湘教版八上数学知识点归纳

八年级上数学知识点

1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子

B A 叫做分式。 2、分式B

A 有意义的条件是：分母

B 0≠， 3、分式B A 值为零的条件是：?

??≠=00B A 分母分子 4、分式B A 值大于零的条件是；分子A 与分母B 同号????>>0

0B A 分母分子 或 ???<<00B A 分母分子 5、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

（0≠C ） 6、根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母中的公因式约去，叫做分式的约分。

7、分子与分母中没有公因式的分式叫最简分式。

8、任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即)0(10≠=a a ； 当n 为正整数时，n n a a 1=- ＝n a

)1( （)0≠a ，特别地，a a 11=-（)0≠a 9、正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数)

（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加：m n m n a a a +?=；

（2）幂的乘方，底数不变，指数相乘：()m n mn a a =;

（3）积的乘方，等于把积中每个因式分别乘方：()n n n ab a b =；

（4）同底数幂相除，底数不变，指数相减：n m n m

n

m a a a a a -==÷ ( a ≠0)； （5）商的乘方，分子分母各自乘方：()n

n n a a b b

=；(b ≠0) 10、科学记数法的形式：n a 10?（其中101<≤a ，即a 是一位整数的数，n 是整数） 若原数是绝对值大于10的整数时，n 为正，n 等于原数的整数位数减1

若原数是绝对值小于1的正小数时, n 为负，

n 等于原数的第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面那个0)

11、分式方程：分母中含未知数的方程叫作分式方程。

12、解分式方程的步骤 ：

(1) 去分母：方程两边同乘以最简公分母后，化为整式方程；

(2)解整式方程；

(3)检验．将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母0≠，则它是原分式方程的解； 若最简公分母＝0，则它是增根，原分式方程无解。

13、增根的含义：（1）增根使最简公分母为0，（2）增根是去分母后的整式方程的根。

A A C

B B C

?=?A A C B B C ÷=÷

14、三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 三角形的表示：用符号“△”表示，顶点是A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”

15、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边。

16、三条已知线段组成三角形条件：两条较短线段之和大于最长线段 17、已知两边时，第三边的取值范围是： 两边之和第三边两边之差<<

18、三角形的三种重要线段：

（1）三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点 之间的线段叫三角形的角平分线。

性质：三角形的三条角平分线交于一点。交点在三角形的内部。

结论：如图，在△ABC 中，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点， 则 A BOC ∠+?=∠2

190 （2）三角形的中线：连接三角形一个顶点和对边中点之间的线段叫三角形的中线。

性质：三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，一定在三角形的内部。

三角形的一条中线把三角形面积两等分；

如图AD 为△ABC 的中线，则有下列结论：①CD=BD,

② ACD ABD S S ??= ③AB AC C C ABD ACD -=-??

（3）三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高线（简称高）

性质：锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；

直角三角形的三条高线的交点在它的直角顶点；如右图

钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部；

三角形的面积=×底×高 （结论）在Rt △ABC 中, AB ⊥CD,则BC AC AB CD ..=19、三角形的内角的关系：（1）任意三角形三个内角和等于180°。

（2）直角三角形的两个锐角互余。

20、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫三角形的外角。

性质：（1）三角形的一个外角与相邻内角互补

（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和。

结论：（1）五角星五个角之和等于180°（2）三角形三个外角之和为360°

2

1 A C B D

21、命题：对某一件事情作出判断的陈述句叫作命题，

任何一个命题由条件和结论两部分构成，分为真命题和假命题两种

把一个命题的条件和结论反过来就成为它的逆命题。 22、等腰三角形的性质及判定

性质：①两腰相等，是轴对称图形

②等边对等角（即“等腰三角形的两个底角相等”） ③三线合一（即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”） 判定：①有两边相等的三角形是等腰三角形

②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）

结论：等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高 【即：DE+DF=CP ，（D 为BC 上的任意一点）】 23、等边三角形的性质及判定定理

性质：①三条边都相等 ②三个角都相等，并且每个角都等于60度

③三个“三线合一”（即每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合）

④等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。

判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形 ②三个角都相等的三角形是等边三角形。

③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

24、垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线 （1）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

