江苏省昆山市高中数学苏教版必修一教案1.2《子集、全集、补集》

子集、全集、补集(一)

教学目标：

使学生理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，会判断简单集合的相等关系；通过概念教学，提高学生逻辑思维能力，渗透等价转化思想；渗透问题相对论观点. 教学重点：

子集的概念，真子集的概念.

教学难点：

元素与子集，属于与包含间的区别；描述法给定集合的运算.

教学过程：

Ⅰ.复习回顾

1.集合的表示方法列举法、描述法

2.集合的分类有限集、无限集

由集合元素的多少对集合进行分类，由集合元素的有限、无限选取表示集合的方法.故问题解决的关键主要在于寻求集合中的元素，进而判断其多少.

Ⅱ.讲授新课

［师］同学们从下面问题的特殊性，去寻找其一般规律.

幻灯片(A)：

我们共同观察下面几组集合

(1)A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}

(2)A＝{x｜x＞3}，B＝{x｜3x－6＞0}

(3)A＝{正方形}，B＝{四边形}

(4)A＝?，B＝{0}

(5)A＝{直角三角形}，B＝{三角形}

(6)A＝{a，b}，B＝{a，b，c，d，e}

［生］通过观察上述集合间具有如下特殊性

(1)集合A的元素1，2，3同时是集合B的元素.

(2)集合A中所有大于3的元素，也是集合B的元素.

(3)集合A中所有正方形都是集合B的元素.

(4)A中没有元素，而B中含有一个元素0，自然A中“元素”也是B中元素.

(5)所有直角三角形都是三角形，即A中元素都是B中元素.

(6)集合A中元素A、B都是集合B中的元素.

［师］由上述特殊性可得其一般性，即集合A都是集合B的一部分.从而有下述结论.

幻灯片(B)：

1.子集

定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.记作A B（或B A），这时我们也说集合A是集合B的子集.

［师］请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举例子是否符合定义.

［师］当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作A B（或B A）.

如：A＝{2，4}，B＝{3，5，7}，则A B.

［师］依规定，空集?是任何集合子集.

请填空：?_____A(A为任何集合).

［生］??A ［师］由A ＝{正三角形}，B ＝{等腰三角形}，C ＝{三角形}，则从中可以看出什么规律？ ［生］由题可知应有A ?B ，B ?C.

这是因为正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形一定是三角形，那么正三角形也一定是三角形.故A ?C.

［师］从上可以看到，包含关系具有“传递性”.

(1)任何一个集合是它本身的子集

［师］如A ＝{9，11，13}，B ＝{20，30，40}，那么有A ?A ，B ?B.

师进一步指出：

如果A ?B ，并且A ≠B ，则集合A 是集合B 的真子集.

这应理解为：若A ?B ，且存在b ∈B ，但b ?A ，称A 是B 的真子集.

A 是

B 的真子集，记作A B (或B A )真子集关系也具有传递性若A B ，

B C ，则A C.

那么_______是任何非空集合的真子集.

［生］应填?

2.例题解析

［例1］写出{a 、b }的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.

分析：寻求子集、真子集主要依据是定义.

解：依定义：{a ，b }的所有子集是?、{a }、{b }、{a ，b }，其中真子集有?、{a }、{b }. 注：如果一个集合的元素有n 个，那么这个集合的子集有2n 个，真子集有2n －1个. ［例2］解不等式x －3＞2，并把结果用集合表示.

解：由不等式x －3＞2知x ＞5

所以原不等式解集是{x ｜x ＞5}

［例3］（1）说出0，｛0｝和?的区别；（2）｛?｝的含义

Ⅲ.课堂练习

1．已知A ＝{x ｜x ＜－2或x ＞3}，B ＝{x ｜4x ＋m ＜0}，当A ?B 时，求实数m 的取值范围.

分析：该题中集合运用描述法给出，集合的元素是无限的，要准确判断两集合间关系.需用数形结合.

