高二数学上学期分班考试试题

江苏省泰兴中学2015-2016学年高二数学上学期分班考试试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1、已知全集N U =，集合{}

01>-=x x A ，则=A C U ________． 2、函数(

)

2ln 2

-=x y 的定义域为 ．

3、已知向量()1,12-=x a ，()2,1+=x b ，若b a //，则实数=x ．

4、若直线l 过点)3,2(--A 且与直线0343=-+y x 垂直，则直线l 的方程为 ．

5、已知实数x ，y 满足条件?????≤≤1

1y x ，则y x z +=2的最小值是 ．

6、在等差数列{}n a 中，若14=a ，1697=+a a ，则12a 的值为 ．

7、已知a 、b 、c 是三条不同的直线，α是一个平面，以下叙述中正确的是 ． ① 若b a //，b c ⊥，则a c ⊥； ② 若a b ⊥，b c ⊥，则c a //； ③ 若α//a ，b α?，则b a //； ④ 若a α⊥，b α?，则a b ⊥；

8、在□ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若μλ+=，其中R ∈μλ,，则=+μλ________．

9、若圆锥的底面半径为3，体积是π12，则该圆锥的侧面积等于______． 10、在ABC ?中，3=

a ，3=

b ，A C sin 2sin =，则=A cos ________．

11、数列{}n a 为等比数列，其前n 项积．

为n T ，若82T T =，则=10T ______． 12、已知函数()

4)(+=x x x f ，且0)()(2

<+a f a f ，则实数a 的取值范围为 ． 13、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：1)2()(2

2=+-+-a y a x ，点)2,0(A ，若圆C 上存

在点M ，满足102

2=+MO MA ，则实数a 的取值范围是 ．

14、已知A ，B ，C 是平面内的三点，设a BC =，b CA =，c AB =，则

c

b

b a

c ++的最小值为 ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15、（本小题满分14分）

如图，在三棱柱111C B A ABC -中，AB C B ⊥1，侧面11B BCC 为菱形． （1）求证：C B 1⊥平面1ABC ；

（2）如果点D ，E 分别为11C A ，1BB 的中点，

求证：//DE 平面1ABC ．

16、（本小题满分14分）

已知P 为线段AB 上的一点，PA BP 3=，O 点是任意的一点． （1）若OP =x OA +y OB ，求y x ,的值； （2）已知4=OA ，2=OB ，且9-=?AB OP ，

求OA 与OB 的夹角．

已知函数)sin()(?ω+=x A x f （其中A ，ω，?为常数，且0>A ，0>ω，2

2

π

?π

<

<-

）

的部分图象如图所示． （1）求函数)(x f 的解析式； （2）若23)(=αf ，求??? ?

?

+62sin πα的值．

18、（本小题满分16分）

已知关于x 的不等式()()011>+-x ax ．

（1）若此不等式的解集为?

??

???-<<-211x x ，求实数a 的值；

（2）若R a ∈，解关于x 的不等式()()011>+-x ax ．

x

y

O 2 -2

3

π- 3

2π

若圆C 经过坐标原点和点(6,0)，且与直线1y =相切， 从圆C 外一点(,)P a b 向该圆引切线PT ，

T 为切点，

（1）求圆C 的方程；

（2）已知点(2,2)Q -，且PT PQ =， 试判断点P 是否总在某一定直线l 上，若是，求出l 的

方程；若不是，请说明理由；

（3）若（2）中直线l 与x 轴的交点为F ，点,M N 是直线6x =上两动点，且以,M N 为直径的

圆E 过点F ，圆E 是否过定点？证明你的结论．

20、（本小题满分16分）

给定一个数列{}n a ，在这个数列中，任取m (

)*

,3N

m m ∈≥项，并且不改变它们在数列{}

n

a 中的先后次序，得到的数列{}n a 的一个m 阶子数列．已知数列{}n a 的通项 公式为),(1

*为常数a N n a

n a n ∈+=

，等差数列2a ，3a ，6a 是数列{}n a 的一个3阶子数列．

（1）求a 的值；

（2）等差数列m b b b ,,,21 是数列{}n a 的一个),3(*

N m m m ∈≥阶子数列，且k

b 11=

()

2,,*

≥∈k N

k k 为常数，求证：1+≤k m ；

（3）等比数列m c c c ,,,21 是数列{}n a 的一个),3(*

N m m m ∈≥阶子数列，求证：

m c c c +++ 211

212--

≤m ．

2015年江苏省泰兴中学高二阶段性检测

数学试题参考答案

2015.8.20

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1、【答案】{}1,0 2、【答案】()(

)

+∞?

-∞-,22,

3、【答案】1

4、【答案】0134=--y x

5、【答案】3-

6、【答案】15

7、【答案】①④

8、【答案】

34

9、【答案】π15 10、【答案】

2

3 11、【答案】1

12、【答案】01<<-a 写成()0,1-也对 13、【答案】30≤≤a 写成[]3,0也对 14、【答案】2

12-

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答．题卡指定区域．．．．．．

内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15、解：（1）因为三棱柱111C B A ABC -的侧面11B BCC 为菱形， 故11BC C B ⊥． 又AB C B ⊥1，且AB ，1BC 为平面1ABC 内的两条相交直线， 故C B 1⊥平面1ABC ． …………………………………………………… 6分

（2）如图，取1AA 的中点F ，连DF ，FE ．

又D 为11C A 的中点，故1//AC DF ，AB EF //． 因为DF ?平面1ABC ，`1AC ?平面1ABC ， 故//DF 面1ABC ． 同理，//EF 面1ABC ． 因为DF ，EF 为平面DEF 内的两条相交直线， 故平面//DEF 面1ABC ．

因为DE ?平面DEF ，

故//DE 面1ABC ．………………………

14分 16、解：（1）因为PA BP 3=，

故()

-=-3，……………………………………………… 3分

即OB OA OP 4

143+=

于是43=x ，41

=y ．………………… 6分

（2）由（1）可知，OB OA OP 4143+=

， 故()

OA OB OB OA AB OP -???

