【精品讲义】人教版 七年级数学(上) 专题3.1 从算式到方程(知识点+例题+练习题)含答案

第三章一元一次方程

3.1 从算式到方程

1．方程：

（1）方程的定义：含有___________的___________叫做方程．

注意：方程中未知数的个数不一定是一个，也可以是两个或两个以上；方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示．

（2）解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是___________．

2．等式的性质：

（1）等式的性质1：等式两边___________同一个___________，结果仍相等．

如果a=b，那么a±c=___________．

（2）等式的性质2：等式两边乘同一个___________，或除以同一个___________，结果仍相等．

如果a=b，那么ac=___________；如果a=b(c≠0)，那么a

c

=___________．

（3）等式除了以上两条性质外，还有其他的一些性质：

①对称性：等式的左、右两边交换位置，所得的结果仍是___________．如果a=b，那么b=___________．

②传递性：如果a=b，且b=c，那么a=___________．等式的传递性，习惯上也称作是等量代换．

3．一元一次方程

（1）概念：方程只含有一个__________（元），未知数的次数都是__________，等号两边都是___________，这样的方程叫做一元一次方程．

（2）一元指方程仅含有一个___________，一次指未知数的次数为___________，且未知数的系数不为___________．我们将___________（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的___________，b是___________，x的次数必须是1．

1．（1）未知数，等式（2）方程的解

一、方程的有关概念

1．方程：含有未知数的等式叫做方程．方程必须具备两个条件：①是等式；②含有未知数．两者缺一不可．

2．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根．

3．解方程：求方程解的过程，叫做解方程．

A．7x–4=3x B．4x–6

C．4+3=7 D．2x＜5

【答案】A

【解析】A、7x–4=3x是方程；B、4x–6不是等式，不是方程；C、4+3=7没有未知数，不是方程；D、2x＜5不是等式，不是方程；故选A．

【名师点睛】

1．判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数，二者缺一不可．

2．使方程左右两边相等的未知数的值可以不止一个，即方程的解可以有多个．

方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是一个具体的数值，解方程是求方程的解的过程，方程的解是通过解方程求得的，二者要区别开． 二、一元一次方程

只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．

A ．–1

B ．1

C ．–2

D ．2

【答案】D

【解析】因为x 2m –3+1=7是关于x 的一元一次方程，所以2m –3=1，解得m =2，故选D ． 【名师点睛】

1．其中“一元”指只含一个未知数，“一次”指的是未知数的次数都是1．

2．ax +b =0（a ≠0）通常叫做x 的一元一次方程的标准形式，其中，只有一个未知项ax ，一个常数项b ，方程右边是0． 三、方程的解

解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解．

A ．x –2=6

B ．

3x =12

C ．2x +2=6

D ．1

2

（x –2）=1

【名师点睛】

1．方程的解可能有多个，也可能无解．

2．检验一个数是不是方程的解，不能将所给的数直接代入方程中，而要把这个数分别代入方程的左右

两边，当左边=右边时，这个数是方程的解，当左边≠右边时，这个数不是方程的解．

四、等式的性质

1．等式的性质1

等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．如果a=b，那么a±c=b±c．

2．等式的性质2

等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．如果a=b，那么ac=bc；如果a=b（c≠0），那么

