山东省菏泽一中2019-2020学年高一7月期末考试数学试题含答案

菏泽一中高一期末考试数学试题

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数1z i =+的共轭复数是z ，则复数2017

2018

z z z z ??

??+ ?

???

??

在复平面内对应的点位于（ ）

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

2. 已知向量()3,4a =，()sin ,cos b αα=，且//a b ，则tan α等于（ ） A.

34

B. 34

-

C.

43

D. 43

-

3. 已知(),1AB k =，()2,4AC =，若k 为满足4AB ≤的随机整数，则AB BC ⊥的概率为（ ） A.

17

B.

27

C.

13

D.

23

4. 如图，在ABC △中，3

BAC π

∠=

，2AD DB =，P 为CD 上一点，

且满足1

2

AP mAC AB =+，

若3AC =，4AB =，则AP CD ?的值为（ ）

A. -3

B. 13

12

-

C.

1312

D.

112

5. 某中学从高三甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的中位数是86，则x y +的值为（ ）

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

6. 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少有一个红球与都是红球

B. 至少有一个红球与都是白球

C. 恰有一个红球与恰有二个红球

D. 至少有一个红球与至少有一个白球

7. 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ）

A.

B.

C. 3

D.

85

8. 如图，1AA ，1BB 均垂直于平面ABC 和平面111A B C ，11190BAC A B C ∠=∠=?，

111AC AB AA BC ====111ABC A

B C -的外接球的表面积为（ ）

A. 6π

B.

8

3

π C. 8π D. 4π

二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.

9. 某小区为了让居民了解更多垃圾分类的知识，对500名小区居民进行了培训，并进行了培训结果测试，从中随机抽取50名居民的成绩（单位：分），按照[)50,60，[)60,70…[]90,100分成5组，并制成了如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）

A. 所抽取的50名居民成绩的平均数约为74

B. 所抽取的50名居民成绩的中位数约为75

C. 50名居民成绩的众数约为65，75

D. 参加培训的居民中约有100人的成绩不低于85分

10. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为l ，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2

EF =，则下列结论中正确的是（ ）

A. AC BE ⊥

B. //EF 平面ABCD

C. 三棱锥A BEF -的体积为定值

D. 异面直线AE ，BF 所成的角为定值

l1. 给出下列四个命题，其中正确的选项有（ ）

A. 非零向量a ，b 满足a b a b ==-，则a 与a b +的夹角是30?

B. 若()()

0AB AC AB AC +?-=，则ABC △为等腰三角形

C. 若单位向量a ，b 的夹角为120?，则当()2a xb x R +∈取最小值时1x =

D. 若()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =---，ABC ∠为锐角，则实数m 的取值范围是

34

m >-

12. 若点O 是线段BC 外一点，点P 是平面上任意一点，且(),OP OB OC R λμλμ=+∈，则下列说法正确的有（ ）

A. 若1λμ+=且0λ>，则点P 在线段BC 的延长线上

B. 若1λμ+=且0λ<，则点P 在线段BC 的延长线上 C 若1λμ+>，则点P 在OBC △外 D. 若1λμ+<，则点P 在OBC △内

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. ABC △的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知3c =，3

C π

=，2a b =，则b 的

值为______.

14. 已知一组数据a ，b ，c 的平均数为5，方差为4，那么数据2a -，2b -，2c -的平均数和方差分别是______.

15. 如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且AB 、CD 均与水平面垂直，它们的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看点D 的仰角为α，看点C 的俯角为β，已知45αβ+=?，则BC 的长度是______m .

16. 在四面体ABCD 中，AB AD ⊥，1AB AD BC CD ====，且平面ABD ⊥平面BCD ，M 为AB 中点，则线段CM 的长为______. 四、解答题

17. 若虚数z 同时满足下列两个条件： ①5

z z

+

是实数； ②3z +的实部与虛部互为相反数.

这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由. 18. 已知向量()3,2a =-，()2,1b =，()3,1c =-，t R ∈. （1）求a tb +的最小值及相应的t 值； （2）若a tb -与c 共线，求实数t .

19. 在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知1a =，(1,m =，()sin ,cos n A A =，且m n ⊥.

（1）求角A 的大小；

（2）若ABC △b c +的值；

（3）求ABC △周长的取值范围.

20. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形，1AB AC ==，90BAC ∠=?，点D 是棱的11B C 中点.

（1）求证：1A D ⊥平面11BB C C ； （2）求证：1//AB 平面1A DC ； （3）求三棱锥11C A CD -的体积.

