平衡基本原理

软件基本原理

一、基本理论与方法

发动机曲柄连杆组为一曲柄滑块机构，如图1所示

1. 基本参数说明

图1中

曲柄转角φ，角速度ω。

曲柄长R=L AB，质心位于D点，质量为m r，向径为R r ，方向角θr。

连杆长L=L BC，质心位于S点，距B点距离为Ls（Ls=L BS），质量为m s，饶质心S的转动惯量为Js。

曲柄销及曲柄销轴承质量为m xz，m xz= m x+ m z，质心位于B点

其中：曲柄销质量m x，曲柄销轴承质量m z

活塞（滑块）质量m'c。

2. 质量代换原理与方法

取连杆上Ｂ、C为代换点，进行质量代换后如图2所示。

１．连杆对代换点Ｂ、C的质量代换

代换条件：

代换前、后质量不变m bd+m cd=m s (1)

代换前、后质心位置不变m bd Ls=m cd（L－Ls）(2)

代换前、后转动惯量不变m bd Ls2+ m cd（L－Ls）2 =Js (3)

满足式(1)、(2)，为静代换条件。同时满足式(1)、(2)及(3)，为动代换条件。

联立求解式(1)、(2)，连杆质量m s代换至B、C两点，对静代换，有：

m bd=m s（L－Ls）/L (4)

m cd=m sLs/L (5)

若要满足动代换条件，需同时满足式(3)，由于连杆长L为设计参数，能作调整的只能是质量m s、饶质心S的转动惯量为Js 及质心位置Ls，联立求解式(1)、(2)及(3)，并以Ls'替代Ls，求得各参数应满足下式：

Ls'2－Ls'Ｌ＋Js／m s=０(6)

ms Js L L Ls --=42'2 (7)

连杆的设计若能使： Ls ＝Ls' (8)

则动力学代换条件满足。

式中：Ls-实际质心距 Ls'-质心距期望值

连杆三维造型完成后，Js 、m s 及Ls 自然确定，但可能存在Ls ≠Ls'。此时，应对连杆质量的分布进行调整，使满足（8）式。

当LsLs'，可加大连杆的大头部分的尺寸，使质心左移。

２． 代换点Ｂ、Ｃ的计算质量

代换点Ｂ： m B ＝m bd ＋m xz (9)

代换点Ｃ： m C ＝m 'c ＋m cd (10)

3．惯性力计算

Ｂ、Ｃ及Ｄ点质量产生的惯性力Ｆb 、Ｆc 及Ｆd 如图３所示。

图中 B 点加速度（Ｂ指向Ａ） a b ＝Ｒω２ (11)

B 点惯性力（如图３示） Ｆb ＝m B a b (12)

D 点加速度（Ｄ指向Ａ） a d ＝Ｒr ω２ (13)

D 点惯性力（如图３示） Ｆd ＝m r a d (14)

C 点加速度

由图3知： φλφφφ

22222s i n 1c o s s i n c o s -+=-+=L R R L R X c 式中： λ＝Ｒ／Ｌ

由牛顿二项式定理展开

......sin 16

1sin 81sin 211sin 166442222----=-φλφλφλφλ 该级数收敛很快，当3

1≤λ，取前两项可精确到小数点后三位数。 故 )]2

2cos 1(21[cos )sin 211(cos 222φλφφλφ--+=-+≈L R L R X c 整理： )2c o s 4

41(c o s φλλλφ+-+≈R X c

对时间求一次导数 )2s i n 2

(s i n φλ

φω+-=R V c 考虑一、二阶，有加速度 a c ＝－Ｒω２［cos φ＋λcos (2φ)］ (15) C 点惯性力 Ｆc ＝－m c a c (16)

各惯性力分别在Ｘ、Ｙ方向投影为：

Ｆbx ＝Ｆb cos φ， Ｆby ＝Ｆb sin φ (17)

Ｆcx ＝Ｆc Ｆcy ＝０ (18)

Ｆdx ＝Ｆd cos (φ+θr ) ， Ｆdy ＝Ｆd sin (φ+θr ) (19) Ｘ、Ｙ方向合惯性力为：

Ｆx ＝Ｆbx ＋Ｆcx ＋Ｆdx ， Ｆy ＝Ｆby ＋Ｆdy (20)

曲柄连杆组作用在机架上的合惯性力为：

Ｆ＝22Fy Fx + (21)

方向角为： β＝arctg (Ｆy/Ｆx) (22)

