第9章 电磁感应和电磁场思考习题(1)

第9章 电磁感应和电磁场

教学目的要求

1. 理解电磁感应现象的实质，掌握楞次定律和法拉第电磁感应定律，并能用其计算感应电动势与感应电荷；

2. 掌握动生电动势的概念及计算，理解感生电动势与感生电场；

3. 理解互感、自感的概念及其分析，理解磁场的能量与场的物质性；

4. 理解位移电流与全电流安培环路定理，了解麦克斯韦方程组的积分与微分形式，了解电磁波的产生及其基本性质，了解电磁波谱；

5. 了解暂态过程与暂态电路的基本特点.

本章内容提要

⒈ 电磁感应的两个重要定律

① 楞次定律 闭合回路中，感应电流的方向总是使它自身所产生的磁通量，去补偿或者反抗引起感应电流的磁通量的变化．

② 法拉第电磁感应定律

d d i Ψ

t

ε=-

⒉ 几个基本概念

① 动生电动势

()k d d B B

AB A

A

ε=?=????E l υB l

② 感生电场

?

?

???-=?S t

S B

l E L

d d k ③ 感生电动势 k d i ε=

??

L

E l

④ 自感

ΨLI =

自感电动势 d d L I L t

ε=- ⑤ 互感

21211ΨM I = 12122

ΨM I = M M M ==2112

互感电动势 t

I M

t

I

M d d d d 2

121

21-=-=εε

⑥ 磁场的能量密度

H B ?=

2

1

m w ⑦ 位移电流

d d d d I t

?=?=????

D

J S S ⒊ 全电流的安培环路定理

磁场强度H 沿任意闭合回路的线积分等于穿过此闭合回路所包围曲面的全电流

?

????+=+=?S D

l H d d d t

I I I L

⒋ 麦克斯韦方程组

积分形式

d d d d 0d d d d S

V

S L S L

q V

t I I I t ρ??=∑=???=??

??

?=-????

???=+=+???????????S D S B S B B l S D H l S

思考题答题要点

9-1 感应电动势的大小由什么因素决定？

答：感应电动势的大小由磁通量对时间的变化率决定. 9-2 在电磁感应定律d d i Ψ

t

ε=-中，负号的意义是什么？如何根据负号来确定感应电动势的方向？

答：负号的意义是感应电动势方向总是对磁通量的变化起阻碍作用，是楞次定律的表示，其实质是能量守恒定律.用电磁感应定律的“负号”表示电动势的方向时，必须先标定两个参考方向：回路绕行方向和回路包围面积的正法线方向，且规定二者的关系服从右手螺旋定则.这样，当穿过回路的磁感线方向与面法线的方向所成夹角小于90°时，磁通量为正；大于90°时，磁通量为负.当感应电动势大于零时，表示电动势的方向和回路的绕行方向相同，当感应电动势小于零时，表示电动势的方向和回路的绕行方向相反.

9-3 将尺寸完全相同的铜环和木环适当放置，使通过两环中的磁通量的变化率相等．问在两环中是否产生相同的感应电场和感应电流？

答：产生相同的感应电场，感应电动势相同，但木环内没有感应电流.

9-4 一条形磁铁在空中竖直下落，途中穿过一闭合金属环，环中会因此产生感应电流，试分析在此过程中磁铁受力情况和加速度的变化．

答：由楞次定律可知环中感应电流所产生的磁场会阻碍条形磁铁磁场的改变，表现为阻力，所以加速度小于重力加速度g.

9-5 试讨论动生电动势与感生电动势的共同点和不同点．

答：前者是导体回路或其一部分在磁场中运动，使其回路面积或回路的法线与磁感应强度

B 的夹角随时间变化，从而使回路中的磁通量发生变化；后者是回路不动，磁感强度随时间变

化，从而使通过回路的磁通量发生变化．共同点是通过回路的磁通量随时间变化.

9-6 在磁场变化的空间里，如果没有导体，那么在这个空间里是否存在电场？是否存在感应电动势？

答：这个空间里存在电场，存在感应电动势.

