三刚度矩阵

第三节 刚度矩阵

——节点载荷与节点位移之间的关系

一、 单元刚度矩阵

1. 单元刚度矩阵

xj

单元e 是在节点力作用下处于平衡。节点i 的节点力为

{}T

i xi

yi R R R ??=?? （i , j , m 轮换）

则单元e 的节点力列阵为

{}

T

e

T

T T m

i j

T

xm ym xi yi xj yj R R R R R R R R R R ???

?

????

=

=

单元应力列阵为

{}

T

e

x y xy σσστ????

=

假定弹性体的所有节点都产生一虚位移，单元e 的三个节点的虚位移为

{}

*

*****

*e

T m

m i i j j

u v u v u v δ???

?

= 单元虚应变列阵为

{}

****T

x y xy εεεγ????

??

=

参照式（3-7），则单元虚应变为

{}

{}*

*

e

e

B εδ

????=

作用在弹性体上的外力在虚位移上所做的功为：

{}{}*

e

T

e R δ?

? ?

?

?

单元内的应力在虚应变上所做的功为：

{}{}*T

e tdxdy εσ?

?? ??

?

??

根据虚位移原理，可得单元的虚功方程

{}

{}{}

{}**e

T

T

e e R tdxdy δεσ?

????

? ???

??

=

??

或

{}{}

{}{}*

*

e

T

T

T

e e B R tdxdy δδσ?

?

????? ?

?

??

?

?

?

?

=??

故有

{}

{}e

T

B R tdxdy σ?

????

=

??

将式（3-10）代入，的

{}

{}{}e

e

e

T

T

D B D B R B B tdxdy

tdxdy δδ??

???

????????????

?????????=

=

????

（3-27）

简记为

{}{}e

e e

k R δ??

??

= （3-29）

--------上式表征单元节点力与节点位移之间的关系，称为单元刚度方程（单元平衡方程） 其中

T

e

D B B k tdxdy ?

?????

???????????

=

??

（3-28） e

k ????称之为单元刚度矩阵（简称为单刚）

，是66?矩阵。 如果单元的材料是均质的，矩阵D ????中的元素也是常量，且在三角形常应变的情况下，矩阵B ????中的元素也是常

数，当单元的厚度也是常数时，注意到

dxdy ?

=???

，于

是单元刚度矩阵可简化为

T

e

B D B t k ??????????

????

????

?= （3-30）

将单元刚度矩阵按节点号写成分块矩阵形式：

66

e

ii ij im

ji jj jm mm mi

mj k

k k k k k k k k k ???

??

????????

????

????

= （3-31）

其中任一子块[]rs k (r ，s=i ，j ，m ）是一个2×2子矩阵，

为

[][][][]T

r

s

rs k B D B t =? (r ，s=i ，j ，m ）

（1）对于平面应力问题

将[]B 和平面应力问题的弹性矩阵[]D 代入，得

T

rs r s k B D B t ???

?????????????=? ()

2

112

2

114122r s r s r s r s r s r s r s r s b b c c b c c b Et c b b c

c c b b μμμμμμμ--?

?

++??

=??

---???

++???

?

(r ，s=i ，j ，m ） （3-32）

（2）对于平面应变问题

将[]B 和平面应变问题的弹性矩阵[]D 代入，得

()()()()()()()

1212211211121212121e rs k b b c c b c c b r s r s r s r s E t c b b c c c b b r s r s r s r s

μμμμμμμμμμ

μμμμμ?

?

????

???????????

?

--++----=

--++--- (r,s=i ，j ，m ） （3-33）

（注：是将式（3-32）中的,E μ分别换成2

1E μ

- 和

1μ

μ

-）

2. 单元刚度矩阵的性质 （1）

e

k ??

??

的物理意义

式（3-29）可完整写为

13141516

111221222324252633343536

3132434445464142555152535456616263646i i j

j

m

m

e

U k k k k k k V k k k k k k k k k k U k k k k k k k k V k k k k k k U k k k k k V

??

????

????????????

??????????????????????????????

??????????????

??

=??????????????????

5

66i

i j j m m e

u v u v u k v ??

?????

?

???????

???

??????????

????????????????????

??

可见每个节点在x 和y 方向上有二个平衡方程，3个节点共有六个平衡方程。

单元刚度矩阵[]e

k 中的任一元素称为刚度系数，其物理意义为：

ij k -----当单元的第j 个节点有单位位移，而其它节点位移为

零时，需在单元第i 个节点位移方向上施加的节点力的大小。 例如， 23k 表示是第3个节点有水平（x ）方向单位位移（即

31u =）时，而其它节点位移分量均为零时，在第2个节点

所引起的铅垂（y ）方向的节点力。

（2）单元刚度矩阵只取决于单元形状，大小，方向和弹性常数，而与单元的位置无关。即e

k ????不随单元坐标平移而改变，这叫单元刚度的平移原理。

23

5

例如图示结构，有 []

[]

(1)

(3)

k k =

另外，可以证明 []

[]

(1)

(2)

B B

=-

则有 []

[]

(1)

(2)

k k =

即单元旋转180?

后，单元刚度矩阵相等。这是单元刚度旋转原理。 （3） 单元刚度矩阵是对称矩阵。

因为 []

[][]T

e

k B D B t ????=?

所以有

[]()[][][]()

T

T

e

T

t k B D B =

?

