浅谈2013全国各省高考数学用特值法在选择题中的应用(杨清水)

浅谈2013全国各省高考数学用特值法在选择题中的应用

金太阳教育数字教育数学研究员：杨清水

2013高考结束了，盘点13年全国各地的高考数学试题的选择题，发现不少省份的选择题甚至是压轴题可采用特值法求解，比正面求解快捷简便的多，所谓特值法就是指从题干和选项出发,通过取特殊值代替题干的一般条件或构造满足题干条件的特殊函数或特殊图形等,利用问题在某一特殊情况不真,则它在一般情况也不真这一原理,逐个排除干扰选项,最终达到肯定一个选项或否定三个选项的目的,从而得出正确答案.运用特殊值排除法解数学选择题有两方面的好处:一方面是节省时间,提高解题的速度和效率,增强学生的解题信心和勇气;另一方面是能够在缩短时间的同时增强解题的准确度,下面我们就来盘点一下全国各地的高考数学选择题能用特制法求解得试题及其分析

一、各省市选择压轴题

（13新课标全国卷一理科12题）设n n n A B C 的三边长分别为n a ，n b ，n c ，

n n n A B C 的面积为n S ，n=1,2,3……，若11b c >，1112b c a +=，1n n a a +=，12

n n n c a b ++=，12

n

n n b a c ++=，则（） A.{}n S 为递减数列 B.{}n S 为递增数列

C.{}21n S -为递增数列，{}2n S 为递减数列

D.{}21n S -为递减数列，{}2n S 为递增数列

剖析：这道题是新课标全国卷一理科数学选择题的压轴题，常规解法繁杂，计算

量很大，用特值法做比较简便，设1114,5,3a b c ===，则222794,,22

a b c ===；33317154,,44

a b c ===，可以发现随着n 的增大，三角形的周长不变恒为12，其中一条边固定为4，形状越来越接近边长为4的等边三角形，结合图形易发现三角形面积越来越大，答案选B （13新课标广东卷理科8题）设整数4n ≥，集合{}1,2,3X =……，n ，令集合{}(,,)|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立。若（x,y,z ）和（z,ω,x ）都在S 中，则下列选项正确的是（）

A.(y ，z,ω)S ∈，(x ，y ，ω)S ?

B..(y ，z ，ω)S ∈，(x ，y ，ω）S ∈

C.(y ，z ，ω)S ?，(x ，y ，ω)S ∈

D.(y ，z ，ω)S ?，(x ，y ，ω）S ?

剖析：这道题是新课标广东卷理科数学选择题的压轴题，这道题若不用特值法，讨论分类非常繁杂且容易出错，用特殊值求即简单有准确解析如下：令x=1，y=2，z=3，ω=4，立得(y ，z ，ω)=（2,3,4）S ∈，(x ，y ，ω）S ∈，选B 。

（13新课标天津卷理科8题）已知函数()(1||)f x x a x =+.设关于x 的不等式

()()f x a f x +<的解集为A ，若11,22A ??-?????

,则实数a 的取值范围是（）

A.????

B.????

C.???? ? ??

D.?-∞ ? 剖析：这道题是新课标天津卷理科数学选择题的压轴题，这道题若不用特值法，很多学生无从下手，就算能从不等式角度入手，后续的讨论计算也会让大多数学生望而却步，采用特殊值验证法则能够快速地找出答案：当x=0时，()()f x a f x +<可变为(1||)0a a a +<，易得1a 0-<<,可得a 的取值范围一定是

（-1,0）的子集，排除C 、D 选项，再验证x=12

，可排除B 选项，故答案为A. （13新课标陕西卷理科10 题）设[x]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x,y 有（）

A.[][]x x -=-

B.