9-7 变化电场产生的磁场是否一定随时间变化？变化磁场产生的电场是否也一定随时间变化？

答：都不一定.随时间线性变化的电（磁）场产生稳恒的磁（电）场. 9-8 一块金属在均匀磁场中平移，金属中是否会有涡流？若旋转呢？ 答：平移时磁通量不变，没有涡流.旋转时如果磁通量变化，则有涡流.

9-9 有人说：“因为自感系数m /L ΦI =，所以通过线圈中的电流强度愈大，自感系数愈小．”这种说法对吗？

答：不对.自感L 与回路的形状、大小、位置、匝数以及周围磁介质及其分布有关，而与回路中的电流无关．

9-10 一个线圈自感的大小由哪些因素决定？怎样绕制一个自感为零的线圈？

答：线圈自感由单位长度的匝数、线圈体积和加入的磁介质决定.缠绕线圈时一半正绕、一半反向缠绕可以绕制一个自感为零的线圈.

9-11 两个线圈之间的互感大小由哪些因素决定？怎样放置可使两线圈间的互感最大？ 答：两个线圈之间的互感大小是由两线圈的形状、大小、匝数、周围磁介质的特性以及它们之间的相对位置决定．相互靠近排成一列放置时互感最大.

9-12 说明位移电流和传导电流的不同含义．

答：传导电流是大量自由电荷的宏观定向运动，位移电流的实质却是关于电场的变化率而与电荷的定向移动无关；传导电流通过电阻时会产生焦耳热，而位移电流没有热效应；传导电流主要存在于导体中，而位移电流可存在于真空、导体和介质中.

9-13 你能举出证明麦克斯韦的两个基本假设是正确的事实吗？

答：电磁感应现象证明“感生电场”正确；而电容器的充放电可证明“位移电流”正确. 9-14 将一磁铁插入一个由导线组成的闭合电路线圈中，一次迅速插入，另一次缓慢地插入.试问：

（1）两次插入时在线圈中的感应电荷量是否相同？ （2）两次手推磁铁的力所做的功是否相同？

（3）若将磁铁插入一不闭合的金属环中，在环中将发生什么变化？ 答：（1）相同；（2）不同；（3）磁铁不会受到阻碍. 9-15 如思考题9-15用图所示，当导体棒在均匀磁场中运动时，棒中出现稳定的电场E B υ=，这是否和导体中0E =的静电平衡条件相矛盾?为什么？是否需要外力来维持棒在磁场中作匀速运动？

答：不矛盾.导体在静电平衡状态下电场强度等于零，而导体棒运动时，由于电子受到洛伦兹力而运动，从而在棒两端形成电荷的聚集，产生稳定的电场，电场力和洛伦兹力相等；导体棒在磁场中作匀速运动需要外力维持以克服安培

力.

9-16 熔化金属的一种方法是用“高频炉”.它的主要部件是一个铜制线圈，线圈中有一坩埚，将待熔的金属块置于锅内.当线圈中通以高频交流电时，锅内金属就可以被熔化.这是什么缘故？

思考题9-15用图

答：当线圈中通以高频交流电时，处于锅中的金属内部由于电磁感应会产生涡电流，涡电流具有的热效应可以将锅中的金属熔化.

9-17 试说明：

（1）当线圈中的电流增加时，自感电动势的方向和电流的方向相同还是相反； （2）当线圈中的电流减小时，自感电动势的方向和电流的方向相同还是相反.为什么？ 答：（1）相反；（2）相同. 根据愣次定律可知，这两种情况下产生的自感电动势都将阻止引起感应电动势的原因，由此可以得出相应结果.

9-18 如思考题9-18用图所示，弹簧上端固定，下端悬挂一根磁铁，将磁铁抬到某一高度后放开，则磁铁将上、下振动较长时间才停下来.如果在磁铁下端放一固定的闭合线圈，使磁铁上、下振动时穿过它，则磁铁就会很快地停下来.试解释这个现象，并说明此现象中能量转化的情况.