[]

[

][]T

T

T

T B D B t =?????[][][]T B D B t =?e k ????=

（4）单元刚度矩阵是奇异矩阵。

即 0e

k ????

=

因为 {}[]

{}

e

e e R k δ=

当节点位移已知时，节点力是唯一确定的，而{}e

R 已知时，

{}e

δ不能唯一确定，因为单元没有支承，可以产生任意的刚

体位移。

根据上述性质：对于上图结构，在节点力为零时，单元仍可产生刚体位移，即

0111213141516U k u k v k u k v k u k v i i i j j m m

==+++++此时 0u u u

u i j m

=== ，0

v v v v i j m === ，单元产生

刚体位移0u ，0v 为任意的。故有

()()011131501214160k k k u k k k v +++++=

由于,00

u v 的任意性，则

0111315k k k ++= ， 0121416

k k k ++=

从而得

0111315121416

k k k k k k +++++= 同理可得：单元刚度矩阵任意一行（列）元素之和为零。 （5）单元刚度矩阵主对角线上的元素恒为正。

即 0(1,2,,6

ii k i >=

二、 整体分析

假设弹性体被分成m 个单元和n 个节点，对每一个单元进行前面的运算，则得到m 组型如

{}{}

e e

e k R δ????

=

的方程。把这些方程集合起来，便可得到表征整体弹性体平衡的刚度方程：

{}{}

2121

22n n n n k R δ?????????

= （3-37） 式中 1. {}21n δ

?-------整体结构的节点位移列阵，是由各节点

位移按节点号码从小到大顺序排列组成的，即

{}1

2

T

T T T n δδδδ

???

?=

其中 {}T

i i

i u v δ???

?

= （i=1, 2，…，n ）

P 3

P

例如图示结构有

{}123411223344T

T T T T T

u v u v u v u v δδδδδ????

?

?

????

==

2.

{}21n R ?-------整体结构的节点载荷列阵， 是由各

节点载荷按节点号码从小到大顺序排列组成的，即

{}

1

2

T T T

T n R R R R ????=

其中

{}T

i i x i y

R R R ?????

?

= （i=1, 2，…，n ） 例如图示结构有

{}114431

2

4032T x y x y T

T T T P P R R P R R R R R R R ????

??

=??

??

=

--

2. 22n n

k ???????

-------整体结构的刚度矩阵（总刚）

（1）22n n

k ?????

的组集（“对号入座”法）

22m

e n n

e

k k ???????????

=∑

例图示结构有 单元1

22

2421(1)424441121411ii ij im

ji jj jm mm mi mj k k k k k k k k

k k k k k k k k k k k ???

?

????

??????????

??

????

?????

?

==

单元2

444243(2)24

2223343233ii ij im

ji jj jm mm mi mj k k k k k k k k

k k k k k k k k k k k ???

?

????

??????????

??

????

???

?

?

?==

注：在单元刚度矩阵中，各子块的下标表示该子块在总刚中

的位置。

则总刚为

(1)(1)(1)

111214(1)(1)(2)(2)(1)(2)21

2222232424(2)(2)(2)

323334(1)(1)(2)(2)(1)(2)41

424243

44448800

k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ????????

??????????

??

????

?++=++

（2）总刚的性质 ⅰ. 整体刚度矩阵的物理意义

[]K 中每一列元素的物理意义为：

欲使弹性体的某一个节点在坐标轴方向发生单位位移，而其它节点都保持为零状态，在各节点上所需要加施加的节点力。

由式可以看出，令节点1在坐标轴x 方向有单位位移，即11u =，而其余的节点位移为零时，即v 1=u 2=v 2=u 3=v 3=······= u 2n =v 2n =0，这样就可得到节点载荷列阵等于总刚[]k 的第一列元素组成的列阵，即

…………112211213141(21)1(2)1T

nx

ny x y x y T

n n R R R R R R K K K K K K ?

?

??

???

?

-??

??

=

ⅱ. 总刚k ????是对称矩阵 ⅲ. 总刚k ????是奇异矩阵

ⅳ. 总刚k ????

主对角线上的元素恒为正，即 0(1,2,,2

)ii k i n >= ⅴ. 总刚[]k 是一个稀疏矩阵。

若遵守一定的节点编号规则，则非零元素集中在主对角线附近呈带状分布。 单元越多，总刚[]k 越稀疏。

0,0/rs r s r s

k ???

??????

??????

????

≠==同属于一个单元的两个节点

号码

非零元素集中在主对角线两侧，在包括对角线元素在内的半个带形区域中，具有最多元素的数目称为最大半带宽（半带宽），用B 表示：

B=（max{单元节点号码的最大差值}+1）×节点自由度数

半带宽取决于节点号码的最大差值。半带宽越窄，计算机的存储量就越少。所以，在划分有限元网格进行节点编号时，要采用合理的编码方式，使同一单元中两节点的号码差尽可能地小，以便使半带宽小，节省存储空间，提高计算效率。而且还可以大幅度减少求解方程所需的运算次数，其效果对大型结构显得尤为突出。

10

1234

56

7

8

9

1234567

8910

（a ） （b ）

对于图（a ） B=[(7-1)+1]×2=14 对于图（b ） B=[(4-1)+1]×2=8

ⅳ. 总刚[]k 的存储方式

通常的有限元程序，一般都利用总刚的对称性和稀疏性的特点，在计算时采用：

半带宽存储-------------只存储上半带的元素 一维变带宽存储 分块一维变带宽存储