解：将A 及B 两集合在数轴上表示出来

要使A ?B ，则B 中的元素必须都是A 中元素

即B 中元素必须都位于阴影部分内

那么由x ＜－2或x ＞3及x ＜－m 4 知 －m 4

＜－2即m ＞8 故实数m 取值范围是m ＞8

2．填空：

｛a ｝ ｛a ｝，a ｛a ｝，? ｛a ｝，｛a ，b ｝ ｛a ｝，0 ?，｛0｝ ?，1 ｛1,｛2｝｝，｛2｝ ｛1,｛2｝｝，? ｛?｝

Ⅳ.课时小结

1.能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集.

2.清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明.

Ⅴ.课后作业

（一）课本P10习题1.2 1，2

补充：

1.判断正误

(1)空集没有子集（）

(2)空集是任何一个集合的真子集（）

(3)任一集合必有两个或两个以上子集（）

(4)若B?A，那么凡不属于集合a的元素，则必不属于B （）

分析：关于判断题应确实把握好概念的实质.

解：该题的5个命题，只有(4)是正确的，其余全错.

对于(1)、(2)来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集.

对于(3)来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集.

对于(4)来讲，当x∈B时必有x∈A，则x?A时也必有x?B.

2.集合A＝{x｜－1＜x＜3，x∈Z}，写出A的真子集.

分析：区分子集与真子集的概念.空集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的子集有2n，真子集有2n－1个.

则该题先找该集合元素，后找真子集.

解：因－1＜x＜3，x∈Z，故x＝0，1，2

即a＝{x｜－1＜x＜3，x∈Z}＝{0，1，2}

真子集：?、{1}、{2}、{0}、{0，1}、{0，2}、{1，2}，共7个

3.(1)下列命题正确的是（）

A.无限集的真子集是有限集

B.任何一个集合必定有两个子集

C.自然数集是整数集的真子集

D.{1}是质数集的真子集

(2)以下五个式子中，错误的个数为（）

①{1}∈{0，1，2} ②{1，－3}＝{－3，1} ③{0，1，2}?{1，0，2}

④?∈{0，1，2} ⑤?∈{0}

A.5

B.2

C.3

D.4

(3)M＝{x｜3＜x＜4}，a＝π，则下列关系正确的是（）

A.a M

B.a?M

C.{a}∈M

D.{a}M

解：(1)该题要在四个选择支中找到符合条件的选择支.必须对概念把握准确，并不是所有有限集都是无限集子集，如{1}不是{x｜x＝2k，k∈Z}的子集，排除A.由于?只有一个子集，即它本身，排除B.由于1不是质数，排除D.故选C.

(2)该题涉及到的是元素与集合，集合与集合关系.

①应是{1}?{0，1，2}，④应是??{0，1，2}，⑤应是??{0}

故错误的有①④⑤，选C.

(3)M＝{x｜3＜x＜4}，a＝π

因3＜a＜4，故a是M的一个元素.

{a}是{x｜3＜x＜4}的子集，那么{a}M.选D.

4.判断如下a与B之间有怎样的包含或相等关系：

(1)A＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}

(2)A＝{x｜x＝2m，m∈Z}，B＝{x｜x＝4n，n∈Z}

解：(1)因A＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，故A、B都是由奇数构成的，即A＝B.

(2)因A ＝{x ｜x ＝2m ，m ∈Z }，B ＝{x ｜x ＝4n ，n ∈Z }，

又 x ＝4n ＝2·2n

在x ＝2m 中，m 可以取奇数，也可以取偶数；而在x ＝4n 中，2n 只能是偶数.

故集合A 、B 的元素都是偶数.但B 中元素是由A 中部分元素构成，则有B A .

评述：此题是集合中较抽象题目.注意其元素的合理寻求.

