距离为r 。c 点和d 点分别于小轮和大轮的边缘上。若在传动过程中，皮带不打滑。则（ ） A ．a 点与b 点的线速度大小相等 B ．a 点与b 点的角速度大小相等 C ．a 点与c 点的线速度大小相等 D ．a 点与d 点的向心加速度大小相等 4r 2r r r a b c d
高一物理必修2圆周运动模型
高一物理必修2圆周 运动模型 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
圆周运动的规律及应用（非常重要） 一、圆锥摆模型 1、长为L=2m的细绳下端拴一个质量m=1kg的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动， 已知细绳与竖直方向的夹角θ=370，求 (1)小球做匀速圆周运动的线速度的大小； (2)小球做匀速圆周运动的角速度； (3)小球做匀速圆周运动的周期T； 2．用一根细绳，一端系住一个质量为m的小球，另一端悬在光滑水平桌面上方h处，绳长l大于h，使小球在桌面上做如图所示的匀速圆周运动．若使小球不离开桌面，其转轴的转速最大值是 () A.1 2πg h B．π gh C.1 2πg l D．2π l g 3、如图所示，质量m＝1 kg的小球用细线拴住，线长l＝0.5 m，细线所受拉力达到F＝18 N时就会被拉断。当小球从图示位置释放后摆到悬点的正下方时，细线恰好被拉断。若此时小球距水平地面的高度h＝5 m，重力加速度g＝10 m/s2，求小球落地处到地面上Ｐ点的距离 4、径R=0.2m的光滑1/4圆形轨道，BC段为高为h=5m的竖直轨道，CD段为水平轨道。一质量为0.1kg的小球由A点从静止开始下滑到B点时度的大小 2m/s，离开B点做平抛运动（g取10m/s2），求：
①小球离开B点后，在CD轨道上的落地点到C的水平距离； ②小球到达B点时对圆形轨道的压力大小？ 5、如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做 匀速圆周运动，则（） A．球A的线速度必定大于球B的线速度 B．球A的角速度必定小于球B的角速度 C．球A的运动周期必定小于球B的运动周期 D．球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力 二、汽车过桥模型 1、如图所示，质量m=2×104kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为20m，则当汽车以10m/s的速度通过凹形桥的最低点和凸形桥的最高点时，对两桥面的压力分别是多少？
(完整word版)圆周运动绳杆模型
圆周运动中的临界问题 一.两种模型: (1)轻绳模型：一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动.小球能到达最高点(刚好做圆周运 动)的条件是小球的重力恰好提供向心力，即mg ＝m r v 2 ，这时的速度是做圆周运动的最小速 度v min ＝ . （绳只能提供拉力不能提供支持力）. 类此模型：竖直平面内的内轨道 (2)轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是在最高点的速度 . （杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力.） ①当v ＝0 时，杆对小球的支持力 小球的重力； ②当0