b

a

．

A．2x=1，变形为x=2 B．x+5=3–3x，变形为4x=2

C．

2

3

x–1=2，变形为2x–3=2 D．3x–6=0，变形为3x=6

1．性质1中“同一个”是指等式两边所加（或减）的数（或式子）必须相同．

2．等式的性质包括加、减、乘和除，其中加、减或乘的数往往是任意的，只有除法中的除数不能为0．

1．下列各式中不是方程的是

A．2x+3y=1 B．3π+4≠5

C．–x+y=4 D．x=8

2．下列四个式子中，是方程的是

A ．3+2=5

B ．3x –2=1

C ．2x –3<0

D ．a 2+2ab +b 2

3．方程2x +1=5的解是 A ．x =2

B ．x =–2

C ．x =3

D ．x =–3

4．下列方程中，解为x =2的方程是 A ．x +2=0 B ．2+3x =8

C ．3x –1=2

D ．4–2x =1

5．下列方程中是一元一次方程的是 A ．

2

10x

-= B ．x 2=1 C ．2x +y =1

D ．132

x -=

6．下列方程中是一元一次方程的是 A ．3x –1=

2

x B ．x 2–4x =3

C ．xy –3=5

D ．x +2y =1

7．把方程

1

2

x =1变形为x =2，其依据是 A ．分数的基本性质 B ．等式的性质1

C ．等式的性质2

D ．解方程中的移项

8．下列运用等式的性质，变形不正确的是 A ．若x =y ，则x +5=y +5 B ．若a =b ，则ac =bc C ．若

a c =b

c ，则a =b D ．若x =y ，则

x y a a

= 9．若a =b ，下列等式不一定成立的是 A ．a –5=b –5

B ．a +3=b +3

C ．2a =2b

D ．

a c =

b c

10．下列运用等式性质进行的变形，其中不正确的是

A ．如果a =b ，那么a +5=b +5

B ．如果a =b ，那么a –23=b –23

C ．如果ac =bc ，那么a =b

D ．如果

a b

c c

=，那么a =b 11．下列方程：

（1）2x –1=x –7，（2）

12x =13x –1，（3）2（x +5）=–4–x ，（4）2

3

x =x –2． 其中解为x =–6的方程的个数为 A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

12．在0，1，2，3中，__________是方程2x–1=–5x+6的解．

13．如果关于x的一元一次方程ax+2x=4的解是x=4，那么a的值为__________．

14．有下列等式：①由a=b，得5–2a=5–2b；②由a=b，得ac=bc；③由a=b，得a b

c c

=；④由

23

a b

c c

=，

得3a=2b；⑤由a2=b2，得a= b．其中正确的是__________．15．将等式3x–2y=7变形成用y的代数式表示x=________．16．如果5x=10–2x，那么5x+__________=10．

17．若–

1

3

x-

=

1

2

y-

，根据等式性质__________（填“1”或“2”）得到–2x=3y–5．

18．在下列方程中：①x+2y=3，②1

39

x

x

-=，③

21

33

y

y

-

=+，④

1

2

x=，是一元一次方程的有__________

（只填序号）．

19．用“●”“■”“▲”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”________个．

20．已知关于x的方程（m+5）x|m|–4+18=0是一元一次方程．试求：

（1）m的值；

（2）3（4m–1）–2（3m+2）的值．

21．利用等式的性质解方程：7x–6=–5x．

22．已知关于x的方程3x+a=0的解比方程2x–3=x+5的解大2，求a值．

23．我们规定，若关于x 的一元一次方程ax =b 的解为b –a ，则称该方程为“差解方程”，例如：2x =4的解

为2，且2=4–2，则该方程2x –4是差解方程． （1）判断3x =4.5是否是差解方程；

（2）若关于x 的一元一次方程5x =m +1是差解方程，求m 的值．

1．下列方程中，是一元一次方程是 A ．2y =1 B ．3x –5y =3

C ．3+7=10

D ．x 2+x =1

2．下列方程中，解为x =3的方程是 A ．y –3=0 B ．x +2=1

C ．2x –2=3

D ．2x =x +3

3．下列方程中，是一元一次方程的是 A ．243x x -=

()B 326x +=．

C 21x y +=．

1

D 1x x

-=

． 4．如果x =2是方程2x +a =–1的解，那么a 的值是 A ．0

B ．3

C ．–2

D ．–5

5．已知关于x 的方程mx +x =2无解，那么m 的值是 A ．m =0

B ．m ≠0

C ．m ≠–1

D ．m =–1

6．下列方程的变形：①由3+x =5，得x =5+3；②由7x =–4，得x =–74；③由1

2

y =0，得y =2；④由3=x –2，得x =–2–3．其中，正确的有 A ．3个

B ．2个

C ．1个

D ．0个

7．若关于x 的方程mx m –2–m +3=0是一元一次方程，则这个方程的解是

A ．x =0

B ．x =3

C ．x =–3

D ．x =2

8．已知下列方程：

①x –2=2x ；②12x +–1=3

3

x -；③2x =5x –1；④x 2–4x =3；⑤x =6；⑥x +2y =0．其中一元一次方程的个数

是 A ．①③④ B ．②③⑤

C ．②③

D ．②⑥

9．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是

A ．如果a b =，那么a c b c +=-

B ．如果

a b

c c

=，那么a b = C ．如果a b =，那么a b c c

= D ．如果23a a =，那么3a =

10．下列说法正确的是

A ．若

a b

c c

=，则a =b B ．若ac =bc ，则a =b C ．若a 2=b 2，则a =b D ．若a =b ，则

a b c c

= 11．在下列方程的变形中，正确的是

A ．由213x x +=，得231x x +=

B ．由

2354x =，得35

42x =? C ．由

2354x =，得3245

x =? D ．由1

23

x +-=，得16x -+=

12．方程2x –3y =7，用含x 的代数式表示y 为

A ．y =

1

3(7–2x ) B ．y =

1

3(2x –7)