5.已知集合P ＝{x ｜x 2＋x －6＝0}，Q ＝{x ｜ax ＋1＝0}满足Q P ，求a 所取的一切值. 解：因P ＝{x ｜x 2＋x －6＝0}＝{2，－3}

当a ＝0时，Q={x ｜ax ＋1＝0}＝?，Q P 成立.

又当a ≠0时，Q ＝{x ｜ax ＋1＝0}＝{－1a }， 要Q P 成立，则有－1a ＝2或－1a ＝－3，a ＝－12 或a ＝13

. 综上所述，a ＝0或a ＝－12 或a ＝13

评述：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论.

本题易漏掉a ＝0，ax ＋1＝0无解，即Q 为空集情况.

而当Q ＝?时，满足Q P .

6.已知集合A ＝{x ∈R ｜x 2－3x ＋4＝0}，B ＝{x ∈R ｜（x ＋1）（x 2＋3x －4＝0}，要使A P ?B ，求满足条件的集合P .

解：由题A ＝{x ∈R ｜x 2－3x ＋4＝0}＝?

B ＝{x ∈R ｜（x ＋1）（x 2＋3x －4）＝0}＝{－1，1，－4}

由A P ?B 知集合P 非空，且其元素全属于B ，即有满足条件的集合P 为：

{1}或{－1}或{－4}或{－1，1}或{－1，－4}或{1，－4}或{－1，1，－4}

评述：要解决该题，必须确定满足条件的集合P 的元素.

而做到这点，必须化简A 、B ，充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件.

7.已知A ?B ，A ?C ，B ＝{0，1，2，3，4}，C ＝{0，2，4，8}，则满足上述条件的集合A 共有多少个？

解：因A ?B ，A ?C ，B ＝{0，1，2，3，4}，C ＝{0，2，4，8}，由此，满足A ?B ，有?，{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{0，1}，{0，2}，{2，3}，{2，4}，{0，3}，{0，4}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{3，4}，{0，2，4}，{0，1，2}，{0，1，3}，{0，1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{2，3，4}，{0，3，4}，{0，1，2，3}，{1，2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3}，{1，3，4}，{0，1，2，4}，{0，2，3，4}，{0，1，2，3，4}，共25＝32个.

又满足A ?C 的集合A 有

?，{0}，{2}{4}，{8}，{0，2}，{0，4}，{0，8}{2，4}，{2，8}，{4，8}，{0，2，4}，{0，2，8}，{0，4，8}，{2，4，8}，{0，2，4，8}，共24＝8×2＝16个.

其中同时满足A ?B ，A ?C 的有8个

?，{0}，{2}，{4}，{0，2}，{0，4}，{2，4}，{0，2，4}，实际上到此就可看出，上述解法太繁.由此得到解题途径.

有如下思路：

题目只要A 的个数，而未让说明A 的具体元素，故可将问题等价转化为B 、C 的公共元素组成集合的子集数是多少.

显然公共元素有0、2、4，组成集合的子集有23＝8 (个)

8.设A ＝{0，1}，B ＝{x ｜x ?A }，则A 与B 应具有何种关系？

解：因A ＝{0，1}，B ＝{x ｜x ?A }

故x 为?，{0}，{1}，{0，1}，即{0，1}是B 中一元素.故A ∈B.

评注：注意该题的特殊性，一集合是另一集合的元素.

9.集合A ＝{x ｜－2≤x ≤5}，B ＝{x ｜m ＋1≤x ≤2m －1}，

(1)若B ?A ，求实数m 的取值范围. (2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数.

(3)当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围.

解：(1)当m ＋1＞2m －1即m ＜2时，B ＝?满足B ?A .

当m ＋1≤2m －1即m ≥2时，要使B ≤A 成立，

需???m ＋1≥－22m －1≤5

，可得2≤m ≤3 综上m ≤3时有B ?A

(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}

所以，A 的非空真子集个数为：28－2＝254

(3)∵x ∈R ，且A ＝{x ｜－2≤x ≤5}，B ＝{x ｜m ＋1≤x ≤2m －1}，又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立.