答：磁铁经过线圈时，会产生感应电流，电流会阻碍磁铁的运动.因此，当磁铁上、下振动时，由于这种阻碍效应，所以磁铁很快会停下来.这一过程中，振动能量会转化为感应电流的电能，其后又会转化为焦耳热能.

9-19 变压器的铁心为什么总做成片状的，而且涂上绝缘漆相互隔开？铁片放置的方向应和线圈中磁场的方向有什么关系？

答：变压器的铁心总做成片状的，而且涂上绝缘漆相互隔开，其目的是防治形成大的涡流；铁片放置的方向应和线圈中磁场的方向垂直.

习题参考解答

9-1 一横截面积为S ＝20 cm 2的空心螺绕环，每厘米长度上绕有50匝，环外绕有N ＝ 5匝的副线圈，副线圈与电流计G 串联，构成一个电阻为R ＝2.0 Ω的闭合回路．若螺绕环中的电流每秒减少20 A ，求副线圈中的感应电动势和感应电流．

解：线圈环绕密度

50/0.01/m 5000/m n ==匝匝

螺线管中磁感应强度

nI B 0μ=

副线圈中的全磁通

0NBS N nIS ψμ==

由法拉第电磁感应定律得知感应电动势的大小

0743d d d d 54π105000201020V 1.25710V

i I

N nS

t t

ψεμ---=

==??????≈? 感应电流

A 1028.64-?≈=

R

I ε

9-2 如习题9-2用图所示，一很长的直导线有交变电流t i ωsin 10=，它旁有一长方形线圈ABCD ，长为l ，宽为()a b -，线圈和导线在一平面内．求：

⑴ 穿过回路ABCD 的磁通量m Φ； ⑵ 回路ABCD 的感应电动势i ε．

思考题9-18用图

解：(1) 导线周围的磁感应强度

02πi

B r

μ=

穿过线圈ABCD 的磁通量

00m 5d d ln sin 2ππb

b

a

a

i

l b Bl r l r t r

a μμΦω??

===

???

??

(2) 回路ABCD 的感应电动势

0m

5d ln cos d πi l b t t a μωΦεω??=-

=- ???

9-3 一长直导线载有5.0 A 直流电流，旁边有一个与它共面的矩

形线圈，长l ＝20 cm ，如习题9-3用图所示，a ＝10 cm ，b ＝20 cm ；

线圈共有N ＝1 000匝，以 3.0m/s υ=的速度离开直导线．求线圈里的感应电动势的大小和方向．

解：导线周围的磁感应强度

02πI

B r

μ=

AB 、CD 段线圈运动过程中并不产生感应电动势，AD 、BC 段线圈切割磁力线产生动生电动势．AD 段线圈产生的感应电动势

02πAD I

NBl N

l a

μευυ==

BC 段线圈产生的感应电动势

02πBC I

NBl N

l b

μευυ==

两者方向相反，总的感应电动势

07

3

112π4π10 5.01110000.2 3.0V 4.510V

2π0.10.2i AD BC I

N

l a b μεεευ--??=-=- ???

????=?

???-=? ???

由楞次定律知感应电动势方向为逆时针方向．

9-4 如习题9-4用图所示，两平行金属导轨有一滑动金属杆EF ，EF 段的电阻为R ，导轨两端的电阻为1R 、2R ，均匀磁场B 垂直通过导轨所在的平面，若EF 的运动速率为υ，求金属杆的电流EF I （略去导轨电阻、磨擦、回路自感）．