21. 在元宵节活动上，组织了“摸灯笼猜灯谜”的趣味游戏.已知在一个不透明的箱子内放有大小和形状相同的标号分别为1，2，3的小灯笼若干个，每个灯笼上都有一个谜语，其中标号为1的小灯笼1个，标号为2的小灯笼2个，标号为3的小灯笼n 个.若参赛者从箱子中随机模取1个小灯笼进行谜语破解，取到标号为3的小灯笼的概率为1

4

. （Ⅰ）求n 的值；

（Ⅱ）从箱子中不放回地摸取2个小灯笼，记第一次摸取的小灯笼的标号为a ，第二次摸取的小灯笼的标号为b .记“4a b +≥”为事件A ，求事件A 的概率.

22. 如图所示，直三棱柱111ABC A B C -的各条棱长均为a ，D 是侧棱1CC 的中点.

（1）求证：平面1AB D ⊥平面11ABB A ；

（2）求平面1AB D 与平面ABC 所成二面角（锐角）的大小.

高一期末考试数学答案

一、单项选择题 1-5：BABCC 6-8：CBA

二、多项选择题

9. AD 10. ABC 11. ABC 12. BC 11、【答案】ABC

解：A 中，令OA a =，OB b =，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB .∵a b a b ==-，∴四边形

OACB 为菱形，60AOB ∠=?，30AOC ∠=?，即a 与a b +的夹角是30?，故A 正确.

B 中，∵()()

0AB AC AB AC +?-=，∴22

AB AC =，故ABC △为等腰三角形，故B 正确.

C 中，∵()2

2

2

2

244a xb a

xa b x b +=+?+2244cos12024x x x x =+?+=-+()2

13x =-+，故2a xb

+取最小值时1x =.故C 正确.

D 中，∵()()()3,46,33,1BA OA OB =-=---=--，()()

5,36,3BC OC OB m m =-=-----()1,m m =---，又ABC ∠为锐角，∴0BA BC ?>，即330m m ++>，∴3

4

m >-.又当BA 与BC 同向

共线时，1

2

m =，故当ABC ∠为锐角时，m 的取值范围是34m >-且12m ≠.故D 不正确.

故选ABC. 12、【答案】BC

【解答】因为OP OB OC λμ=+，

若1λμ+=且0λ>，(1)()OP OB OC OC OB OC λλλ=+-=+-， 故()OP OC OB OC λ-=-，即CP CB λ=，

又0λ>，则点P 在线段BC 或其反向延长线上，A 错误； 若1λμ+=且0λ<，同上可得CP CB λ=，而0λ<， 则点P 在线段BC 的延长线上，B 正确；

若1λμ+>，(1)(1)OP OB OC OC λλλμ=+-++-， 同上可得(1)CP CB OC λλμ=++-， 当1λμ+>时，10λμ+->，

根据向量加法的平行四边形法则可以看出则点P 在OBC △外，C 正确；

若1λμ+<，不妨令0λ=，1μ=-，则OP OC =-，

很显然此时点P 在线段CO 的延长线上，不在OBC △内，D 错误. 故选：BC. 三、填空题

13.

14. 3，4 15. 18 16.

2

16.【解析】如图所示，取BD 的中点O ，连接OA ，OC ， ∵1AB AD BC CD ====，∴OA BD ⊥，OC BD ⊥. 又平面ABD ⊥平面BCD ，∴OA ⊥平面BCD ，OA OC ⊥，

又AB AD ⊥，∴DB =

取OB 中点N ，连结MN 、CN ，∴//MN OA ，MN ⊥平面BCD .

222CN ON OC =+，

∴CM =

=

四、解答题

17、解：这样的虚数存在，12z i =--或2z i =--. 设z a bi =+（,a b R ∈且0b ≠），

()22555a bi z a bi a bi z a bi a b -+=++=++++

222255a b a b i a b a b ?

???=++- ? ?++????

. 因为5z z

+

是实数，所以22

50b b a b -=+.又因为0b ≠，所以22

5a b +=.① 又()33z a bi +=++的实部与虚部互为相反数，所以30a b ++=.②

由①②得22

305a b a b ++=??

+=?，解得12a b =-??=-?，或2

1

a b =-??=-?， 故存在虚数z ，12z i =--或2z i =--.