则①若B ＝?即m ＋1＞2m －1，得m ＜2时满足条件.

②若B ＝?，则要满足条件有：???m ＋1≤2m －1m ＋1＞5 或???m ＋1≤2m －12m －1＜2

解之m ＞4 综上有m ＜2或m ＞4

评述：此问题解决：（1）不应忽略?；（2）找A 中的元素；（3）分类讨论思想的运用.

（二）1.预习内容：课本P 9

2.预习提纲：

(1)求一个集合补集应具备的条件.

(2)能正确表示一个集合的补集.

子集、全集、补集(二)

教学目标：

使学生了解全集的意义，理解补集的概念；通过概念教学，提高学生逻辑思维能力和分析、解决问题能力；渗透相对的观点.

教学重点：

补集的概念.

教学难点：

补集的有关运算.

教学过程：

Ⅰ.复习回顾

1.集合的子集、真子集如何寻求?其个数分别是多少?

2.两个集合相等应满足的条件是什么?

Ⅱ.讲授新课

［师］事物都是相对的，集合中的部分元素与集合之间关系就是

部分与整体的关系.

请同学们由下面的例子回答问题：

幻灯片（A）：

看下面例子

A＝{班上所有参加足球队同学}

B＝{班上没有参加足球队同学}

S＝{全班同学}那么S、A、B三集合关系如何?

［生］集合B就是集合S中除去集合A之后余下来的集合.

即为如图阴影部分

由此借助上图总结规律如下：

幻灯片(B)：

1.补集

一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集(即A?S)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中集合A的补集(或余集).

记作C S A，即C S A＝{x｜x∈3且x?a}

上图中阴影部分即表示A在S中补集C S A

2.全集

如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，记作U.

［师］解决某些数学问题时，就可以把实数集看作全集U，那么有理数集Q的补集C U Q 就是全体无理数的集合.

举例如下：请同学们思考其结果.

幻灯片(C)：

举例，请填充

(1)若S＝{2，3，4}，A＝{4，3}，则C S A＝____________.

(2)若S＝{三角形}，B＝{锐角三角形}，则C S B＝___________.

(3)若S＝{1，2，4，8}，A＝?，则C S A＝_______.

(4)若U＝{1，3，a2＋2a＋1}，A＝{1，3}，C U A＝{5}，则a＝_______

(5)已知A＝{0，2，4}，C U A＝{－1，1}，C U B＝{－1，0，2}，求B＝_______

(6)设全集U＝{2，3，m2＋2m－3}，a＝{｜m＋1｜，2}，C U A＝{5}，求m.

(7)设全集U＝{1，2，3，4}，A＝{x｜x2－5x＋m＝0，x∈U}，求C U A、m.

师生共同完成上述题目，解题的依据是定义

例(1)解：C S A＝{2}

评述：主要是比较A及S的区别.

例(2)解：C S B＝{直角三角形或钝角三角形}

评述：注意三角形分类.

例(3)解：C S A＝3

评述：空集的定义运用.

例(4)解：a2＋2a＋1＝5，a＝－1± 5

评述：利用集合元素的特征.

例(5)解：利用文恩图由A及C U A先求U＝{－1，0，1，2，4}，再求B＝{1，4}.

例(6)解：由题m2＋2m－3＝5且｜m＋1｜＝3解之m＝－4或m＝2

例(7)解：将x＝1、2、3、4代入x2－5x＋m＝0中，m＝4或m＝6

当m＝4时，x2－5x＋4＝0，即A＝{1，4}

又当m＝6时，x2－5x＋6＝0，即A＝{2，3}

故满足题条件：C U A＝{1，4}，m＝4；C U B＝{2，3}，m＝6.

评述：此题解决过程中渗透分类讨论思想.