解：EF 段的动生电动势

i Bl ευ=

整个回路的电阻

2

12

1R R R R R R ++

=总

金属杆的电流

()121212

i

EF Bl R R I R RR RR R R υε+=

=

++总

习题9-2用图

习题9-3用图

习题9-4用图

9-5 一螺绕环横截面的半径为a ，中心线的半径为R （R >> a ），其上由表面绝缘的导线均匀地密绕两个线圈，各为N 1匝和N 2匝，求两线圈的互感M ．

解：在线圈1中通以电流I ，产生的磁场

1

010

2πN B n I I R

μμ==． 线圈2的全磁通

22

1201220π2π2N N a I N N BS N I a R R

μψμ===

互感

2

1202N N a M I R

μψ

==

9-6 设一螺线管长m 5.0=l ，线圈的面积为2

cm 10=S ，总匝数为3000=N ，试求这一

螺线管的自感系数值（线圈内是空气）．

解：假设螺线管通以电流I ，产生的磁场

l

NI

nI B 00μμ=

=

全磁通

20N I

NBS S l

μψ==

自感系数

9-7 在长为m 2.0、直径为cm 5.0的硬纸筒上，需绕多少匝线圈，才能使绕成的螺线管的自感系数约为H 100.23

-?．

解：设线圈为N 匝，N N n 52.0/==．假设线圈通以电流I ，则 磁场 nI B 0μ=

全磁通 2

05NBS N IS ψμ==．

截面积 ()2

2

ππ0.005/2S r ==．

自感 23

0/5 2.010L I N S ψμ-===?

解之得 4026=N 匝

9-8 两共轴螺线管，长0.1=l m ，截面积10=S cm 2，匝数10001=N ，2002=N .计算这两线圈的互感．若线圈1内的电流变化率为A/s 10，求线圈2内的感应电动势的大小（设管内充满空气）？

解：设线圈1内电流为1I ，磁场

l

I N nI B 1

1010μμ=

=．

线圈2的全磁通

01212N N I S

N BS l

μψ==

互感

7440121

4π1010002001010H 2.510H 1.0

N N S

M I l μψ

---?????=

=

=≈?

若线圈1内的电流变化率为A/s 10，求线圈2内的感应电动势的大小

431

21d 2.51010V 2.510V d I M

t

ε--==??=? 9-9 在半径为R 的长直螺线管的中段内，磁场沿轴向均匀分布，磁感强度B 的大小以恒定的变化率t B d /d 增加着，求距离中心O 为r ()R r > 处的涡旋电场场强大小．

解：由感生电场 2

d 2ππd k B rE R t = 得 t

B

r R E k d d 22=

9-10 半径为R 的圆形平行平板电容器，电荷t q q ωsin 0=均匀分布在极板上，略去边缘

效应，求两板间的位移电流密度和位移电流．

解：电位移矢量的大小

02

sin πq t q D S R ω=

= 位移电流密度

02

d cos d πd q D J t t R ωω=

= 位移电流

0cos d d I J S q t ωω==

9-11在一个物理实验中，有一个200匝的线圈，线圈面积为12 cm 2，在0.04 s 内线圈平面从垂直于磁场方向旋至平行于磁场方向.假定磁感应强度为6×103 T ，求线圈中产生的平均感应电动势.

解：在这段时间内磁通量的变化量为

43m 2001210610Wb 1440Wb NBS Φ-?==????=

由法拉第电磁感应定律得

4m m d 1440

V 3.610V d 0.04

i t t ΦΦε?=

=-=-=-?? 9-12 如习题9-12用图所示，一均匀磁场的磁感线与矩形回路所围面积的法线n e 间夹角

π/3θ=.已知磁感应强度随时间线性增加，即

kt B = (0k >)

回路的AB 边长为l ，以速度υ向右运动.设0t =时，AB 边在0x =处，试求任意时刻回路中感

应电动势的大小和方向.

解：由习题9-12用图可知，通过闭合矩形回路的磁通量为

m cos cos cos BS ktS ktlx Φθθθ===

由法拉第电磁感应定律可得回路中感应电动势的大小为

m d d d (cos )cos cos d d d cos cos 2cos i x

ktlx klx ktl t t t klx ktl kl t Φεθθθθθυυθ=-

=-=+=+= 将π/3θ=代入上式，得

t kl i υε=

习题9-12用图

由楞次定律可知感应电动势方向由A 指向B .

9-13 在一个交流发电机中，有一个150匝环形线圈，线圈半径为2.5 cm ，置于磁感应强度为0.06 T 均匀磁场中，线圈的转速为110 r/min.求线圈中产生的最大感应电动势.

