马心同-物理建模系列(六) 四类常见平抛运动模型

物理建模系列(六) 四类常见平抛运动模型

模型一 水平地面上空h 处的平抛运动 由h ＝1

2

gt 2知t ＝

2h

g

，即t 由高度h 决定．

甲

模型二 半圆内的平抛运动(如图甲) 由半径和几何关系制约时间t ： h ＝12gt 2 R ±R 2－h 2＝v 0t 联立两方程可求t .

模型三 斜面上的平抛运动

乙

1．顺着斜面平抛(如图乙) 方法：分解位移 x ＝v 0t y ＝12

gt 2 tan θ＝y

x 可求得t ＝2v 0tan θg

丙

2．对着斜面平抛(如图丙) 方法：分解速度 v x ＝v 0 v y ＝gt tan θ＝v y v 0＝gt v 0

可求得t ＝v 0tan θ

g

模型四 对着竖直墙壁的平抛运动(如图丁)

丁

水平初速度v 0不同时，虽然落点不同，但水平位移相同． t ＝d v 0

例1 如图，从半径为R ＝1 m 的半圆AB 上的A 点水平抛出一个可视为质点的小球，经t ＝0.4 s 小球落到半圆上．已知当地的重力加速度g ＝10 m/s 2，则小球的初速度v 0可能为( )

A ．1 m/s

B ．2 m/s C.3 m/s

D ．4 m/s

【解析】 由于小球经0.4 s 落到半圆上，下落的高度h ＝12gt 2＝0.8 m ，位置可能有两处，

如图所示．

第一种可能：小球落在半圆左侧，v 0t ＝R －R 2－h 2＝0.4 m ，v 0＝1 m/s 第二种可能：小球落在半圆右侧，

v 0t ＝R ＋R 2－h 2，v 0＝4 m/s ，选项A 、D 正确． 【答案】 AD

例2 如图所示，斜面上有a 、b 、c 、d 四个点，ab ＝bc ＝cd .从a 点正上方的O 点以速度v 水平抛出一个小球，它落在斜面上b 点．若小球从O 点以速度2v 水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的( )

A ．b 与c 之间某一点

B ．c 点

C ．c 与d 之间某一点

D ．d 点

【解析】 如图所示，过b 点做水平线be ，由题意知小球第一次落在b 点，第二次速度变为原来的2倍后，轨迹为Oc ′，c ′在c 的正下方be 线上，故轨迹与斜面的交点应在bc 之间．据运动规律作图越直观，对解决问题越有利．

【答案】 A

[高考真题]

1. (2015·课标卷Ⅰ，18)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L 1和L 2，中间球网高度为h .发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h .不计空气的作用，重力加速度大小为g .若乒乓球的发射速率v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的最大取值范围是( )

A.L 12g

6h ＜v ＜L 1g

6h

B.L 14g

h ＜v ＜ (4L 21＋L 2

2)g

6h C.L 12g 6h ＜v ＜12 (4L 21＋L 2

2)g

6h D.L 14

g h ＜v ＜12

(4L 21＋L 2

2)g

6h

【解析】 发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动． 当速度v 最小时，球沿中线恰好过网，有： 3h －h ＝gt 21

2①

L 1

2

＝v 1t 1② 联立①②得v 1＝

L 1

4

g h

当速度最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有

12

4L 21＋L 2

2＝v 2t 2③ 3h ＝12gt 22

④

联立③④得v 2＝1

2

(4L 21＋L 2

2)g

6h

所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v 的最大取值范围为

L 1

4g h ＜v ＜12 (4L 21＋L 22)g

6h

，选项D 正确．

【答案】 D

2.(2016·上海卷，23)如图，圆弧形凹槽固定在水平地面上，其中ABC 是位于竖直平面内以O 为圆心的一段圆弧，OA 与竖直方向的夹角为α.一小球以速度v 0从桌面边缘P 水平抛出，恰好从A 点沿圆弧的切线方向进入凹槽．小球从P 到A 的运动时间为 ________ ；直线P A 与竖直方向的夹角β＝ ________ .