（2）判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

（结论）到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点。

（3）用尺规作线段的垂直平分线:分别以线段的两个端点A 、B 为圆心，以大于AB 的一半

长为半径作弧，两弧交于M 、N ；作直线MN ，则直线MN 就是线段AB 的垂直平分线。

25、全等的图形必须满足：（1）形状相同；（2）大小相等

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。

注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

26、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。

27、三角形全等的判定定理：

（1）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）

（2）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）

（3）两角分别相等且其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等

（简写成“角角边”或“AAS ”）

（4）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。

28、 由边边边可知，只要三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小也就固定

了，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性。

A B C D

E P

F A

B C D A B P

29、平方根的有关概念：

(1) 定义：如果一个数r ，使得a r =2，那么r 叫做a 的平方根，也叫二次方根。

正数a 的的两个平方根记作： a ±

a r =2 <—> a r ±=

a 是r 的平方 r 的平方是a

r 是a 的平方根 a 的平方根是r

(2) 开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。

(3)一个正数有正、负两个平方根，且它们互为相反数 ；

零有一个平方根，它是零本身 ； 负数没有平方根

30、算术平方根：一个正数a 的正的平方根叫作a 的算术平方根，记作：a

规定：0的算术平方根是0.

a 具有双重非负性： ① 被开方数a 是非负数，即a ≥0.

② a 本身是非负数，即a ≥0。 两个公式：a a =2

a a =2)( （a ≥0.） 31、 立方根

（1）定义：如果一个数x 的立方等于a ，这个数叫做a 的立方根（也叫做三次方根），

即如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根

（2）一个数a “三次根号a ”，

其中a 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。

（3） 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根是0；

任何数都有唯一的立方根。a x =3 <—> 3a x =

a 是x 的立方 x 的立方是a

x 是a 的立方根 a 的立方根是x

（4）两个公式：33a a -=- a a a ==3333)(

32、平方根等于本身的是0， 算术平方根等于本身的是0和1

立方根等于本身的是0，1，－1

33、 1至20的平方数：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100

121，144，169，196，225，256，289，324，361，400

1至10的立方数：1，8，27，64，125，216，343，512，729，1000

34、小数点移动规则：

一个正数a 的小数点向右（或向左）移动n 2位， 它的算术平方根a 的小数点相应地向右（或向左）移动n 位

一个正数a 的小数点向右（或向左）移动n 3位， 它的立方根3a 的小数点相应地向右（或向左）移动n 位

35、有理数和无理数统称为实数 。 无限不循环小数叫作无理数

36、无理数归纳起来有以下几类：

（1）开方开不尽的数，如32,7等；

（2）化简后含有π的数，如π或3

π+8等； （3）小数点后有一定规律但不循环的小数，如0.1010010001…等；

37、实数的分类

正有理数

有理数 零 有限小数和无限循环小数

实数 负有理数

正无理数

无理数 无限不循环小数

负无理数

38、不等式的几个概念：

（1）用“＜”，“≤”，“＞”，“≥” ，“≠”等不等号连接而成的式子，

叫做不等式.

（2）能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解

（3）一个含有未知数的不等式的所有解，叫作这个不等式的解集。

（4）求不等式的解集的过程叫做解不等式。

39、不等式的基本性质

基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。

符号语言表示为：如果，那么。 基本性质2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

符号语言表示为：如果，并且，那么（或）。 基本性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

符号语言表示为：如果，并且，那么（或）

40、一元一次不等式的概念

只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，系数不为0.这样 的不等式，叫做一元一次不等式。

41、解一元一次不等式的一般步骤为：

(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.

42、不等式的解集在数轴上表示方法：“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实。

（口诀）大于向右边，小于向左边； 有等号画实心，没等号画空心

43、一元一次不等式组

由含有相同未知数的几个一元一次不等式组合在一起，叫做一元一次不等式组。 组成一元一次不等式组的几个不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集.

44、一元一次不等式组的解法

求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

解一元一次不等式组的一般步骤为：

(1)分别解不等式组中的每一个不等式；

(2)将每一个不等式的解集在数轴上表示出来，找出它们的公共部分；

(3)根据找出的公共部分写出这个一元一次不等式组的解集(若没有公共部分，说明这个

不等式组无解).

45、用数轴表示由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，一般可分为以下四种情况：

46、二次根式：一般的，式子

a ( a ≥ 0 ) 叫做二次根式。 其中“”叫做二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数。

47、二次根式有意义的条件是：根号下的被开方数≥ 0

48、二次根式的性质 （1） a a =2)( （a ≥0.） （2）a a =2

（3

（a ≥0，

b ≥0）； （4（b

≥0，a>0） 49、最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含平方因子； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根号。

=