[][]22x x = C.[][][]x y x y +≤+

D.[][][]x y x y -≤-

剖析：这道题是新课标陕西卷理科数学选择题的压轴题，采用特殊值验证法做非常简单解析如下：设x=3.2，则[-x]=[-3.2]=-4，而-[x]=-[3.2]=-3，故A 错误；设x=2.7，则[2x]=[5.4]=5，而2[x]=2[2.7]=4，故B 错误；

设x=2.7，y=3.6，则[x+y]=[6.3]=6，而[x]+[y]=[2.7]+[3.5]=2+3=5，故C 错误，所以选D.，类似地今年陕西卷文科数学也一样

（13新课标陕西卷文科10 题）设[x]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，有（）

A.[-x]=-[x]

B.[x+12]=[x ]

C.[2x]=2[x]

D.[x]+[x+12

]=[2x] 解析如下：设x=3.2，则[-x]=[-3.2]=-4，而-[x]=-[3.2]=-3，故A 错误；

设x=2.7，则[x+12]=[2.7+0.5]=[3.2]=3，而[x]=[2.7]=2，故B 错误；

设x=2.7，则[2x]=[5.4]=5，而2[x]=2[2.7]=4，故C 错误，所以选D.

（13新课标辽宁卷文科12题）已知函数22()2(2),f x x a x a =-++

22()2(2)8g x x a x a =-+--+，设

{}1()max (),(),H x f x g x ={}2()min (),()H x f x g x =（{}max ,p q 表示p,q 中的较大值，{}min ,p q 表示p,q 中的较小值）。记1()H x 的最小值为A ，2()H x 的最大值为B ，则A-B=（）

A.2216a a --

B.2216a a +-

C.-16

D.16

剖析：这道题是新课标辽宁卷文科数学选择题的压轴题，采用特值法做可以使题目变的更加简单直观，计算也方便，解析如下：设1a =，则2()61f x x x =-+，

2()27g x x x =--+，画出它们的函数图象可得(),()f x g x 图象交于()1,8,(38)--，

两点，8,8,16A B A B =-=-=-,选C

（13新课标浙江卷文科10题）设a,b R ∈,定义运算“∧”和“∨”如下：

,,,,a a b a b b a b ≤?∧=?>? ,,,,

b a b a b a a b ≤?∨=?>? 若正数a,b,c,d 满足4,4ab

c

d ≥+≤，则（）

A.2,2a b c d ∧≥∧≤

B.2,2a b c d ∧≥∨≥

C.2,2a b c d ∨≥∧≤

D.2,2a b c d ∨≥∨≥

剖析：这道题是新课标浙江卷文科数学选择题的压轴题，通过特值法能够快速

地排除错误选项，从而得到正确答案解析如下：不妨取131,5,,22

a b c d ====，则11,5,,2

a b a b c d ∧=∨=∧= 32

c d ∨=，只有选项C 满足. （13新课标福建卷文科12题）设函数()f x 的定义域为R,00(0)x x ≠ 是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（）

A ．0,()()x R f x f x ?∈≤ B.0x -是()f x -的极小值点

C. 0x -是()f x -的极小值点

D. 0x -是()f x --的极小值点

剖析：这道题是新课标福建卷文科数学选择题的压轴题，通过特值法能够快速地排除错误选项，让题目变得直观，解析如下：极大值点不一定是最大值点，

可排除A ，对于B,C,D ，取2()22f x x x =-++，则1是()f x 的极大值点，可得到1-是()f x --的极小值点，答案选D

（13新课标湖北卷文科10题）已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（）

A. (,0)-∞

B.1(0,)2

C.(0,1)

D. (0,)+∞ 剖析：这道题是新课标湖北卷文科数学选择题的压轴题，难度大，试题比较抽象，计算量大，采用特值法可以降低试题难度，能准确地排除错误选项，找到正确答案，解析如下：定义域0x >，当1a =-时，()ln 21f x x x '=++，再求导可得1()20f x x

''=+>恒成立，所以()ln 21f x x x '=++在定义域内是增函数，故()0f x '=最多1个解，不符合题意，排除A ，当12

a =时，()ln 1f x x x '=-+，令()ln 1g x x x =-+，则1()0x g x x

-'=>得01x <<，()0g x '<得1x >，故m a x

()(1)0g x g ==，从而()0f x '=只有一个解1x =不符合题意，排除C,.D ，故答案选A

（13新课标四川卷文科10题）设函数()f x =a R ∈,e 是自然对数的底数）。若存在[0,1]b ∈使(())f f b b =成立，则a 的取值范围是（）