解：线圈的转速110

110r/min r/s 60

n ==

，则线圈转动的角频率为 11π

2π3

n ω== rad/s 根据电磁感应原理可知交流发电机的电动势公式为

sin()i NSB t εωω=

因此线圈中产生的最大感应电动势为

22max 11

π150 3.14(0.025)0.06π3

NSB N r B εωω===????

V 2.0= V 9-14 一个800匝/米的螺线管，在其中心放置一个绕有30匝线圈、半径为1cm 的圆形回路，该回路与螺线管共轴.在1/100 s 时间内，螺线管中产生5A 的电流，试求回路中产生的感应电动势大小.

解：已知螺线管中心处的磁感应强度为0B nI μ=，故通过圆形回路的磁通量为

2m 0πBS nI R Φμ==

由此可知回路中感应电动势的大小为

2

m 0722d d πd d 41080030 3.14(0.01)500V

i I

N

nN R t t

Φεμ-===?????? 34.7310-≈? V

9-15 半径为2 cm 的螺线管，长30 cm ，上面均匀密绕1 200匝线圈，线圈内为空气. （1）求这螺线管中自感多大？ （2）如果在螺线管中电流以3×102 A/s 的速率改变，在线圈中产生的自感电动势多大？

解：（1） 22

2

22πN r L n V Sl N l l

μμμ===

22

7

2

3π(210)4π101200H 0.3

7.5710H

---??=???≈?

(2)

32d 7.5710310V 2.27V d i I

L

t

ε-==???≈ 9-16一螺绕环横截面半径为r ，中心线半径为R ，R r ，其上由表面绝缘的导线均匀地

密绕两组线圈，一个有N 1匝，另一个有N 2匝.试求：

（1）两个线圈的自感L 1和L 2； （2）两个线圈的互感M ； （3）M 与 L 1和L 2的关系.

解：由题意知，螺绕环内的磁场可视为均匀磁场，设线圈1内通以电流1I

（1）线圈1内磁感应强度为 1

1012πN B I R

μ= 磁通量为 22

011m111π2πN I N B S r R

μΦ==

故线圈1的自感为 22

01m1112N r L I R

μΦ==

同理可得线圈2的自感为 22

0222N r L R

μ=

（2）可认为线圈1中产生磁场全部通过线圈2，它在线圈2中产生磁通量为

20121

m 21π2πN N I r R μΦ=

由此得两线圈的互感为 2

2102r R

N N M μ=

(3) 由上述两问的结果可知

21L L M =

9-17 一长直螺线管的导线中通入10 A 的恒定电流时，通过每匝线圈的磁通量为20 μWb ；而当电流以4 A/s 的速率变化时，产生的自感电动势为3.2 mV .试求此螺线管的自感系数与总匝数.

解：∵自感电动势大小为 d d L I L t ε= ∴螺线管的自感系数 3

3.210d /d 4

L L I t ε-?== H 8.0= mH

又∵单位长度的螺线管，其自感系数为

22

22N S L n V Sl N l l

μμμ===

∴螺线管的总匝数为： 4

6

m 810402010

L N Φ--?===? 9-18 一圆环形线圈a 由50匝细线绕成，截面积为4 cm 2，放在另一个匝数等于100匝，半径为20 cm 的圆环形线圈b 的中心，两线圈同轴.求：

（1）两线圈的互感系数；

（2）当线圈a 中的电流以50A/s 的变化率减少时，线圈b 内磁通量的变化率； （3）线圈b 的感生电动势. 解：（1）设有电流b I 通过线圈b ，匝数为b N ，半径为R ，则线在其中心处的磁感应强度为

02b

o b

I B N R

μ=

因为a 是置于线圈b 的中心，则通过a 的磁场可认为是均匀的，所以通过a 的磁通为

0m 02b

a b

I ΦB S N S R

μ==

磁链数为：0m 2b

a a a a

b I N ΦN N S R

μψ==

则由互感定义得

74624π1050100410H 20.2

6.2810H

a

a b

b

M N N S

I R

ψμ---=

=?????=?≈?