以曲柄转角φ为自变量，可作出如下两类Ｆ＝f (φ) 曲线。

１）直角坐标曲线：φ为横坐标，Ｆ为纵坐标。

２）极坐标曲线： φ为极角，Ｆ为极径。

对２) 曲线，只取一阶惯性力时，即为曲柄连杆组动平衡实验曲线（如嘉陵机器厂动平衡机实验曲线）。

以合惯性力Ｆ的方向β为自变量，可作出Ｆ＝f (β) 极坐标曲线

本极坐标曲线反映了发动机曲柄滑块机构合惯性力对机架的动态作用过程，其表现形式为合惯性力Ｆ的大小方向变化。当取一阶惯性力时，即为曲柄连杆组动平衡实验曲线，其表现形式为一隋园（如上海定购的动平衡机实验曲线）。

4．机构惯性力和惯性力矩的平衡

机构惯性力及惯性力矩平衡的目的在于减小或消除机构合惯性力和惯性力矩对机架的影响。

1）机构惯性力矩的平衡

1）发动机机构为曲柄滑块机构，仅从曲柄滑块机构本身，过渡过程中曲柄作角加速运动时由该回转件所产生的惯性力矩 Ｍ＝－Ｊε，（Ｊ＝ＪＡ＋m B Ｒ２

，ＪＡ 为曲柄

自身对回转中心Ａ的转动惯量，ε为曲柄角加速度，），只有增设平衡机构，才能进行

平衡，如图4所示。其条件为Ｍe ＝－Ｊe εe ，Ｍe ＋Ｍ＝０。

平衡问题的探讨，应考虑机器的稳定运转阶段，而在稳定运转阶段，曲柄角速度波动较小，故视ω为常数，ε=0，不考虑曲柄惯性力矩的平衡。

2）连杆设计满足式(8)，连杆作角加速运动产生的惯性力矩得以平衡。

3）活塞作往复直线运动，跟据发动机结构，其导路中心线通过曲柄回转中心A点，对机架A点不产生惯性力矩。

2）机构惯性力的平衡

以下分别对单缸无平衡轴发动机和单缸单轴平衡发动机的惯性力平衡方法进行讨论。

２．１单缸无平衡轴发动机

由惯性力各式知，当活塞、连杆结构设计确定后，可获得m B、m C、Ｌ及Ls。该发动机不带平衡机构，只能实现合惯性力的部分平衡，通过调整曲柄质径积m rＲr 及方向角θr，可获得不同状态的合惯性力变化曲线，在θr=180°且满足式(23)［“机械动力学”谭锡宽编］的条件下，可使最大惯性力最小。

Ｋe＝0.5＋0.41λ－0.17λ２(23)

且Ｋe＝（m rＲr－m BＲ）／m CＲ(24)

可求得质径积：m rＲr＝Ｋe m CＲ＋m BＲ(25)

值得提出的是，式(25)求得的质径积m rＲr尽管可使最大惯性力最小，但由于发动机的安装角不同，车架结构的动态特性不同，由此得到的平衡方案不一定是最好，因此，在此基础上，应进一步调整曲柄质径积m rＲr及方向角θr，可改变合惯性力Ｆ＝f (β)曲线的主倾角，以适用不同发动机的安装角和车架结构的动态特性（对车架结构动态特性的分析不包含在本项目，本软件系统的主要目的在于快速获得发动机不同的平衡方案，并及时展现合惯性力的动态特性。为和车架结构的动力学设计及发动机的最优平衡和整车最优综合提供了快速设计工具。）。

２．１单缸单轴平衡发动机

该发动机采用一对齿轮传动，主动齿轮与曲柄固联，从齿轮与平衡轴固定，其传动比i＝ω/ωp＝－1，如图５所示。

θr=180°条件下，采用平衡轴可对活塞一阶惯性力Fc１完全平衡

一阶惯性力Fc

＝m CＲω２cosφ(26)

１

设已对质径积m BＲ进行平衡，曲柄上剩余质径积为m eＲe，其产生的惯性力为

Fe＝m eＲeω２(27)

平衡轴质径积m pＲp，其惯性力为

F p＝m pＲpω２(28)

∑X ＝０ （Fe ＋F p ）cos φ＝Fc (29)

∑Y ＝０ Fe ＝F p (30)

由式(26)、 (27)、 (28)、 (29)及 (30) ，有

m p Ｒp ＝m e Ｒe ＝m C Ｒ／2 (31)

而曲柄质径积为： m r Ｒr ＝m e Ｒe ＋m B Ｒ (32)

在此条件下，一阶惯性力完全平衡，m C 的二阶惯性力Fc 2（剩余惯性力）为

Fc 2＝λm C Ｒω２cos (2φ) (33)