A.[1,e]

B.[1,1+e]

C.[e,1+e]

D.[0,1]

剖析：这道题是新课标四川卷文科数学选择题的压轴题，该题根据答案特点选择0,1a a e ==+代入分析，能准确地找到正确答案，解析如下：显然()f x 是增

函数，根据答案选项，若0a =，则()f x =，若任意[0,1]b ∈，有

()1f b ≥=，(())(1)1f f b f b ≥=>≠，所以A 不可能取0，排除D ，

若1a e =+，则()f x =定义域为[1,)+∞，且(1)0f =，((1))(0)

f f f =不存在，所以任意[0,1]b ∈，(())f f b b =不成立，排除B,C,故答案选A

二、选择题非压轴试题特值法求解举例

（13新课标全国卷二理科10题）已知函数32(),f x x ax bx c =+++下列结论中错误的是（ ）

A.00,()0x f x ?∈=R

B.函数()y f x =的图象是中心对称图形

C.若0x 是()f x 的极小值点，则 ()f x 在区间0(,)x -∞单调递减

D. 若0x 是()f x 的极值点，则 0()0f x '=

剖析：该题根据试题特点，可令0,3,0a b c ==-=，再进行分析，答案很容易得到，解析如下：令0,3,0a b c ==-=，则3()3,f x x x =-显然1是()f x 的极小值点，但()f x 在区间(,1)-∞单调递减错误，故答案选C

（13新课标陕西卷理科6题）设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是（）

A.若12||0,z z -=则12z z =

B.若12z z =，则12z z =

C.若12||||z z =，则1122z z z z =

D.若12||||z z =，则2212z z =

剖析：该题运用特值法很容易求得正确答案，解析如下：由特殊值法，设1234,43z i z i =+=+，则满足12||||5z z ==，但2212z z ≠，所以选D 。

（13新课标重庆卷理科

6题）若a b c <<，则函数()()()()()()(f x x a x b x b x

c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（） A.(,)a b 和(,)b c 内 B.(,)a -∞和(,)a b 内

C.(,)b c 和(,)c +∞内

D.(,)a -∞和(,)c +∞内

剖析：赋予系数的简单方便的整数，得到具体的函数再分析零点所在的区间，让答案准确快速直观

解析如下：取1,0,1a b c =-==，可得2()31f x x =-，由()0f x =解得x =，分别位于(,)a b 和(,)b c 内，答案选A

（13新课标江西卷文科6题）下列选项中，使不等式21x x x <

<成立的x 的取值范围是（）

A.(,1)-∞-

B.(-1，0)

C.（0,1）

D.(1,)+∞ 剖析：找到一个满足不等式21x x x <<的数字在查看选项，该题答案就立马出

来了，解析如下：

在选项的每个区间上取个特殊值分析即可确定答案,比如2x =-就满足21x x x

<<，所以答案选A 通过以上举例分析，我们发现今年能用特值法求解的选择题的压轴题就出现了10道，非压轴试题也有很多，我们列举了一部分进行分析，可见特值法是一种高效、快捷、重要的一种解题方法，特值法可以从特殊值、特殊函数、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等不同的角度结合具体题型选择性的代入分析，排除错误选项，得到正确答案，掌握了特值法的解题规律，可以让你在考试中降低一些试题的难度，能够快又准地得到正确答案，同时提高了解题的速度和效率,增强学生的解题信心和勇气;节约了更多时间做解答题，另一方面特值法又不局限于选择题，其实在填空题，解答题也有，有兴趣爱好者可以在今年的高考试题进一步挖掘能用特值法解题的填空题和解答题，它们的解题思想是先从特殊值得到答案或规律，在从一般角度进行论证或推理，从而完成解答过程.

以上是本人对本次高考各省市数学的一个小小研究，若有不当或错误之处，还忘同行不吝指正，提出批评意见或建议，本人不甚感激.

2013.06.24