【解析】 据题意，小球从P 点抛出后做平抛运动，小球运动到A 点时将速度分解，有tan α＝v y v x ＝gt v 0，则小球运动到A 点的时间为：t ＝v 0tan αg ；从P 点到A 点的位移关系有：

tan β＝v 0t 12

gt 2＝2v 0gt ＝2

tan α＝2cot α，所以P A 与竖直方向的夹角为：β＝arctan(2cot α)．

【答案】

v 0tan α

g

arctan(2cot α) 3.(2014·江苏卷，6)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验．小锤打击弹性金属片，A 球水平抛出，同时B 球被松开，自由下落．关于该实验，下列说法中正确的有( )

A ．两球的质量应相等

B ．两球应同时落地

C ．应改变装置的高度，多次实验

D ．实验也能说明A 球在水平方向上做匀速直线运动

【解析】 小锤打击弹性金属片后，A 球做平抛运动，B 球做自由落体运动．A 球在竖直方向上的运动情况与B 球相同，做自由落体运动，因此两球同时落地．实验时，需A 、B 两球从同一高度开始运动，对质量没有要求，但两球的初始高度及击打力度应该有变化，实验时要进行3～5次得出结论．本实验不能说明A 球在水平方向上的运动性质，故选项B 、C 正确，选项A 、D 错误．

【答案】 BC

[名校模拟]

4．(2018·山东师大附中高三模拟)如图所示，A 、B 两质点从同一点O 分别以相同的水平速度v 0沿x 轴正方向抛出，A 在竖直平面内运动，落地点为P 1；B 沿光滑斜面运动，落地点为P 2，P 1和P 2在同一水平面上，不计阻力，则下列说法正确的是( )

A ．A 、

B 的运动时间相同 B ．A 、B 沿x 轴方向的位移相同

C ．A 、B 运动过程中的加速度大小相同

D ．A 、B 落地时速度大小相同

【解析】 设O 点与水平面的高度差为h ，由h ＝12gt 21，h sin θ＝1

2g sin θ·t 22可得：t 1＝2h

g

，t 2＝

2h

g sin 2θ

，故t 1＜t 2，A 错误；由x 1＝v 0t 1，x 2＝v 0t 2，可知，x 1＜x 2，B 错误；由a 1＝g ，a 2＝g sin θ可知，C 错误；A 落地的速度大小为v A ＝v 20＋(gt 1)2＝v 2

0＋2gh ，B 落地的速度大小v B ＝v 20＋(a 2·t 2)2＝v 20＋2gh ，所以v A ＝v B ，故D 正确．

【答案】 D

5．(2018·山东烟台高三上学期期中)如图所示，斜面倾角为θ，从斜面上的P 点以v 0的速度水平抛出一个小球，不计空气阻力，当地的重力加速度为g ，若小球落到斜面上，则此过程中( )

A ．小球飞行时间为2v 0tan θ

g

B ．小球的水平位移为2v 20

tan θg

C ．小球下落的高度为2v 20sin θ

g

D ．小球刚要落到斜面上时的速度方向可能与斜面垂直

【解析】 由x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，tan θ＝y x 三式得t ＝2v 0tan θg ，水平位移x ＝2v 20tan θ

g

，小

球下落高度y ＝12gt 2＝2v 20tan 2

θ

g

.小球落在斜面上，速度方向斜向右下方，不可能与斜面垂直．A 、

B 正确．

【答案】 AB

6．(2018·山东淄博一中高三上学期期中)如图所示，位于同一高度的小球A 、B 分别以v 1和v 2的速度水平抛出，都落在了倾角为45°的斜面上的C 点，小球B 恰好垂直打到斜面上，则A 、B 到达C 点的速度之比为( )

A ．2∶1

B ．1∶1 C.2∶ 5

D ．5∶22

【解析】 对于A 球：x ＝v 1t ，y ＝12gt 2，x ＝y ，t ＝2v 1g ，v A ＝v 21＋v 2y ＝5v 1；对于B 球：v 2＝v y ＝g ·t ＝2v 1，v B ＝22v 1，所以v 1∶v 2＝5∶2 2.

