参数提取

A Parameter Extraction Method for Microwave

Coupled Resonater Filters

摘要：本文提出了一种直接优化耦合矩阵从而求得耦合系数及谐振频率的方法。首先在柯西法的基础上构建了一种更精确有理多项式模型，这种模型既适合无耗的滤波器，也适合有耗的滤波器，其次提出了一种简单而高效的目标函数，新的目标函数对初值敏感度低，优化速度快，这种方法能应用于级联型以及交叉耦合型的耦合谐振滤波器的参数提取，最后的例子证明了此方法的有效性。

1.介绍

在滤波器的仿真及实物的调试中，往往不能一次性的得到需要的耦合系数及谐振频率，需要不停的“迭代”来得到最优的波形，能够有效的指导调试人员的计算机辅助调试技术是提高效率的一个主要因素。为此，人们提出了各种计算机辅助调试的方法。这些方法基本上可以归为5类。1.耦合谐振滤波器的顺序调谐；2.基于电路模型参数提取的计算机辅助调谐；3.基于输入反射系数的极点和零点的计算机辅助调谐；4.时域调谐；5模糊逻辑调谐。

本文提出的方法可以归类到基于电路模型的参数提取，它的基本原理是：首先将带通滤波器的S 参数归一为低通原型S 参数，再通过一个适当的有理多项式拟合S 参数，柯西法是最常用到的有理多项式拟合方法，该方法通过对精确模型响应有限的抽样，得到一个超定方程。解该方程，即可得到表述滤波器响应的两个多项式P (s ) ，F (s ) 系数，再通过Feld-keller 方程计算出多项式E (s )的系数。

()()()()()()s E

s E s P s P s F

s F -=-+-*

**

(1)

然而这种方法至少存在两个缺陷，其一,拟合出来的相位不准，其二，对于有耗的情况，在用Feld-keler 方程求解E(s)的时候并不能保证虚轴两边根的个数一样，也就是不能保证E(s)的最高阶数等于滤波器阶数，这样所得到的耦合矩阵及谐振频率并不准确。本文在柯西法的基础上提出了一种新的多项式拟合方法，能很好的解决这两个问题，下文称之为改进柯西法。得到E ，F ，P 以后就可以通过综合或者优化的方法提取耦合矩阵及谐振频率，本文应用单纯型法优化耦合矩阵，提出了一种新的目标函数，能够快速而精确的得到最优解。

2.滤波器模型及分析

图1 有限Q 值谐振腔滤波器等效电路模型

微波滤波器有各种实现形式，而它们都可以通过传输函数S21和反射函数S11来表示，图1为有限Q 值微波谐振滤波器的等效电路模型，根据Kirchhoff 沿环路电压之和为零的定理，我们可以得到电路矩阵方程：

[][][][][]e j I Z I M jR jR U

-=?=?+--''ω

(2)

其中，U 为单位阵，R 表示的矩阵中，除了111R r =，2R r NN =，其余元素均为零，

),,('21n r r r diag R ???=。M 是一个以ij m 为元素的对称矩阵，称为归一化的耦合矩阵。

[][]T N

N k

i i i i i I 12

1

-=

为电流向量，[][]T

e 0001

=为激励向量，

[]Z 为等效的阻抗矩阵。我们所要提取的电路参数就在M ，R 和'R 矩阵中，其中M 对应实

际电路中的耦合系数，R 对应输入输出端的外在品质因数，'

R 对应腔体的无载Q 值。 我们可以看出电流向量[]I 可以表示为： [][][]e Z

j I ?-=-1

(3)

于是整个电路的S 参数就可以表示为：

[]

1

1

21212122N N Z R R j i R R S --== (4)

[]

11

1

111112121-+=-=Z

jR i R S (5)

对于二端口网络，其散射系数有理多项式可表示为： )()()(21s E s P s S =

(6)

)

()()(11s E s F s S = (7)

其中∑

==?=

nz k k k

k s

p s P 0

)(，∑

==?=

n k k k

k s

f s F 0

)(，∑==?=

n

k k k

k

s

e

s E 0

)(，n 为滤波器阶数，nz 为有

限频率传输零点个数。

从滤波器实测响应取N 个样点，建立方程组求解多项式F ，P 的系数k f 和k p ，方程组用矩阵表示如下:

[]01121=??

?

