山东省自学考试强化概率论与数理统计实践作业

第一章随机事件与概率

1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。

2.设3

1)(=A P ，2

1)(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ：

（1）AB =?，（2）B A ?，（3）8

1)(=AB P

3.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？

4．进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为，试求以下事件的概率：

（1）直到第r 次才成功；

（2）在n 次中取得)1(n r r ≤≤次成功；

5. 设事件A ，B 的概率都大于零，说明以下四种叙述分别属于那一种：（a ）必然对，（b ）必然错，（c ）可能对也可能错，并说明理由。

（1）若A ，B 互不相容，则它们相互独立。 （2）若A 与B 相互独立，则它们互不相容。 （3）()()0.6P A P B ==，则A 与B 互不相容。 （4）()()0.6P A P B ==，则A 与B 相互独立。

6. 有甲、乙两个盒子，甲盒中放有3个白球，2个红球；乙盒中放有4个白球，4个红球，现从甲盒中随机地取一个球放到乙盒中，再从乙盒中取出一球，试求：

(1)从乙盒中取出的球是白球的概率；

(2)若已知从乙盒中取出的球是白球，则从甲盒中取出的球是白球的概率。

7.思考题：讨论对立、互斥（互不相容）和独立性之间的关系。

第二章随机变量及其概率分布

1.设X 的概率分布列为：

F(x)为其分布的函数，则F （2）=？ 2．设随机变量X 的概率密度为

f (x )=??

???≤>,

1,0;1,2

x x x

c

则常数c 等于？

3.一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻 (1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少？ (2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少？ (3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少？ (4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少？

4.设随机变量K 在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 42x + 4Kx + K + 2 = 0 有实根的概率。

5.假设打一次电话所用时间（单位：分）X 服从2.0=α的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。

6. 随机变量X ～N (3, 4), (1) 求 P(22),P(X>3)；

（2）确定c ，使得 P(X>c) = P(X

7．设随机变量X 与Y 相互独立，且X ，Y 的分布律分别为

试求：（1）二维随机变量（X ，Y ）的分布律；（2）随机变量Z=XY 的分布律.

8. 思考题:举出几个随机变量的例子。

第三章 多维随机变量及其概率分布

1.设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X 表示取到的红球个数，用Y 表示取到的白球个数，写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。

2.设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为：

试根椐下列条件分别求a 和b 的值；

(1)6.0)1(==X P ；

(2)5.0)2|1(===Y X P ；

(3)设)(x F 是Y 的分布函数，

5.0)5.1(=F 。

3.)(Y X 、的联合密度函数为：?

??<<<<+=他其01

0,10)(),(y x y x k y x f

求（1）常数k ；（2）P(X<1/2,Y<1/2)；(3) P(X+Y<1)；(4) P(X<1/2)。

4．)(Y X 、的联合密度函数为：?

?

?<<<<=他其00,10),(x

y x kxy y x f

求（1）常数k ；（2）P(X+Y<1)；(3) P(X<1/2)。

5.设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求X 与Y 的边缘密度函数。

+∞<<∞-+∞<<∞-++=

y x y x y x f ,)

1)(1(1

),(222π

6. 设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求X 与Y 的边缘密度函数。

??

?<<=-他

其0

0),(x

y e y x f x

7. (X, Y) 的联合分布律如下， 试根椐下列条件分别求a 和b 的值；

(1) 3/1)1(==Y P ；

(2) 5.0)2|1(==>Y X P ；

（3）已知X 与Y 相互独立。

8.(X,Y) 的联合密度函数如下，求常数c ，并讨论X 与Y 是否相互独立？

??

?<<<<=他

其

10,10),(2

y x cxy y x f

9.思考题：联合分布能决定边缘分布吗？反之呢？

第四章 随机变量的数字特征

1．盒中有5个球，其中2个红球，随机地取3个，用X 表示取到的红球的个数，则EX 是：

（A ）1； （B ）1.2； （C ）1.5； （D ）2.

2.设

X

有密度函数：

??

???=08

3)(2x x f 他

其

42≤≤x , 求

)1

(

),12(),(2X

E X E X E -,并求X 大于数学期望)(X E 的概率。 3.设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为

已知65.0)(=XY E ， 则a 和b 的值是：

（A ）a=0.1, b=0.3； （B ）a=0.3, b=0.1； （C ）a=0.2, b=0.2； （D ）a=0.15, b=0.25。

4．设随机变量 (X, Y) 的联合密度函数如下：求

)1(,,+XY E EY EX 。

?

?

?<<<<=他其02

0,10),(y x xy y x f 5．设X 有分布律： 是：

则

)

32(2+-X X E

（A ）1；（B ）2； （C ）3； （D ）4.

6.丢一颗均匀的骰子，用X 表示点数，求DX EX ,.

7.X 有密度函数：?

??+=04/)1()(x x f 他其2

0≤≤x ，求 D(X).

8.设(2)X P ,)6.0,3(~B Y ,相互独立，则)2(),2(Y X D Y X E --的

值分别是：

（A ）-1.6和4.88； （B ）-1和4； （C ）1.6和4.88； （D ）1.6和-4.88.

9. 设)3,4(~),,(~N Y b a U X ，X 与Y 有相同的期望和方差，求

b a ,的值。

（A ） 0和8； （B ） 1和7； （C ） 2和6； （D ） 3和5.