C ．x =1

2

(7+3y )

D ．x =1

2

(7–3y )

13．若a =b ，则在a –

13=b –13，2a =a +b ，–34a =–3

4

b ，3a –1=3b –1中，正确的有 A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

14．下列①3x –y =2；②

()21503x +-=；③1

2x x

+-；④24230x x --=中，属于一元一次方程的是_____________（只填代号）.

15．等式3x=2x+1两边同减________得________，其根据是________

16．写出一个满足下列条件的一元一次方程：①某个未知数的系数是3；②方程的解是2；这样的方程是________．

17．若m是方程3x–2=1的解，则30m+10的值为________．

18．一个数的2减去7差得36方程为________.

19．方程17+15x=245，

5070

35

x x

-+

=，2（x+1.5x）=24都只含有一个未知数，未知数的指数都是1，它

们是一元一次方程，方程x2+3=4，x2+2x+1=0，x+y=5是一元一次方程吗？若不是，它们各是几元几次方程？

20．从2a+3=2b+3能否得到a=b，为什么？

21．利用等式的性质解下列方程.

（1）y+3=2；（2）–1

2

y–2=3；（3）9x=8x–6；（4）8m=4m+1．

22．当x为何值时，代数式2（x+1）与代数式1–x的值互为相反数？

1．（2019?南充）关于x的一元一次方程2x a–2+m=4的解为x=1，则a+m的值为

A．9 B．8 C．5 D．4

2．（2019?呼和浩特）关于x的方程mx2m–1+（m–1）x–2=0如果是一元一次方程，则其解为__________．3．（2019?湘西州）若关于x的方程3x–kx+2=0的解为2，则k的值为__________．