二、平衡方案快速模拟原理

本原理与方法应用于下述设计实践

设已有某单缸无平衡轴或单缸单轴平衡发动机（称原型机），其平衡性能较优，并有平衡设计的输入参数（称原型设计参数），由软件的前述功能，可立即获得其合惯性力大小方向变化的曲线。现需开发该类产品中新型号的发动机（模拟机），其活塞质量、连杆长度、质量、质心位置、曲柄等参数均完全不同，在满足λ＝Ｒ／Ｌ相等的条件下，希望所设计的新产品其合惯性力的变化曲线图型与原型机完全相似，只需点取软件的［模拟设计］按钮，可立即获得所需曲柄质径积、方向角设计参数。对单缸单轴平衡发动机，还可获得平衡轴设计参数。

设原型机参数如图1所示，作代换后如图2所示。利用式（11）—式（19）代入式（20）整理后，有：

Ｆx ＝m B Ｒω２cos φ＋m c Ｒω２（cos φ＋λcos 2φ）＋m r Ｒr ω２cos （φ+θr ）

＝m c Ｒω２[C B m m cos φ＋1·（cos φ＋λcos 2φ）＋R

m R m C r r cos （φ+θr ）] （35） Ｆy ＝m B Ｒω２sin φ＋m r Ｒr ω２sin （φ+θr ）

＝m c Ｒω２[C B m m sin φ+R

m R m C r r sin （φ+θr ）] （36） 令质径积系数 K b ＝C B m m ， K d ＝R

m R m C r r (37) 再令 ξx ＝（K b +1）cos φ+λcos 2φ＋K d cos （φ+θr ） (38)

ξy ＝ K b sin φ+K d sin （φ+θr ） (39)

ξ＝22Y X

ξξ+ (40) 则 Ｆx ＝m c Ｒω２ξx ， Ｆy ＝m c Ｒω２ξy

F ＝22Fy Fx +＝m c Ｒω２ξ (41)

由此知合惯性力矢端轨迹曲线形状只与ξ有关，m c Ｒω２可视为放大倍数。为研究F 曲线形状，只需研究无量纲曲线ξ即可。为此，在曲柄上建立动坐标X’AY’如图6所示。

曲柄上剩余质径积系数在X’及Y’方向分量

Kx’ ＝K b + K d cos θr

Ky’ ＝Kd sin θr (42)

曲柄上剩余质径积系数

K ＝2'2'y x K K + （43）

曲柄上剩余质径积系数方向角

γ＝acrtg (K y’/ K x’) (44)

K 、γ为原发动机平衡特性，以该特性为设计目标，可使具有不同参数的模拟机获得相同特性的惯性力曲线。 图7表示了K 、K b 及K d 的关系，即 d b K K K +=。由该式知，系数K d 具有的惯性力在X ’方向投影的一部分将完全平衡K b 具有的惯性力，而其剩余部分，即由K 确定的质径积K m C Ｒ及所在方向所产生的惯性力，用来部分平衡活塞的往复惯性力。 设以知模拟机各参数如下：

曲柄长R m ，连杆长 L m ，质心位于S m 点，距B 点距离为L sm ，质量为m sm ，饶质心S 的转动惯量为J sm 。

曲柄销及曲柄销轴承质量为m xzm ，m xzm = m xm + m zm ，质心位于B 点

其中：曲柄销质量m xm ，曲柄销轴承质量m zm

活塞（滑块）质量m 'cm 。

由式(4)、(5)有

m bdm =m sm （L m －L sm ）/L m (45)

m cdm =m sm L sm /L m (46)

由式(9)、(10)有

m Bm ＝m bdm ＋m xzm (47)

m Cm ＝m ' cm ＋m cdm (48)

为使配重后的合惯性力比值曲线ξ相同，利用前述求出的特性参数K 及γ，于是有：

K dmx’ ＝K cos γ－K bm ， K dmy’ ＝K sin γ (50)

由此求得曲柄上系数

K dm ＝2'2'dmy dmx K K + （51）

方向角 θrm ＝acrtg (K dmy’/ K dmx’) (52) 同理，由式（37），曲柄上总质径积系数还可表为：

K dm ＝m rm R rm / m Cm R m (53)

故由式（51）及式（53），有

m rm R rm / m Cm R m ＝

2'2'dmy dmx K K + (54)

求得曲柄应有质径积为： m rm R rm ＝ m Cm R m 2'2'dmy dmx K K + (55)

其方向角θrm 由式（52）确定。

新设计的发动机（模拟机）惯性力由下式计算：

Ｆx ＝m Bm Ｒm ω２cos φ＋m cm Ｒm ω２（cos φ＋λcos 2φ）

＋m rm R rm ω２cos （φ+θr ） （56） Ｆy ＝m Bm Ｒm ω２sin φ＋m rm R rm ω２sin （φ+θr ） （57） 注意：两发动机惯性力曲线形状完全相似，需满足条件

λ＝Ｒ／Ｌ＝Ｒm ／Ｌm

（58） 否则，由活塞产生的二阶惯性力将使曲线不能完全相似。