教案332简单的线性规划问题

必修5 3.3.2 简单的线性规划问题（教案）

（第1课时）

【教学目标】

1 ?知识与技能：使学生了解线性规划的意义及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；

2?过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；

3?情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的

数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力.

【重点】

用图解法解决简单的线性规划问题.

【难点】

准确求得线性规划问题的最优解.

【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第87页?第89页）

x 2y 8,

4x 16,

1 ?在教材第87页引例中，约束条件是4y 12,为什么又叫线性约束条件？（约

x 0,

y o.

束条件都是关于x, y的一次不等式）目标函数是z 2x 3y，为什么又叫线性目标函数？

（目标函数是关于x, y的一次解析式）

2?在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题称为线性规划问题；

3 ?满足线性约束条件的解（x, y）叫做可行解；由所有可行解组成的集合叫做可行域;

使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解.

【基础练习】

1?给定下列命题：在线性规划问题中，①最优解指的是目标函数的最大值或最小值；

②最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量x或y ；③最优解指的是目标函数取

得最大值或最小值的可行域；④最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 其中真命题的序号是④?

2?在教材第87页引例中，当直线z 2x 3y,即y - x -经过可行域时，直线

3 3

越向上（上，下）z越大，直线越向下（上，下）z越小，为什么？（由z的几何

意义决定的）z的几何意义是 -是直线在y轴上的截距.

3 —

y x,

(1)

求z 2x y 的最大值，使x, y 满足约束条件

x y 1, y 1

5x 3y 15,

(2)

求z 23x 5y 的最大值

和最小值，使 x,y 满足约束条件

y x 1, x 5y 3.

答案：(1)

z max

3

-

(2) z max

17, z min

11 .

【典型例题】

2x y 300

例1 已知

x, y 满足不等式组

x 2y 250 ，试求z

300x 900y 的最大值时点的

x 0

y 0

坐标，及相应的z 的最大值

的点并求最大值 如图所示平面区域AOBC ,点

，点B(150,0)，点C 的坐标由方程组

350 200)

丿，

3 3

z 300x 900y ,

得

1 z y =- x 3 900

欲求z 300x 900y 的最大值，即转化为求截距 —的最大值，从而可求z 的最大值，

900 1

z 1 1 因直线y =- x

与直线y =- x 平行，故作与y =- x 的平行线，当过点A (0, 125)

3

900

3

3

时，对应直线的截距最大， 所以此时整点 A 使z 取最大值，z max =300 X 0+900 X 125=112500

【方法总结】1

?在线性约束条件下，求 z ax by c 的最值时，作图需准确，要区

别目标函数所对应直线的斜率与可行域的边界直线的斜率的大小关系,

3 .解下列线性规划问题:

【审题要津】先画出平面区域, 然后在平面区域内寻找使

z 300x 900 y 取最大值时

解：

A(0,125)

2x x 得C 由

y 300 350 x

3 2y 250

200 y

3

分清目标函数所对应

直线在y 轴上的截距与z 的关系.

2 .用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答” 变式训练：

3x y 300,

x 2y 250,求目标函数z 600x 300y 的最大值，并求整 x 0,y

0.

最优解为(70,90).

例2 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供

0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质， 0.14kg 脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg

脂肪，花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用 食物A 和食物B 多少kg ?

食物/ kg

碳水化合物/ kg

蛋白质/ kg

脂肪/ kg

A 0 . 10 5 0 . 0 7 0 . 14 B

0 . 10 5

0 . 14

0 . 0 7

解：设每天食用x 千克食物, 千克食物，总成本为z .那么

已知X, y 满足约束条件

点最优解.

解：可行域如图所示: 四边形 由方程组：

AOBC 易求点

(0, 126)，

3x y x 2y

300 252

69 3 5 91 5

得点C 的坐标为 3 (69

,91

5

1)

因题设条件要求整点

(x, y)使 z 600x 300y 取最大值，将点(69, 91), (70, 90)

代入z

600x 300y ，可知当

70

时,

90

z 取最大值为 Z max =600X 70+300 x 900=69000,

0.075kg 的碳水化合物,

得M 点的坐标为

答：每天食用食物 A 约143g ，食物B 约571g ，能够满足日常饮食要求，又使花费最 低，最低成本为16元.

【方法总结】线性规划解决实际问题的解题思路：

首先，应准确建立数学模型，即根据

题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解， 即画出可行域,

在可行域内求得使目标函数取得最值的解， 最后，要根据实际意义将数学模型的解转化为实

际问题的解，即结合实际情况求得最优解.

目标函数为

0.105x 0.07x 014x x 0,

0.105y 0175, 0-14y 0-06, 0-07y 0-06,

y 0. 28x 21y ?