???=??????-p f M p f V S V S nz n

（8）

其中：[]T

n f f f f ,,,10 =，[]T

n p p p p ,,,21 =，(){}N i i s S diag S ,,2,11111 ==，

(){}N i i s S diag S ,,2,12121 ==。i i

j s ω=，m V 为范德蒙德矩阵，其元素为

()N i n k

j v k i k i ,,2,1;1,,2,1,1, =+==

-ω。需注意的是（8）要有解的必要条件是

1++≥nz n N 。

对于无耗的情况，可以通过Feld-keller 方程计算出多项式E (s )的系数，如果网络有耗，求得的E (s )的根可能会小于滤波器的阶数，这里我们改用最小二乘法来求解E (s )。

(7)式可以改写为：

∑==?=

=

n

k k k

k

s e

s S s F s E 0)

(11)()( （9）

通过最小二乘法可以求得m H

n n H

n E V V V e **)

*(1

-=，其中)

(11)()(k k m s S s F k E =

，

N k ,,2,1 =，[]T

n e e e e ,,,10 =。

我们以一4阶级联型Chebyshev 滤波器为例说明上述方法的有效性并与柯西法作对比。

图2. 4阶Chebyshev 滤波器

表1. S 参数有理多项式拟合系数

图3. 柯西法幅度拟合曲线 图4. 柯西法相位拟合曲线

图5. 改进柯西法幅度拟合曲线 图6. 改进柯西法相位拟合曲线

表1为两种方法拟合出来的多项式系数，图3，图4，图5，图6为两种拟合方法得到的幅度及相位曲线，可以看出：传统柯西法无法拟合出准确的相位，而改进的柯西法，无论是幅度还是相位，拟合的结果都非常好。 A. 加载相位的消除

以上的分析都是基于双端口的等效电路模型，而实际中，我们不可避免的会在输入输出的两端加上一段传输线，称之为“相位加载效应”，这会使得提取的参数不精确，这里我们提出一种简单的消除相位加载的办法。

从表1可以看出，如果用柯西法求解E(s)，必然有n n f e =，而对于改进柯西法，n e 与n

f 不一定相等，这里面既有损耗的影响也有加载相位的影响。令n n e f D /=，对于上述例子，

i D 8302.05013.0+=，9698.0=D ，D 的相位为58.8745度。

我们再来分析图2滤波器模型的第一腔，将调谐螺钉接触中间的金属柱，使之严重偏离谐振频率，来提取S11的相位。

图7. 第一腔失谐模型 图8. 失谐后的相位 对比所求得的D 的相位与图8的相位曲线，可以看出D 的相位与失谐后的腔体在谐振频率附近的相位几乎相同，将图7模型的馈线部分加长再作对比，仍然满足这一关系。因此我们可以认定n n e f D /=所求得的相位正好是滤波器加载的一段相位。 3. 模型网络参数提取

A ．无耗及低损耗耦合谐振滤波器

首先考虑无耗及低损耗耦合谐振滤波器，

当腔体Q 值足够大时，我们可以认为图1中的0=i r ，式（2）可以简化为：

[][][][][]e j I Z I M jR U -=?=?+-'ω

对于无耗的网络，由Feld-keller 方程可知，)(s E 与)(s F 的最高次项系数必然相等，即

1=D ，对于腔体Q 值很大时，损耗对零极点位置影响很小，因此我们可以直接令n n e f e e /?=来消除相位以及损耗对滤波器的影响。这种处理相对于柯西法对整个模型的影

响更小，而且对后面所用到的目标函数有着十分重要的作用。

B ．新的目标函数 根据（4）（5）（6）（7）式可以得到：

[

])

()(*

22)

()('

211

1

2121Z Det Z Det R R j

Z

R R j

S s E s P N -=-==- （10）

[

]

)

()(*

221)

()

()('

'111

1

111Z Det Z Det jR Z

jR S s E s E s F ==-=-- （11）

其中M jR U Z +-='ω，'Z 为Z 删去最后一行和第一列所得到的矩阵，'

'Z 为Z 删去第一行和第一列所得到的矩阵。将（11）式改写为：

]

)[(])[(*

2)

()(*

2)

()

()('

'

''''''1'

'1U M jR Det U M jR Det jR Z Det Z Det jR s E s E s F ωω-----==- （12）

令)(M jR A -=，)('

''

'''M jR A -=，由（12）可以看出)(s E 的根是A 的特征值，而

)()(s E s F -的根是'

'A 的特征值。

设e i λ，t

i λ分别为)(s E ，)()(s E s F -的根，提出下面的目标函数：

2

1

2

1

2

1

1

2

1

)(21)

(11),1,('

'∑

∑

∑

∑

==-==+

+

-+

-=

nz

k p

k n

k z

k n k t

k

m

k n

k e

k

m k S S RN R M ωωλλλλε （13）

式中，m i λ，'

'm

i λ为A 和''A 的特征值，z k ω，p

k ω分别为11S ,21S 的有限零点。 3．实例及数值结果

仍以上文中的4阶滤波器为例，前面我们已经得到了有理多项式的模型，消除加载相位以及损耗的影响后所得到的多项式系数如表2，计算求得)(s E ，)(s F ，)()(s E s F -的根如表3，由于模型不含交叉耦合，不存在有限传输零点，故目标函数最后一项可省去。

利用上面的目标函数通过单纯型法可以很快提取得到低通模型的耦合矩阵以及外部Q

值：?????

????

???=0.1859- 0.7871 0 0 0.7871 0.3184- 0.6072 00

0.6072 0.3128- 0.78980 0 0.7898 0.1875-extract

M

，9556.01=R ，9550.0=RN