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七年级钟面角
一、认识“钟面角”
七年级钟面角
⑴钟表的表面特点：钟表的表面都是一个圆形, 共有 12 个大格 , 每个大格间有 5 七年级
钟面角360° , 每个大格对应30°角 , 每个小格对应6°角．表面一般有时针、分针、秒针
三根指针．
⑵钟表时针、分针、秒针的转动情况：时针每小时转 1 大格 , 每 12 分钟转 1 小格 , 每
12 个小时转 1 个圆周；分针每 5 分钟转一大格 , 每 1 分钟转 1 小格 , 每小时转 1 个圆周；秒针
5 秒钟转 1 大格 , 每 1 秒钟转 1 小格 , 每 1 分钟转一个圆周．
⑶时针、分针、秒针的转速：有了以上的认识, 我们很容易计算出相应指针的转速：①
钟表的时针转速为：30° /小时或0.5° /分钟；②分针的转速为：6° /分钟或0.1° /秒钟；
③秒针的转速为：6° /秒．
有了这些对钟面角的基本认识 , 我们就可以探究与钟面角有关的问题
了．二、解决与钟面角有关的数学问题
⒈计算从某一时刻到另一时刻, 时针（分针）转过的角度
⑴公式法：时（分）针从某一时刻到另一时刻转过的角度=时（分）针转过的时间×
时（分）针的转速（注意统一单位）．
⑵观察法：若时（分）针转过了 a 大格 b 小格 , 则时（分）针从某一时刻到另一时刻转
过的角度为：30a+6b°．
例 1.⑴从3：15到7：45,时针转过度．
⑵从 1：45 到 2：05, 分针转过度．
分析：⑴从3：15 到 7：45, 时针走过的时间为 4.5 小时（ 270 分钟） , ∴时针转过的角度
为： 4.5× 30° =135 °（或 270× 0.5° =135°）
或用观察法：时针共走了 4 大格 2.5 小格 , ∴时针转过的角度为：4× 30+2.5× 6=135°．
⑵从 1： 45 到 2： 05, 分钟走过的时间为20 分钟 , ∴分针转过的角度为：20×6° =120 °．
或用观察法：分针共走了 4 个大格（或20 小格）∴分针转过的角度为：4× 30°=120 °（或： 20×6° =120°）．
⒉计算某一时刻时针（分针）与分针（秒针）之间的夹角
⑴求差法：以0 点（ 12 时）为基准到某一时刻止, 时针转过的角度与分针在整点后的
时间转过的角度差, 即时针、分针之间的夹角．
⑵观察法：某一时刻时针、分针相差 a 个大格b个小格,时针分针的钟面角
=30a+6b°．
例 2．⑴ 4： 00 点整 , 时针、分针的夹角为．
⑵11： 40, 时针、分针的夹角为．
分析：⑴ 4： 00 整 , 时针、分针相差 4 个大格 , 夹角为： 4×30° =120°．
⑵①作差法： 11： 40, 以 0 点（ 12 时）为基准
时针转过的角度为：11× 30°=350°
分针转过的角度为：40× 6°=240°
∴时针、分针的夹角为：350°－ 240°=110°
②观察法： 11： 40 分针、时针相隔3个大格,∴时针、分针的夹角为：3× 30° =110°
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⒊求时针、分针成特殊角时对应的时间
方程思想：时针、分针成特殊角时对应的时间问题, 通常以0 点（ 12 时）为基准将时
针、分针所转过的角度可看成一个追及问题, 从而借助方程进行求解．
相等关系：①整点后分针转过的角度－整点后时针转过的角度=整点时分针、时针的夹角（分针需追赶的角度）+a 时 x 分分针与指针的夹角（分针应多转的角度）
②或：分针整点后转过的角度—时针从0 点基准到现在时刻转过的角度=所成的特殊
角例 3．你能用一元一次方程解决下面的问题吗？（课本习题P114 页第 8 题）在 3 时和 4 时之间的哪个时刻, 钟的分针与时针：⑴重合；⑵成平角；⑶成直角．
分析：⑴重合：设 3 时 x 分时针、分针重合． 3 时整 , 时针、分针的夹角为90°．即在后 x 分钟 , 分针要比时针多走90° , 分针才能追及时针重合．
从 3 时整到 3 时 x 分 , 分针走过6x 度角 , 时针走过0.5x 度角．依题意有
6x－ 0.5x=90解得：x≈16
⑵分针与时针成平角：设 3 时 x 分时针、分针成平角 , 即在后 x 分钟 , 分针先要多走 90°追及时针 , 然后还要比时针多走 180°．依题意有
6x－ 0.5x=90+180解得：x≈49
⑶分针与时针成直角：应分两种情况讨论．
①分针在时针的顺时针方向垂直．此时钟面角为90°．即在后x 分钟 , 分针先要多走90°追及时针 , 然后还要比时针多走
90°．依题意有
6x－ 0.5x=90+90180解得：x≈33
②分针在时针的逆时针方向垂直．此时钟面角为270°．即在后x 分钟 , 分针先要多走90°追及时针 , 然后还要比时针多走270°．依题意有
6x－ 0.5x=90+90180解得：x≈65（不合题意,舍去）
⒋钟面角的综合应用
例4.在一个圆形时钟的表面 , OA 表示秒钟 , OB 表示分钟（ O 为两针的旋转中心）．若
现在时间恰好是 12 点整 , 问经过多少秒后 , △OAB 的面积第一次达到最大？
分析：△ OAB 的面积最大 , 设 OA 边上的高为h, 则 h 总小于等于OB , 只有当 OA ⊥ OB
时, h=OB , 此时△ OAB 的面积最大．12 点整 , 分针、秒针重合, 设经过x 秒 , 分针、秒针第一次垂直, △ OAB的面积第一次
达到最大．此时秒针走过角度为6x, 分针走过的角度为0.1x．依题意有
6x— 0.1x=90解得x=15
即经过 15秒后,△OAB的面积第一次达到最大．
钟表夹角问题公式
钟面上分 12 大格 60 小格。每 1 大格均为 360 除以 12 等于 30 度。每过一分钟分针走 6 度,时针走 0.5 度,能追 5.5 度。公式可这样得来：
X 时时 ,夹角为 30X 度。
Y 分,也就是分针追了时针 5.5Y 度。可用：整点时的度数 30X 减去追了的度数 5.5Y 。如果减得的差是负数 ,则取绝对值 ,也就是直接把负号去掉 ,因为度数为非负数。
因为时针与分针一般有两个夹角,一个小于 180 度,一个大于 180
度,(180 度时只有一个夹角 )
因此公式可表示为： |30X-5.5Y| 或 360-|30X-5.5Y| 度。 ||为绝对值符号。
如： 2：10, 可代入得： 60-55=5 度。大于 180 度的角为： 355 度。如： 11：20,330-110=220 度,小于 180 的角： 360-220=140度。：
比方说现在是 X 时 Y 分（ X 要小于等于 12 ）,
则时针过数字 X 为 Y/60 * 30 = Y/2 度
而分针指在 Y/5
= (Y/5 - X)*30 - Y/2 = 11Y/2 - 30X 度
所以时钟和分针的夹角
我们先设求 m 时 n 分时指针夹角度数 ,先求 m 时 n 分时针分针相对
于 12 时转过的相对度数：时针转过的度数为0.5（60+n ）°,分针转过的度数为 6n°,再用时针与分针转过的相对度数大值减小值,如果大于180°,再用 360°减去所求差 ,求出的为最后结
果。这样我们就可以得出公式：
|0.5（ 60+n ）°-6n °|或360°-|0.5 （60+n ）°-6n °|