（2）因为 b a MI ψ=，则

64d d 6.2810(50)Wb/s 3.1410Wb/s d d b a I

M t t

ψ--==??-=-? （3）由法拉第电磁感应定律得

4d 3.1410V d b

b t

ψε-=-

=? 9-19实验室中一般可获得的强磁场约为2T ，强电场约为106V/m .试求相应的磁场能量密度和电场能量密度，并分析哪种场更有利于储存能量？

解：分析不难得知，磁场能量密度为

22m 702224π10

B ωμ-==?? J/m 371102π=? J/m 3 电场能量密度为

2

1260e 0.58.8510(10)2

E εω-=

=??? J/m 3425.4= J/m 3

显然，磁场能量密度较电场能量密度大得多，更有利于储存能量.

9-20 有一长直密绕螺线管，长度为l ,横截面积为S ，线圈的总匝数为N ，管中的磁导率为 μ .试求其自感.

解： ∵ 由安培环路定理知： N

B I l

μ

= m1N

BS IS

Φμ

==

2

m1

N N IS l

ψΦμ==

习题9-21用图

∴ 2

N L S I l

ψ

μ== . 9-21 如习题9-21用图所示，金属杆A B 以匀速率υ = 2.0 m/s 平行于一长直导线运动，此

导线通有电流I = 40 A .试求杆中的动生电动势，并指出哪端电势高？

解： ∵ AB ()d i ε=

???B l υ ，02πI

B r

μ=

，

∴ B

1.100A

0.1

1.1d d ln

2π2π

0.1

i I

I B l l l

μμυ

ευυ

=-=-=-

??

754π1040 2.0ln11V 3.8410V 2π

--???=-≈-?

方向为 B → A ，故 A 端电势高.

9-22 一长直铁心上密绕线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为Фm = 8.0×10-5sin(100πt ) Wb,试求在t = 1.0×10-2 s 时，该线圈中的感应电动势.

解：∵ Фm = 8.0×10-5sin(100πt )

()()5m

d 1008.010100πcos 100πV 2.51cos 100πV d i N

t t t

Φε-=-=-???≈- ∴ 当 2

1.010s t -=? 时，有

2.51V i ε≈

9-23 在圆形的匀强磁场中同轴地放一个半径为a ，厚度为b 的金属圆盘，如习题16-30用图.今使磁场随时间变化d B/d t = k . k 为一常数.已知金属圆盘的电导率为γ .试求：金属盘内的总的涡电流.

解：∵

d d l

S

B

t

??-???

?

感E l =S ，即 22ππE r k r ?=-感 1

2E kr =-感

∴ 12kr τ=-感E e （τe 为切向单位矢量），1

2kr τγγ=-感J =E e

∴ 20

11d d 24a

S I kr b r kba γγ=?=?=??J S 9-24 在习题9-24用图中实线右方的所有区域内存在磁感应强度为B 且垂直于纸面、方向

向里的均匀磁场.一个电阻为R 、质量为m 、宽为a 的窄长矩形回路，从所画的静止位置开始受恒力F 的作用，在矩形回路左边框未进入磁场前，

（1）矩形回路会作怎样的运动？

（2）矩形回路运动的最大速度能达到多少？

（3）推导出矩形回路的速度随时间的函数关系式. 解：∵ f IBa = ，i

I R

ε=

，m

d d i t

Φε=-

m 0

d d x S

Ba x Bax Φ=?==??B S

∴d d i x

Ba

Ba t

ευ=-=- ，

22B a f R υ=-

习题9-24用图

习题9-23用图

而 d d m t

F +f =υ

，故 22d d B a F m R t υυ-= ① （1）矩形回路开始作加速运动；但当速度达到某一定值时，磁场力与外力平衡，矩形回路

再作匀速运动.

（2）当υ = 常量，即

d 0d t υ=时，有最大速度 max 22FR B a υ= . （3）由式①得 22

0d d t

t F B a m mR

υυ

υ=-?? ，即 2222ln ln F B a F B a t m mR m mR υ??--=- ??? ∴ 22221B a t mR

FR e B a υ-??=- ? ???