【答案】 D

课时作业(十一) [基础小题练]

1.(2018·山东临沂高三上学期期中)在一次投球游戏中，某同学调整好力度，将球水平抛向放在地面的小桶中，结果球飞到小桶的右方(如图所示)，不计空气阻力，则下次再投时，他可能作出的调整为( )

A ．减小初速度，抛出点高度不变

B ．增大初速度，抛出点高度不变

C ．初速度大小不变，提高抛出点高度

D ．初速度大小不变，降低抛出点高度 【解析】 由x ＝v 0t ，y ＝1

2

gt 2，得x ＝v 0

2y

g

，球飞到小桶右方，说明水平位移偏大，可使高度不变，减小v 0，或v 0不变，降低高度，A 、D 正确．

【答案】 AD

2．从同一水平直线上的两位置分别沿同方向抛出两小球A 和B ，其运动轨迹如图所示，不计空气阻力．要使两球在空中相遇，则必须( )

A ．两球的初速度一样大

B ．B 球初速度比A 大

C ．同时抛出两球

D ．先抛出A 球

【解析】 小球在竖直方向上做自由落体运动，由h ＝1

2gt 2，两小球从同一高度抛出在

空中某处相遇，则两小球下落时间相同，故说明两小球从同一时刻抛出，C 正确，D 错误；由x ＝v 0t ，A 球的水平位移大，说明A 的初速度大，A 、B 错误．

【答案】 C

3.一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m ，一小球以水平速度v 飞出，g 取10 m/s 2，欲打在第四台阶上，则v 的取值范围是( )

A. 6 m/s

【解析】 根据平抛运动规律有：x ＝v t ，y ＝1

2gt 2，若打在第3台阶与第4台阶边沿，

则根据几何关系有：v t ＝12gt 2，得v ＝12gt ，如果落到第四台阶上，有：3×0.4<1

2

gt 2≤4×0.4，

代入v ＝1

2

gt ，得 6 m/s

【答案】 A

4．一带有乒乓球发射机的乒乓球台水平台面的长是宽的2倍，中间球网高h ，发射机安装于台面左侧边缘的中点，发射点的高度可调，发射机能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，不计空气阻力，当发射点距台面高度为3h 且发射机正对右侧台面的外边角以速度v 1发射时，乒乓球恰好击中边角，如图所示；当发射点距台面高度调为H 且发射机正对右侧台面以速度v 2发射时，乒乓球恰好能过球网且击中右侧台面边缘，则( )

A.H h ＝43，v 1v 2＝17

6 B ．H h ＝21，v 1v 2＝176

C.H h ＝43，v 1v 2＝23

D ．H h ＝21，v 1v 2＝23

【解析】 设乒乓球台宽为L ，乒乓球的运动是平抛运动，当以速度v 1发射时，由平抛规律知3h ＝1

2gt 21

，

(2L )2＋????L 22＝v 1t 1，联立解得v 1＝L

2

17g

6 h

；同理，当以速度v 2发射时，H ＝12gt 22，2L ＝v 2t 2，H －h ＝12gt 23，L ＝v 2t 3，联立解得H ＝4

3 h ，v 2＝L 3g 2h ，所以H h ＝43

，v 1v 2＝176

，A 正确． 【答案】 A

5．(2018·山东师大附中高三上学期二模)如图所示，一小球从一半圆轨道左端A 点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B 点．O 为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R ，OB 与水平方向夹角为60°，重力加速度为g ，则小球抛出时的初速度为( )

A. 3gR

2 B ． 33gR

2 C.

3gR

2

D ．

3gR

3

【解析】 画出小球在B 点速度的分解矢量图．由图可知，tan 60°＝v 0

gt ，R (1＋cos 60°)

＝v 0t ，联立解得：v 0＝

33gR

2

，选项B 正确． 【答案】 B

6.如图所示，在距地面高为H ＝45 m 处，有一小球A 以初速度v 0＝10 m/s 水平抛出，与此同时，在A 的正下方有一物块B 也以相同的初速度同方向滑出，B 与水平地面间的动摩擦因数为μ＝0.4，A 、B 均可视为质点，空气阻力不计(取g ＝10 m/s 2)．下列说法正确的是( )