Ⅲ.课堂练习

课本P10练习1，2，3，4

Ⅳ.课时小结

1.能熟练求解一个给定集合的补集.

2.注意一些特殊结论在以后解题中的应用.

Ⅴ.课后作业

（一）课本P10习题1.2 3，4

3.解：因有一组对边平行的四边形是梯形.故S集合是由梯形、平行四边形构成，而A ＝{x｜x是平行四边形}，那么C S A＝{x｜x是梯形}.

补充：

1.判断下列说法是否正确，并在题后括号内填“”或“”：

(1)若S＝{1，2，3}，A＝{2，1}，则C S A＝{2，3} （）

(2)若S＝{三角形}，A＝{直角三角形}，则C S A＝{锐角或钝角三角形} （）

(3)若U＝{四边形}，A＝{梯形}，则C U A＝{平行四边形} （）

(4)若U＝{1，2，3}，A＝?，则C U A＝A （）

(5)若U＝{1，2，3}，A＝5，则C U A＝?（）

(6)若U＝{1，2，3}，A＝{2，3}，则C U A＝{1} （）

(7)若U是全集且A?B，则C U A?C U B （）

解：紧扣定义，利用性质求解相关题目.(2)(5)(6)正确，其余错误.

在(1)中，因S＝{1，2，3}，A＝{2，1}，则C S A＝{3}.

(2)若S＝{三角形}，则由A＝{直角三角形}得C S A＝{锐角或钝角三角形}.

(3)由梯形及平行四边形构成的图形集合不一定是四边形的全部.如既不是梯形，

也不是平行四边形.

(4)因U＝{1，2，3}，A＝?，故C U A＝U.

(5)U＝{1，2，3}，A＝5，则C U A＝?.

(6)U＝{1，2，3}，A＝{2，3}，则C U A＝{1}.

(7)若U是全集且A＝B，则C U A?C U B.

评述：上述题目涉及补集较多，而补集问题解决前提必须考虑全集，故一是先看全集U，二是由A找其补集，应有A∪(C U A)＝U.

2.填空题

(1)A＝{x∈R｜x≥3}，U＝R，C U A＝_____________________.

(2)A＝{x∈R｜x＞3}，U＝R，C U A＝_____________________.

(3)已知U中有6个元素，C U A＝?，那么A中有_______个元素.

(4)U＝R，A＝{x｜a≤x≤b}，C U A＝{x｜x＞9或x＜3＝，则a＝_______，b＝_________ 解：由全集、补集意义解答如下：

(1)由U＝R及A＝{x｜x≥3}，知C U A＝{x｜x＜3＝(可利用数形结合).对于(2)，由U＝R 及A＝{x｜x＞3}，知C U A＝{x｜x≤3}，注意“＝”成立与否.对于(3)，全集中共有6个元素，A的补集中没有元素，故集合A中有6个元素.对于(4)，全集为R因A＝{x｜a≤x≤B}，其补集C U A＝{x｜x＞9或x＜3}，则A＝3，B＝9.

3.已知U＝{x∈N｜x≤10}，A＝{小于10的正奇数}，B＝{小于11的质数}，求C U A、C U B. 解：因x∈N，x≤10时，x＝0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10

A＝{小于10的正奇数}＝{1，3，5，7，9}，B＝{小于11的质数}＝{2，3，5，7}，那么C U A＝{0，2，4，6，8，10}，C U B＝{0，1，4，6，8，9，10}.

4.已知A＝{0，2，4，6}，C U A＝{－1，－3，1，3}，C U B＝{－1，0，2}，用列举法写出B. 解：因A＝{0，2，4，6}，C U A＝{－1，－3，1，3}，

故U＝A∪（C U A）＝{0，1，2，3，4，6，－3，－1}

而C U B＝{－1，0，2}，故B＝{－3，1，3，4，6}.