?

??+=?4143

224

1

2143OB OB OA OA +?+-=…………………………… 8分

即44

1

2116439?+?+?-=-B O OA ，解得4=?B O OA ，…………… 10分

设OA 与OB 的夹角为α()πα≤≤0， 因为2

184cos ==

=

B

O OA B OA α，故OA 与OB 的夹角为3π

．…… 14分

17、解：（1）由图可知，2=A ，……………………………………………… 2分 π2=T ，故1=ω，所以)sin(2)(?+=x x f ．………………………… 4分

又22(

)2sin()233

f ?ππ

=+=，且22?ππ-＜＜，故6?π=-．

于是)6

sin(2)(π

-=x x f ．………………………………………………… 7分

（2）由2

3)(=

αf ，得3

sin()64απ-=．…………………………………………

9分

所以sin(2)sin 2()cos 2()6626αααππππ???

?+=-+=-???????

?……………………… 12分

=21

12sin ()68

απ--=-．…………………………………

14分

18、解：（1）由题意可知0

1-和2

1

-

为方程()()011=+-x ax 的两根， 于是2-=a ，…………… 4分 （2）①当0=a 时，由0)1(>+-x ，得1-

②当0>a 时，不等式可化为()011>+??? ??-

x a x ，解得1-

>；… 8分 ③当0

?

?

?-

x a x ， 若

11-

-<

，…………………………… 10分

若

11

-=a ，即1-=a ，则不等式解集为φ，…………………………… 12分 若11->a ，即1-

x 1

1<<-．………………………………… 14分 综上，当1-

??

???<

<-a x x 11； 当1-=a 时，不等式解集为φ；

当01<<-a 时，则不等式解集为?

??

???-<<11x a x

； 当0=a 时，不等式解集为{}

1-

当0>a 时，不等式解集为?

??

???>

-

半径219r n n =-+， 得4n =-，5r =， ……………………… 3分 所以圆C 的方程为22(3)(4)25x y -++=． ……………………………… 4分 （2）由题可得PT CT ⊥，

所以2

2

22(3)(4)25PT PC CT

a b --++-

22(2)(2)PQ a b -++ 6分

22(3)(4)25a b -++-22(2)(2)a b =-++240a b -+= 所以点P 总在直线240x y -+=上． …………………………………… 8分 （3）由（2）可知(4,0)F -， …………………………………………………… 9分

由题可设点1(6,)M y ，2(6,)N y ，则圆心12

(6,

)2

y y E +，半径1

22y y r -=， 从而圆E 的方程为22

21212()(6)()24

y y y y x y +--+-=

，………………… 11分 整理得22121212()360x y x y y y y y +--+++=．

又点F 在圆E 上，故0FM FN →

→

?=得12100y y =-，……………………… 13分 所以221212()640x y x y y y +--+-=．

令0y =得212640x x --=， 所以16x =或4x =-，………………… 15分

所以圆E 过定点(16,0)和(4,0)-． ……………………………………… 16分 20、解：（1）因为a 2，a 3，a 6成等差数列，所以a 2－a 3＝a 3－a 6．………… 2分

又因为a 2＝12a +，a 3＝13a +， a 6＝16a

+，

代入得12a +－13a +＝13a +－16a +，解得a ＝0．…………………… 4分 （2）设等差数列b 1，b 2，…，b m 的公差为d ．

因为b 1＝1k ，所以b 2≤11k +， 从而d ＝b 2－b 1≤ 11k +－1k ＝－1(1)k k +． 所以b m ＝b 1＋(m －1)d ≤1k －1(1)m k k -+．…………………………………… 8分

又因为b m ＞0，所以1k －1(1)

m k k -+＞0． 即m －1＜k ＋1． 所以m ＜k ＋2． 又因为m ，k ∈N *

，所以m ≤k ＋1． ……………… 10分 （3）设c 1＝1t

(t ∈N *

)，等比数列c 1，c 2，…，c m 的公比为q ．

因为c 2≤11t +，所以q ＝21c

c ≤1t t +． …………………………………… 12分

从而c n ＝c 1q

n －1

≤1t ()

1

1

n t

t -+（1≤n ≤m ，n ∈N *

）．

所以c 1＋c 2＋…＋c m ≤1t ＋1t ()

1

t

t +1

＋1t ()1

t

t +2＋…＋1t ()

1t t +1

m - ＝1t t +[1－()1t t +m

] ＝1t t +－()1

t t +1

m -．………… 14分

设函数f (x )＝x －1

1m x -，（m ≥3，m ∈N *）． 当x ∈(0，＋∞)时，函数f (x )＝x －1

1m x -为单调增函数． 因为当t ∈N *

，所以1＜1t t

+≤2．

所以f (1t t +)≤2－112m

-，即 c 1＋c 2＋…＋c m ≤2－1

12m -．………………… 16分