10．下列结论不正确的是（ ） （A ）X 与Y 相互独立，则X 与Y 不相关； （B ）X 与Y 相关，则X 与Y 不相互独立； （C ）)()()(Y E X E XY E =，则X 与Y 相互独立； （D ）)()(),(y f x f y x f Y X =，则X 与Y 不相关； 11．若 0),(=Y X COV ，则不正确的是（ ） （A ）)()()(Y E X E XY E =；（B ）)()()(Y E X E Y X E +=+； （C ）)()()(Y D X D XY D =；（D ）)()()(Y D X D Y X D +=+；

12．（Y X ,）有联合分布律如下，试分析X 与Y 的相关性和独立性。

13．)()()(Y E X E XY E =是X 与Y 不相关的（ ）

（A ）必要条件；（B ）充分条件：（C ）充要条件；（D ）既不必要，也不充分。

14. )()()(Y E X E XY E =是X 与Y 相互独立的（ ）

（A ） 必要条件；（B ）充分条件：（C ）充要条件；（D ）既不必要，也

不充分。

15.思考题：（1） 设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下：试验证X 与Y 不相关，但不独立。

?

?

?<<=他其01

4/21),(22y x y x y x f （2）设),(Y X 有?????<<=他其0

1

45

),(2y x y y x f ，试验证)()()(Y E X E XY E =，但

X

与Y 不相互独立

讨论)()()(Y E X E XY E =与独立性，相关性与独立性之间的关系

第五章大数定律及中心极限定理

1.一批元件的寿命（以小时计）服从参数为0.004的指数分布，现有元件30只，一只在用，其余29只备用，当使用的一只损坏时，

立即换上备用件，利用中心极限定理求30只元件至少能使用一年（8760小时）的近似概率。

2.某一随机试验，“成功”的概率为0.04，独立重复100次，由中心极限定理求最多“成功”6次的概率的近似值。

第六章样本与统计量

1.有n=10的样本；1.2， 1.4， 1.9，

2.0， 1.5， 1.5， 1.6， 1.4， 1.8， 1.4，则样本均值X = ，样本均方差=S ，样本方差=2S 。

2．设总体方差为2b 有样本n X X X ,,,21 ，样本均值为X ，则

=),(1X X Co v 。

3. 查有关的附表，下列分位点的值：9.0Z =，)5(21.0χ= ，)10(9.0t = 。 4．设n X X X ,,,21 是总体)(2m χ的样本，求)(),(X D X E 。 5．设总体),(~2σμN X ，样本n X X X ,,,21 ，样本均值X ，样本方差2S ，则

~/n

X σμ

- ，

~/n

S X μ

- ，

∑=-n

i i

X X

1

2

2

)(1

σ～ ，

∑=-n

i i

X

1

22

)(1

μσ～

第七章 参数估计

1.设总体X 的密度函数为：????

?≤≤=-他

其

10)(1

x x

x f θθ，有样本

n X X X ,,,21 ，求未知参数θ 的矩估计。

2.每分钟通过某桥量的汽车辆数)(~λπX ，为估计λ的值，在实地随机地调查了20次，每次1分钟，结果如下：次数： 2 3 4 5 6

量数： 9 5 3 7 4 试求λ的一阶矩估计和二阶矩估计。

3.设总体X 的密度函数为：????

?≤≤+=他

其

10)1()(x x

x f θ

θ，有样本

n X X X ,,,21 ，求未知参数θ 的极大似然估计。

4.纤度是衡量纤维粗细程度的一个量，某厂化纤纤度),(~2σμN X ,抽取9根纤维，

测量其纤度为：1.36，1.49，1.43，1.41，1.27，1.40，1.32，1.42，1.47，试求μ的置信度为95.0的置信区间，（1）若22048.0=σ,（2）若2σ未知

5. 为分析某自动设备加工的另件的精度，抽查16个另件，测量其长度，得075.12=x ㎜，s = 0.0494㎜,设另件长度),(~2σμN X ,取置信度为95.0，（1）求2σ的置信区间，（2）求σ的置信区间。

第八章假设检验

1.某种电子元件的阻值（欧姆）)400,1000(~N X ,随机抽取25个元件，测得平均电阻值992=x ，试在1.0=α下检验电阻值的期望μ是否符合要求？

2.在上题中若2σ未知，而25个元件的均方差25=s ，则需如何检验，结论是什么？

3.成年男子肺活量为3750=μ毫升的正态分布，选取20名成年男子参加某项体育锻练一定时期后，测定他们的肺活量，得平均值为

3808=x 毫升，设方差为22120=σ，试检验肺活量均值的提高是否显著

（取02.0=α）？

强化实践能力培养的等级评价标准

总分为30分，按3个档次给分，依据学生对作业的完成情况与读书报告写作情况先确定其所属档次，再根据题目具体完成情况给分。题目完成情况按照应用知识点是否正确，结果是否正确给分。结果不对，但依然应用了正确知识点，认为基本正确。

第一档（优）：（20-30分）

（1）每章至少完成了一道大纲作业题，题目完成基本正确，给予满分30分。

（2）如果能完成8道以上大纲作业题（允许存在部分基本准确题目）外加一篇对课程有基本准确认识的读书报告，也给予满分30分。（3）每章至少完成了一道大纲作业题，部分题目结果不准确，但应用了正确的课程知识点，识大纲作业完成情况给予23-28分。

第二档（良）：（10-20分）

（1）所完成大纲作业题涉及不超过50%章节且没有读书报告。

（2）未完成任何大纲作业题目仅提交读书报告最多给20分。

（3）完成5道以下大纲作业题加读书报告给15-20分。

第三档（差）（0-10分）

（1）仅完成5道以下大纲作业题。

（2）没有自己的课程读书报告。