A ．小球A 落地时间为3 s

B ．物块B 运动时间为3 s

C ．物块B 运动12.5 m 后停止

D ．A 球落地时，A 、B 相距17.5 m 【解析】 根据H ＝1

2

gt 2得，t ＝

2H g

＝ 2×45

10

s ＝3 s ，故A 正确；物块B 匀减速直线运动的加速度大小a ＝μg ＝0.4×10 m/s 2＝4 m/s 2，则B 速度减为零的时间t 0＝v 0a ＝10

4 s

＝2.5 s ，滑行的距离x ＝v 02t 0＝10

2×2.5 m ＝12.5 m ，故B 错误，C 正确；A 落地时，A 的水平

位移x A ＝v 0t ＝10×3 m ＝30 m ，B 的位移x B ＝x ＝12.5 m ，则A 、B 相距Δx ＝(30－12.5)m ＝17.5 m ，故D 正确．

【答案】 ACD

[创新导向练]

7．休闲运动——通过“扔飞镖”考查平抛运动知识

飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为人们日常休闲的必备活动．一般打飞镖的靶上共标有10环，第10环的半径最小．现有一靶的第10环的半径为1 cm ，第9环的半径为2 cm ……以此类推，若靶的半径为10 cm ，在进行飞镖训练时，当人离靶的距离为5 m ，将飞镖对准第10环中心以水平速度v 投出，g ＝10 m/s 2.则下列说法中正确的是( )

A ．当v ≥50 m/s 时，飞镖将射中第8环线以内

B ．当v ＝50 m/s 时，飞镖将射中第6环线

C ．若要击中第10环的线内，飞镖的速度v 至少为50 2 m/s

D ．若要击中靶子，飞镖的速度v 至少为25 2 m/s

【解析】 根据平抛运动规律可得，飞镖在空中飞行有：x ＝v t ，h ＝1

2gt 2，将第8环半

径为3 cm 、第6环半径为5 cm 、第10环半径为1 cm 、靶的半径为10 cm 代入两式可知正确选项为B 、D.

【答案】 BD

8．科技前沿——轰炸机上的投弹学问

我国自主研制的“歼十五”轰炸机完成在航母上的起降．如图

，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A .已知A 点高度为h ，山坡倾角为θ，由此不能算出( )

A ．轰炸机的飞行速度

B ．炸弹的飞行时间

C ．轰炸机的飞行高度

D ．炸弹投出时的动能

【解析】 由图可得炸弹的水平位移为x ＝

h

tan θ

.设轰炸机的飞行高度为H ，炸弹的飞行时间为t ，初速度为v 0.炸弹垂直击中山坡上的目标A ，则根据速度的分解有tan θ＝v 0v y ＝v 0

gt ，

又H －h x ＝12gt

2v 0t ＝gt 2v 0，联立以上三式得H ＝h ＋h 2tan 2θ，可知能求出轰炸机的飞行高度H ，炸

弹的飞行时间t ＝

2(H －h )g ，轰炸机的飞行速度等于炸弹平抛运动的初速度，为v 0＝x

t

，故A 、B 、C 均能算出；由于炸弹的质量未知，则无法求出炸弹投出时的动能，故D 不能算出．

【答案】 D

9．体育运动——乒乓球赛中的平抛运动知识

在某次乒乓球比赛中，乒乓球先后两次落台后恰好在等高处水平越过球网，过网时的速度方向均垂直于球网，把两次落台的乒乓球看成完全相同的两个球，球1和球2，如图所示．不计乒乓球的旋转和空气阻力，乒乓球自起跳到最高点的过程中，下列说法正确的是( )