1．【答案】B

【解析】3π+4≠5中不含未知数，所以错误．故选B．

2．【答案】B

【解析】方程是指含有未知数的等式．故选B．

3．【答案】A

【解析】2x+1=5，移项合并得：2x=4，解得：x=2．故选A．

4．【答案】B

【解析】A、方程x+2=0，解得x=–2，不合题意；

B、方程2+3x=8，解得x=2，符合题意；

C、方程3x–1=2，解得x=1，不合题意；

D、方程4–2x=1，解得x=1.5，不合题意，

故选B．

5．【答案】D

【解析】A、分母子中含有未知数，不是一元一次方程，故A选项不符合题意；

B、未知数的最高次项是2，故不是一元一次方程．故B选项不符合题意；

C、含有两个未知数，故不是一元一次方程，故C选项不符合题意；

D、符合一元一次方程的定义，故D选项正确．

故选D．

6．【答案】A

【解析】A、符合一元一次方程的定义；

B、未知数的次数2，故不是一元一次方程；

C、含有两个未知数，故不是一元一次方程；

D、含有两个未知数，故不是一元一次方程．

故选A．

7．【答案】C

【解析】把方程1

2

x=1变形为x=2，其依据是等式的性质2，故选C．

8．【答案】D

【解析】A、若x=y，则x+5=y+5，正确，不合题意；

B、若a=b，则ac=bc，正确，不合题意；

C、若a

c

=

b

c

，则a=b，正确，不合题意；

D、若x=y，则x y

a a

，a≠0，故此选项错误，符合题意．

故选D．

9．【答案】D

【解析】A、a=b两边都减去5，得a–5=b–5，故本选项不符合题意；

B、a=b两边都加上3，得a+3=b+3，故本选项不符合题意；

C、a=b两边都乘以2，得2a=2b，故本选项不符合题意；

D、a=b两边都除以c，c=0不成立，故本选项符合题意．

故选D．

10．【答案】C

【解析】C．若c=0时，此时a不一定等于b，故选C．

11．【答案】C

【解析】（1）2x–1=x–7，

把x=–6代入，可得–12–1=–6–7，

所以x=–6是方程的解；

（2）1

2

x=

1

3

x–1，

把x=–6代入，可得–3=–2–1，所以x=–6是方程的解；（3）2（x+5）=–4–x，

把x=–6代入，可得–2≠–4+6，

所以x =–6不是方程的解； （4）

2

3

x =x –2． 把x =–6代入，可得–4≠–6–2， 所以x =–6不是方程的解； 故选C ． 12．【答案】1

【解析】移项，得2x +5x =1+6， 合并同类项，得7x =7， 系数化为1，得x =1， 故答案为1． 13．【答案】–1

【解析】将x =4代入ax +2x =4， 所以4a +8=4， 所以4a =–4， 所以a =–1， 故答案为：–1． 14．【答案】①②④

【解析】①由a =b ，得5–2a =5–2b ，正确； ②由a =b ，得ac =bc ，正确； ③由a =b （c ≠0），得a b

c c

=，不正确； ④由

23a b

c c

=，得3a =2b ，正确； ⑤由a 2=b 2，得a =b 或a =–b ，不正确． 故答案为：①②④． 15．【答案】

27

3

y + 【解析】两边都加2y ，得3x =2y +7，两边都除以3，得x =273y +，故答案为：27

3

y +． 16．【答案】2x

【解析】在等式5x =10–2x 的两边同时加上2x ，得5x +2x =10．故答案是：2x ． 17．【答案】2和1

【解析】若–

1

3

x-

=

1

2

y-

，根据等式性质2，两边都乘以6，再根据等式的性质1，两边都加2，得到–

2x=3y–5，

故答案为：2和1．

18．【答案】③④

【解析】①是二元一次方程；②是分式方程；③符合一元一次方程的定义；

④符合一元一次方程的定义．故③④是一元一次方程．

故答案为：③④．

19．【答案】5

【解析】设“●”“■”“▲”分别为x、y、z，由图可知，

2x=y+z①，

x+y=z②，

②两边都加上y得，x+2y=y+z③，

由①③得，2x=x+2y，∴x=2y，

代入②得，z=3y，

∵x+z=2y+3y=5y，∴“？”处应放“■”5个．

故答案为：5．

20．【解析】（1）依题意有|m|–4=1且m+5≠0，解得m=5，

故m=5；

（2）3（4m–1）–2（3m+2）=12m–3–6m–4=6m–7，

当m=5时，原式=6×5–7=23．

21．【解析】两边都加（6+5x），得7x–6+6+5x=–5x+5x+6，

合并同类项，得12x=6，

两边都除以12，得x=1

2

．

22．【解析】方程2x–3=x+5，

两边都加（3–x），得2x–3+3–x=x+5+3–x，整理得：x=8，

把x=8代入3x+a=0中得：24+a=0，

解得：a=–24．

23．【解析】（1）因为3x=4.5，

所以x=1.5，

因为4.5–3=1.5，

所以3x=4.5是差解方程；

（2）因为关于x的一元一次方程5x=m+1是差解方程，

所以m+1–5=

1 5

m

，

解得m=21

4

．

故m的值为21

4

．

1．【答案】A

【解析】A、2y=1该方程符合一元一次方程的定义．故本选项正确；

B、3x–5y=3是二元一次方程．故本选项错误；

C、3+7=10中没有未知数，不是方程．故本选项错误；

D、x2+x=1该方程的未知数的最高次数不是1．故本选项错误；

故选A．

2．【答案】D

【解析】将x=3代入各选项可得．

A、y–3=0，不含x项，故本选项错误；

B、左边=5，右边=1，左边≠右边，故本选项错误；

C、左边=4，右边=3，左边≠右边，故本选项错误；

D、左边=6，右边=6，左边=右边，故本选项正确；

故选D．

3．【答案】B

【解析】选项A，是一元二次方程；选项B，是一元一次方程；选项C，是二元一次方程；选项D，是分式方程，由此可得，只有选项B符合题意.故选B．

4．【答案】D

【解析】将x=2代入方程2x+a=–1，得：4+a=–1，解得：a=–5．故选D．

5．【答案】D

【解析】假设mx +x =2有解，则x =

2

1

m +，∵关于x 的方程mx +x =2无解， ∴m +1=0，∴m =–1时，方程无解．故选D ． 6．【答案】D

【解析】①3+x =5，等式的两边减去3得x =5–3，故此选项错误； ②7x =–4，方程两边除以7得x =–4

7

，故此选项错误； ③

1

2

y =0，方程两边乘以2得y =0，故此选项错误； ④3=x –2，等式的两边加上2得x =2+3，故此选项错误． 故选D ． 7．【答案】A

【解析】因为关于x 的方程mx m ?2?m +3=0是一元一次方程， 所以m ≠0，m ?2=1，解得m =3， 即方程为3x ?3+3=0，解得x =0， 故选A ． 8．【答案】B