9-25 一光滑平行导轨上放一质量为m 的金属杆AB ，如习题9-25用图所示，金属杆长为

L ，导轨的一端与电阻R 相连，其它部分的电阻略去不计，整个装置放在均匀磁场中，磁场方向与导轨平面垂直（导轨平面是水平的），当金属杆以初速度υo 向右运动时，试求金属杆能移动的距离.

解：∵ F BIL =- ，i

I R

ε= ，i BL ευ= ，∴ 22B L F R υ

=-

而 d d F m a m

x

υ

υ== ，∴ 22d d B L m R x υυυ-= ， 00

220d d x mR

x B L

υυ=-??

故 022mR

x B L

υ=

9-26 一个半径为a 的小线圈，起初和一个半径为b （ b >> a ）的大线圈共面并同心（如习题用图所示）.大线圈通入一恒定电流I ，并保持不动，而小线圈以角速度ω绕其直径转动（小线圈电阻为R ，电感L 略去不计）.求： （1）小线圈中感应电流.

（2）两线圈间的互感系数及大线圈中产生的感应电动势.

解：（1）∵ 02I

B b μ=

，20m cos πcos 2I

BS a t b

μΦθω==

2

0m d πsin d 2i I a t t b μΦεωω=-= ∴2

01πsin 2i I I a t R bR

εμωω==

(2) 20

m

πcos 2M a t I

I b

μΦψ

ω=

=

=

222

00112d πcos πcos d 22I I M a t a t t b bR

μμεωωω=-=-?

2

20πcos 4I a t R b μωω??=- ???

习题9-25用图

习题9-26用图

9-27 在B = B o x e at k （k 为z 轴的单位矢量）的磁场中有一弯成α角的金属导轨AOC ，长导线MN 以等速υ在此导轨上滑动.若υ的方向与OC 平行而垂直于MN ，磁场方向如习题9-42用图所示，t = 0时 MN 处于O 点，求：t 时刻回路的感应电动势ε的大小及其方向.

解：∵m

d d i t Φε=-，m d S

Φ=??B S ，而B = B o x e at k ，d d tan d S y x x x α==

即233m 00000

1tan d tan d tan 3t t

at

at

at

B xe x x B e x x B t e υυΦαααυ=

==??? ∴ ()3201tan 33

at

i B at t e εαυ=-?+ ，方向为：M→N .

9-28 一导线被弯成习题9-43用图所示的形状（其中cd 是半径为r = 0.10 m 的半圆，ac 、ab 两端长度均为l = 0.10 m ），在均匀磁场（B 为0.50 T ）中绕轴线ab 转动，转速n = 60 r/s .设电路中的总电阻（包括电表G 的内阻）为1 000 Ω，求导线中的感应电动势和感应电流，它们的最大值各是多少？

解：（1）∵2πt nt θω==，2m 1

cos πcos 2π2

BS Br nt Φθ== 222m d 1

π2πs i n 2ππs i n 2πd 2

i Br n nt Bn r nt t Φε=-

=?= 220.560 3.140.10sin 2π60V 2.96sin120πV t t =????≈

32.9610sin120πA i

i I t R

ε-=≈?

(2) max

2.96V i ε≈ ，3max 2.9610A i I -≈?

9-29 长为a 的金属棒OA 相对于均匀磁场B 的方位角为θ，棒以角速度ω绕通过棒的一端O 且与磁场方向平行的轴转动，如习题9-29用图所示.求：

（1）金属棒上的电动势ε；

（2）A 点与O 点上电势的高低及电势差V A – V O .

解：（1）dl vB l d B v a

l )90cos(90sin )(0

i θε-??=??=??

微元l d

的速度大小 θωωs i n l r v ＝=

所以金属棒上的电动势为：

θω?ωε220

2sin 2

1

sin Ba ldl B a

==?

（2）A 点上电势高，O 点上电势低； θωε22s i n 2

1Ba V V o A ==-

习题9-29用图

习题9-28用图

习题9-27用图