A ．起跳时，球1的重力功率等于球2的重力功率

B ．球1的速度变化率小于球2

的速度变化率

C ．球1的飞行时间大于球2的飞行时间

D ．过网时球1的速度大于球2的速度

【解析】 乒乓球起跳后到最高点的过程，其逆过程可看成平抛运动．重力的瞬时功率等于重力乘以竖直方向的速度，两球起跳后能到达的最大高度相同，由v 2＝2gh 得，起跳时竖直方向分速度大小相等，所以两球起跳时重力功率大小相等，A 正确；速度变化率即加速度，两球在空中的加速度都等于重力加速度，所以两球的速度变化率相同，B 错误；由h ＝12

gt 2

可得两球飞行时间相同，C 错误；由x ＝v t 可知，球1的水平位移较大，运动时间相同，则球1的水平速度较大，D 正确．

【答案】 AD

10．体育运动——足球运动中的平抛运动规律

(2015·浙江卷，17)如图所示为足球球门，球门宽为L .一个球员在球门中心正前方距离球门s 处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P 点)．球员顶球点的高度为h .足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则( )

A ．足球位移的大小x ＝ L 24

＋s 2 B ．足球初速度的大小v 0＝ g 2h (L 24

＋s 2) C ．足球末速度的大小v ＝

g 2h (L 24

＋s 2

)＋4gh D ．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝L

2s

【解析】 足球位移大小为x ＝(L

2

)2＋s 2＋h 2＝L 24

＋s 2＋h 2

，A 错误；根据平抛运动规律有：h ＝1

2

gt 2,

L 24＋s 2

＝v 0t ，解得v 0＝g 2h (L 24＋s 2)，B 正确；根据动能定理mgh ＝12

m v 2－1

2m v 20可得v ＝v 20＋2gh ＝g 2h (L 24

＋s 2

)＋2gh ，C 错误；足球初速度方向与球门线夹角正切值tan θ＝s L 2

＝2s

L ，D 错误．

【答案】 B

[综合提升练]

11．(2016·浙江卷，23)在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示，P

是个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒．高度为h 的探测屏AB 竖直放置，离P 点的水平距离为L ，上端A 与P 点的高度差也为h .

(1)若微粒打在探测屏AB 的中点，求微粒在空中飞行的时间； (2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围；

(3)若打在探测屏A 、B 两点的微粒的动能相等，求L 与h 的关系． 【解析】 (1)打在中点的微粒32h ＝1

2gt 2①

t ＝

3h g

② (2)打在B 点的微粒v 1＝L t 1，2h ＝1

2gt 21③v 1＝L

g 4h

④ 同理，打在A 点的微粒初速度v 2＝L g 2h

⑤ 微粒初速度范围L

g

4h

≤v ≤L g 2h

⑥ (3)由能量关系12m v 22＋mgh ＝12m v 2

1＋2mgh ⑦ 代入④、⑤式L ＝22h ⑧ 【答案】 (1)3h

g

(2)L g

4h

≤v ≤L g 2h

(3)L ＝22h

12.如图所示，倾角为37°的斜面长l ＝1.9 m ，在斜面底端正上方的O 点将一小球以v 0

＝3 m/s 的速度水平抛出，与此同时静止释放顶端的滑块，经过一段时间后小球恰好能够以垂直斜面的方向击中滑块．(小球和滑块均可视为质点，重力加速度g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：

(1)抛出点O 离斜面底端的高度； (2)滑块与斜面间的动摩擦因数μ.

【解析】 (1)设小球击中滑块时的竖直速度为v y ，由几何关系得v 0

v y ＝tan 37°

设小球下落的时间为t ，竖直位移为y ，水平位移为x ，由运动学规律得 v y ＝gt ，y ＝1

2

gt 2，x ＝v 0t

设抛出点到斜面最低点的距离为h ，由几何关系得 h ＝y ＋x tan 37° 由以上各式得h ＝1.7 m.

(2)在时间t 内，滑块的位移为x ′，由几何关系得 x ′＝l －

x

cos 37°

， 设滑块的加速度为a ，由运动学公式得x ′＝1

2at 2，

对滑块由牛顿第二定律得 mg sin 37°－μmg cos 37°＝ma ， 由以上各式得μ＝0.125. 【答案】 (1)1.7 m (2)0.125