【解析】①x ?2=

2

x

不是1次，故不是一元一次方程； ②12x +–1=3

3x -是一元一次方程； ③2

x

=5x ?1是一元一次方程； ④x 2?4x =3不是1次，是2次，故不是一元一次方程； ⑤x =6是一元一次方程；

⑥x +2y =0不是1元，故不是一元一次方程； 故选B ． 9．【答案】B

【解析】A ．如果a b =，那么a c b c -=-，本选项不能选；

B ．如果

a b

c c

=，那么a b =，本选项正确； C ．如果a b =，那么a b

c c

=（c ≠0），本选项不能选；

D ．如果23a a =，那么3a =（c ≠0），本选项不能选.

故选B ． 10．【答案】A

【解析】A 选项：由等式的性质2可知A 正确； B 选项：当c =0时，不一定正确，故B 错误； C 选项：若a 2=b 2，则a =±b ，故C 错误； D 选项：需要注意c ≠0，故D 错误． 故选A ． 11．【答案】B

【解析】A ．由213x x +=，得231x x -=-，移项要变号，本选项错误；

B ．由2354x =，得35

42x =?，本选项正确； C ．由2354x =，得35

42x =?，本选项错误；

D ．由1

23

x +-=，得16x +=-，本选项错误.

故选B ． 12．【答案】B

【解析】因为2x –3y =7，所以2x –7=3y ，所以y =1

3

(2x –7)，故选B ． 13．【答案】D

【解析】a –13=b –13，2a =a +b ，–34a =–3

4

b ，3a –1=3b –1都正确，共4个， 故选D ． 14．【答案】②

【解析】①3x –y =2，含有两个未知数，不是一元一次方程；

②

()2

1503x +-=，是一元一次方程； ③1

2x x

+-，不是等式，不是一元次方程；

④24230x x --=，最高为2次，不是一元一次方程， 所以是一元一次方程的只有②， 故答案为：②.

15．【答案】2x ；x =1；等式性质一

【解析】等式3x =2x +1两边同减2x ，得x =1，其根据是等式性质一，故答案为：2x ，x =1，等式性质一．

16．【答案】答案不唯一，如3x –6=0

【解析】由题意可知：a =3，x =2．则将a 与x 的值代入ax +b =0中得：3×2+b =0， 解得：b =–6，

所以，该一元一次方程可以为：3x –6=0． 故答案为：3x –6=0． 17．【答案】40

【解析】把x =m 代入，得3m –2=1， 解得3m =3，

所以30m +10=3×10+10=40． 故答案是：40． 18．【答案】2x –7=36

【解析】x 的2倍减去7即2x ?7，根据等式可列方程为：2x ?7=36. 19．【解析】方程22342105x x x x y +=++=+=，，不是一元一次方程；

234x +=和2210x x ++=是一元二次方程； 5x y +=是二元一次方程．

20．【解析】能．首先根据等式的性质1，等式的两边同时减去3，然后利用等式的性质2，等式的两边同

时除以2，所得结果就是a =b ．

21．【解析】（1）两边同时减去3，得y +3–3=2–3，y =–1；

（2）两边同时加2，得–1

2

y –2+2=3+2， –

1

2

y =5， 两边同时乘以–2，得y =–10；

（3）两边同时减去8x ，得9x –8x =8x –6–8x ， x =–6；

（4）两边同时减去4m ，得8m –4m =4m +1–4m ， 4m =1，

两边同时除以4，得m =

14

. 22．【解析】根据题意得：2（x +1）+1–x =0，

去括号得：2x +2+1–x =0，

解得：x=–3．

1．【答案】C

【解析】因为关于x的一元一次方程2x a–2+m=4的解为x=1，

可得：a–2=1，2+m=4，

解得：a=3，m=2，

所以a+m=3+2=5，

故选C．

2．【答案】x=2或x=–2或x=–3

3．【答案】4

【解析】因为关于x的方程3x–kx+2=0的解为2，所以3×2–2k+2=0，解得k=4．故答案为：4．