18、答案：（1）因为()3,2a =-，()2,1b =，()3,1c =-， 所以()()()3,22,132,2a tb t t t +=-+=-++，

所以

(

3

a t

b +=-+=

5=≥=

. 当且仅当4

5

t =

时取等号， 即a tb +的最小值为

5，此时4

5

t =. （2）因为()()()3,22,132,2a tb t t t -=--=---， 又a tb -与c 共线，()3,1c =-， 所以()()()

321230t t --?---?=， 解得3

5

t =

. 19

、解：（1）因为

m n ⊥且(1,m =，()sin ,cos n A A =，

所以sin 0tan A A A -=?= 又因为()0,A π∈，所以3

A π

=

.

（2）由题意得1sin 2S bc A =

?=1bc =， 又因为在三角形ABC 中，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-?，得222b c +=， 所以()2

22b c bc

+-=，即()2

4b c +=， 又因为0b >，0c >，所以2b c +=.

（3）由正弦定理可得3

sin sin sin sin 3b B a b c A B C c C

?=??==??

?=??

，

则)1sin sin 3

ABC C a b c B C =++=+

+△

221sin 2sin 2sin 10363B B B B πππ????

???

-+=++<< ? ? ????????

??

=， 因为203B π<<

，所以51sin 166626B B ππππ??<+

?，

所以22sin 136B π?

?

<++≤ ??

?

， 即23ABC C <≤△.

20、【答案】（1）证明：∵侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形， ∴1AA AC ⊥，1AA AB ⊥， 又AC

AB A =，,AC AB ?平面ABC ，

∴1AA ⊥平面ABC .

∵11//AA CC ，∴1CC ⊥平面ABC ， 又1CC ?平面11BB C C ， ∴平面11BB C C ⊥平面ABC ， ∴平面11BB C C ⊥平面111A B C ， ∵D 是11B C 的中点，1AB AC ==， ∴111A D B C ⊥， 又平面11BB C C

平面11111A B C C B =，且1A D ?平面111A B C ，

∴1A D ⊥平面11BB C C ；

（2）证明：连接1AC ，交1A C 于点O ，连接OD ， 因为四边形11ACC A 为正方形，所以O 为1AC 的中点， 又D 为11B C 的中点，所以OD 为11AB C △的中位线， 所以1//AB OD ，

因为OD ?平面1A DC ，1AB ?平面1A DC ， 所以1//AB 平面1A DC .

（3）解：由（1）可知1A A 是三棱柱111ABC A B C -的高，

侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形，1AB AC ==，90BAC ∠=?，点D 是棱11B C 的中点， 所以11111111

3

C A C

D C A C D A C D V V S CC --==

?△ 11113412

=??=， 即三棱锥11C A CD -的体积为1

12

. 21、解：（Ⅰ）由题意，

1

124

n n =++，∴1n =.

（2）记标号为2的小灯笼为1a ，2a ；连续．．

摸取2个小灯笼的样本空间为 ()()()()()()12112121,,1,,(1,3),,1,,,,3,,{,1a a a a a a a Ω=

()()()()21212,,,3,(3,1),3,,3,}a a a a a ，

共12个样本点，且每个样本点出现是等可能的，所以该概率模型是古典概型. 又()()()()()(){}

12211122(1,3),(3,1),,,,,,3,3,,,3,3,A a a a a a a a a =， 且()8n A =， ∴()()()82

123

n A P A n =

==Ω. 所以事件A 的概率为

23

. 22. 解：（1）证明：取1AB 的中点E ，AB 的中点F .连接DE 、EF 、CF . 故11//

2EF BB ，又11

//2

CD BB .∴四边形CDEF 为平行四边形，∴//DE CF . 又三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，ABC △为正三角形，CF ?平面ABC ，

∴1CF BB ⊥，CF AB ⊥，而1AB BB B =，∴CF ⊥平面11ABB A ，

又//DE CF ，∴DE ⊥平面11ABB A .

又DE ?平面1AB D .所以平面1AB D ⊥平面11ABB A .

（2）解：延长1B D 、BC 相交于点E ，连接AE ，则平面1AB D

平面ABC ，

∵点D 为1C C 的中点，1//DC B B ，∴D 点C 为BE 的中点，CE a =，

∴ACE △为等腰三形，因此30CAE ∠=?，又∵60BAC ∠=?，∴90BAE ∠=?， 即BA AE ⊥，又∵1AE B B ⊥，∴AE ⊥平面1AB B ，∴1AE AB ⊥， 因此1BAB ∠就是平面1AB D 与平面ABC 所成二面角的平面角。 在1Rt AB B △中，1AB BB a ==，因此145BAB ∠=?.