5.已知全集U＝{2，3，a2－2a－3}，A＝{2，｜a－7｜}，C U A＝{5}，求a的值.

解：由补集的定义及已知有：a2－2a－3＝5且｜a－7｜＝3，由a2－2a－3＝5有a＝4或a＝－2，当a＝4时，有｜a－7｜＝3，当a＝－2时｜a－7｜＝9(舍)

所以符合题条件的a＝4

评述：此题和第4题都用C U A＝{x｜x∈5，且x?A}，有U中元素或者属于A，或者属于C U A.二者必居其一，也说明集合A与其补集相对于全集来说具有互补性，这一点在解题过程中常会遇到，但要针对全集而言.

6.定义A－B＝{x｜x∈A，且x?B}，若M＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，4，8}，求N－M的表达式.

分析：本题目在给出新定义的基础上，应用定义解决问题.要准确把握定义的实质，才能尽快进入状态.

解：由题所给定义：N－M＝{x｜x∈N，且x?M}＝{8}

评述：从所给定义看：类似补集但又区别于补集，A－B与C A B中元素的特征相同，后者要求B?A.而前者没有这约束，问题要求学生随时接受新信息，并能应用新信息解决问题.

7.已知集合M＝{x2＋x－2＝0}，N＝{x｜x＜a}，使M C R N的所有实数a的集合记为A，又知集合B＝{y｜y＝－x2－4x－6}，试判断A与B的关系.

分析：先找M中元素，后求B中元素取值范围.

解：因x2＋x－2＝0的解为－2、1，即M＝{－2，1}，N＝{x｜x＜a}，

故C R N＝{x｜x≥a}，使M C R N的实数a的集合A＝{a｜a≤－2}，

又y ＝－x 2－4x －6＝－（x ＋2）2－2≤－2

那么B ＝{y ｜y ≤－2}，故A ＝B

8.已知I ＝R ，集合A ＝{x ｜x 2－3x ＋2≤0}，集合B 与C R A 的所有元素组成全集R ，集合B 与C R A 的元素公共部分组成集合{x ｜0＜x ＜1或2＜x ＜3}，求集合B .

解：因a ＝{x ｜x 2－3x ＋2≤0}＝{x ｜1≤x ≤2}，所以C R A ＝{x ｜x ＜1或x ＞2} B 与C R A 的所有元素组成全集R,则A ?B .B 与C R A 的公共元素构成{x ｜0＜x ＜1或2＜x ＜3}，则{x ｜0＜x ＜1或2＜x ＜3}?B

在数轴上表示

集合B 为A 及{x ｜0＜x ＜1或2＜x ＜3}的元素组成，即B ＝{x ｜0＜x ＜3}.

评述：研究数集的相互关系时,可将题设通过数轴示意,借助直观性探究,既易于理解.又能提高解题速度.上面提到的所有元素与公共元素是后面将要研究的交集、并集，就是B ∪C R A ＝R B A ??，B ∩C R A ＝{x ｜0＜x ＜1或2＜x ＜3}.

9.设U ＝{（x ，y ）｜x ,y ∈R },A ＝{(x ，y )｜y －3x －2

＝1}，B ＝{（x ，y ）｜y ＝x ＋1}，求C U A 与B 的公共元素.

解：a ＝{（x ，y ）｜y ＝x ＋1，x ≠2}，它表示直线y ＝x ＋1

去掉(2，3)的全体，从而C U A ＝{（2，3）}，而B ＝{（x ，y ）｜

y ＝x ＋1}表示直线y ＝x ＋1上的全体点的集合.如图所示，C U A

与B 的公共元素就是(2，3).

评述：关于点集问题通常将其转化为直角坐标平面上的图形

的问题来加以研究可以得到直观形象，简捷明了的效果.

（二）1.预习内容：课本P 10～P 11

2.预习提纲：

(1)交集与并集的含义是什么?能否说明?

(2)求两个集合交集或并集时如何借助图形.