元一次不等式组①等价于

7x 7y 7x 14y 14x 7 y x 0,

5, 6, 6, y 0.

作出二元一次不等式组②所表示的平面区域，即可行域.

考虑z 28x

21y ，将它变形为

y

4

x z ,这是斜率为-，随

3 21

3

z 变化的一族平行直线. —是直线在 21

y 轴上的截距，当—取最小值时，z

21

的值最小.当然直线要与可行域相交， 即在满足约束条件时目标函数

z 28x 21y 取得最小值.

由图可见，当直线z 28x

21y

经过可行域上的点 M 时，截距 —最小，即z 最小?解方程组

21

7x 14x 7y 7y 5,

6,

所以 Z min

28x

21y 16

x < 2,

y < 2, 则目标函数

x y > 2

,

变式训练：某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲产品 1吨，需要煤9吨，需电4

瓦，工作日3个（一个2人劳动一天等于一个工作日），生产乙种产品1吨，需要用煤4吨， 需电5瓦，工作日12个，又知甲产品每吨售价 7万元，乙产品每吨售价 12万元，且每天供 煤最多360吨，供电最多200瓦，全员劳动人数最多 300人，问每天安排生产两种产品各多 少吨；才能使日产值最大，最大产值是多少？ ，乙种产品y 吨，日产值为 解：设每大生产甲种产品 x 吨 9x 4y 360, 4x 5y 200, 3x 12y 150, x 0,y 0. 线性目标函数为 z = 7x 12y . 可行域如图所示：

155 45 由图可知当过点（

，竺）

4 16

Z max =305 (万元)

时，z 最大. z 万元。则约束条件为: 答：最大产值为305万元-

1 ?已知x, y 满足约束条件

x y 5》0,

x y > 0, 则z 2x 4y 的最大值为(D ). x < 3.

(A) (B)

38

(C)

10 (D) 38

(A) [2,6] (B) [2,5] (C) [3,6] (D) [3,5]

3 ?给出平面区域如图所示，若使目标函数 z ax y （a 0）取得最大值的最优解有无穷多 个，则a 的值为（ （A ）- 4

)?

(B) (C) 4 (D)

3 5

5 3

4 .满足| x |

| y |< 2的整点（横、纵坐标为

整数）的个数是（

2 ?若 2y 的取值范围是（ A ）.

(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14

5 .给出下面的线性规划问题：求

z 3x 5y 的最大值和最小值，使 x , y 满足约束

5x 3y < 15,

条件 y < x 1,

要使题目中目标函数只有最小值而无最大值，

请你改造约束条件中一个

x 5y w 3.

不等式，那么新的约束条件是

x y 3w 0, y w x 1,

x 5y w 3.

6. △ ABC 中，三个顶点的坐标分别为

A(2,4) , B( 1,2) , C(1,0)，点P(x , y)在

△ ABC 内部及边界运动，则 z x y 的最大值及最小值分别是

1 和 一3

x 2y 2

2x y 1 ,求z 3x y 的最小值-

x 0, y 0

解：作出可行域如图所示：

作直线丨0: 3x y 0,作一组与直线10平行的直线

l : 3x y z ,( z € R)-

x, y 是上面不等式组表示的区域内的点的坐标

.

由图可知：当直线l : 3x y z 通过P (0, 1)时, z 取到最小值

1，即Z min =1.

8.某工厂家具车间造 代B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成

.已知木 工做一

张 代B 型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张 A, B 型桌子分别需要3小时

和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8小时和9小时，而工厂造一张 代B 型 桌子分别获利润 2千元和3千元，试问工厂每天应生产 代B 型桌子各多少张，才能获得利 润最大？ -

解：设每天生产 A 型桌子x 张，B 型桌子y 张，每天获得利润 z 千元-

x 2y 8,

则 3x y 9,

x 0, y 0.

7 .已知x, y 满足不等式

x+2y=2

O

5 3x+y=0

2 x+y=1

目标函数为：z 2x 3y .

作出可行域：

把直线I : 2x 3y 0向右上方平移至I的位置时，直线经过

可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z 2x 3y取最大值-

解方程x 2y 8得M的坐标为(2，3).

3x y 9

答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润.

2x y 4

x, y 满足x y 1,则z x y ( B ).

x 2y 2

(A)有最小值2,最大值3 (C)有最大值3,无最小值(B)有最小值2,无最大值既无最

小值，也无最大值

2. (2009北京卷理)若实数

x

x, y满足x

y 2 0

4 则s y x的最小值为 6 .

1 . (2009宁夏海南卷理)设

(D)