【人教A版】高一数学必修2模块综合检测试卷A卷含解析
数学人教A 版必修Ⅱ模块综合测试(A 卷)（附答案）
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)
1．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程为( )． A ．3x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋3y －1＝0 C ．3x ＋2y ＋1＝0 D ．2x －3y －1＝0
2．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )．
A ．20
B ．15
C ．12
D ．10 3．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱BB 1、B 1C 1的中点，若∠CMN
＝90°，则异面直线AD 1和DM 所成角为( )．
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
4．如图所示，△ABC 为正三角形，AA ′∥BB ′∥CC ′，CC ′⊥平面ABC 且3AA ′＝3
2
BB ′＝CC ′＝AB ，则多面体ABC —A ′B ′C ′的正视图(也称主视图)是( )．
5．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中
B O ''＝1
C O ''＝，2
A O ''△ABC 中∠ABC 的大小是( )．
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
6．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S -ABC 的体积为( )．
A.
3
B.
3
C.
3
D.
3
7．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )．
A ．36
B ．18
C ．
D ．
8．把直线3
y x 绕原点逆时针转动，使它与圆22230x y y ＋＋－＋＝相切，则直线转动的最小正角是( )．
A.
3
π B.
2
π C.
23
π D.
56
π
9．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )．
A ．4
B ．
C ．2 D. 10．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －2y ＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，则k ＝( )．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
11.已知实数x 、y 满足2x ＋y ＋5＝0( )．
A.
B ．5
C ．
D.
5
12．若直线y ＝x ＋b 与曲线3y ＝有公共点，则b 的取值范围是( )．
A ．[1,1-+
B ．[1-+
C ．[1-
D ．[1 二、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分)
13．体积为8的一个正方体，其全面积与球O 的表面积相等，则球O 的体积等于__________．
14．已知一个等腰三角形的顶点A (3,20)，一底角顶点B (3,5)，另一顶点C 的轨迹方程是__________．
15．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为__________．
16．将一张坐标纸折叠一次，使得点P (1,2)与点Q (－2,1)重合，则直线y ＝x －4关于折痕的对称直线为__________．
三、解答题(本题共6小题，共74分) 17．(12分)如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝
2AD ，PD ⊥底面ABCD .
(1)证明：P A ⊥BD ；
(2)设PD ＝AD ＝1，求棱锥D -PBC 的高．
18．(12分)已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的a 、b 的值．
(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与直线l 2垂直．
(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1、l 2的距离相等．
19．(12分)已知线段AB 的端点B 的坐标为(1,3)，端点A 在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4上运
动．
(1)求线段AB的中点M的轨迹；
(2)过B点的直线l与圆C有两个交点E、D，当CE⊥CD时，求l的斜率．
20．(12分)请你帮忙设计2010年玉树地震灾区小学的新校舍，如图，在学校的东北方有一块地，其中两面是不能动的围墙，在边界OAB内是不能动的一些体育设施．现准备在此建一栋教学楼，使楼的底面为一矩形，且靠围墙的方向须留有5米宽的空地，问如何设计，才能使教学楼的面积最大？
21．(12分)如图所示，△ABC是正三角形，线段EA和DC都垂直于平面ABC，设EA ＝AB＝2a，DC＝a，且F为BE的中点．
(1)求证：DF∥平面ABC；
(2)求证：AF⊥BD；
(3)求平面BDE与平面ABC所成的较小二面角的大小．
22．(14分)(2011安徽高考，文19)如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD 垂直，点O在线段AD上，OA＝1，OD＝2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形．
(1)证明直线BC∥EF；
(2)求棱锥F-OBED的体积．
答案与解析
1.答案：A
解析：由直线l与直线2x－3y＋4＝0垂直，可知直线l的斜率是
3
2 -，
由点斜式可得直线l的方程为
3
2
2(1)
y x
-
－＝＋，即3x＋2y－1＝0.
2.答案：D
解析：从正五棱柱的上底面1个顶点与下底面不与此点在同一侧面上的两个顶点相连可得2条对角线，故共有5×2＝10条对角线．
3.答案：D
解析：因为MN ⊥DC ，MN ⊥MC ，所以MN ⊥平面DCM . 所以MN ⊥DM .
因为MN ∥AD 1，所以AD 1⊥DM . 4.答案：D
解析：因为几何体的正视图是该几何体从前向后的正投影． 5.答案：C
解析：根据“斜二测画法”可得2BC B C ''＝＝，2AO A O ''＝故原△ABC 是一个等边三角形． 6.答案：C
解析：如上图所示，连接OA 、OB (O 为球心)． ∵AB ＝2，∴△OAB 为正三角形． 又∵∠BSC ＝∠ASC ＝45°，
且SC 为直径，∴△ASC 与△BSC 均为等腰直角三角形． ∴BO ⊥SC ，AO ⊥SC .
又AO ∩BO ＝O ，∴SC ⊥面ABO .
∴---11·
·()3443S ABC C OAB S OAB OAB V V V S SO OC ???＝＋＝＋＝，故选C. 7.答案：C
解析：圆的方程可化为(x －2)2＋(y －2)2＝18，其圆心到直线x ＋y －14＝0的距离
d ＝
∵d ＞r ，∴直线与圆相离．
∴最大距离与最小距离的差是两个半径，即. 8.答案：B
解析：由题意，设切线为y ＝kx 1=.
∴k ＝0或k ∴k ∴最小正角为2362
πππ-=. 9.答案：B
解析：由题意可设棱柱的底面边长为a 2·a ＝，得a ＝2.
由俯视图易知，三棱柱的侧视图是以2
∴其面积为 B. 10.答案：A 解析：由22
1
20
y kx x y kx y =+??
++-=?得(1＋k 2)·x 2＋kx －1＝0， ∵两交点恰好关于y 轴对称， ∴122
01k
x x k
=+＋＝－.∴k ＝0. 11.答案：A
P (x ，y )
原点到直线2x ＋y ＋5＝0的距离，即
d =. 12.答案：C
解析：曲线3y ＝表示圆(x －2)2＋(y －3)2＝4的下半圆，如图所示，当直线y ＝x ＋b 经过点(0,3)时，b 取最大值3，当直线与半圆相切时，b 取最小值，2
=
? 1b =-或1+舍)，故min
1b =-，b 的取值范围为[1-．
13.答案：
π
解析：设正方体棱长为a ，则a 3＝8.∴a ＝2. ∵S 正方体＝S 球，∴6×22＝4πR 2.
∴R ，3
34
43
3
V R ππ=
球＝＝.
14.答案：(x －3)2＋(y －20)2＝225(x ≠3) 解析：设点C 的坐标为(x ，y )， 则由|AB |＝|AC |得
=，
化简得(x －3)2＋(y －20)2＝225.
因此顶点C 的轨迹方程为(x －3)2＋(y －20)2＝225(x ≠3)．
15.答案：
解析：将几何体补充出来，如图所示．最长棱为TG
16.答案：x ＋7y ＋20＝0
解析：PQ 的中点为13(,)22-，13
PQ k ＝， 则折痕的斜率为k ＝－3，
则折痕所在直线方程为3(31)22
y x －＝－＋，即y ＝－3x . 由43y x y x =-??
=-?得1
3
x y =??=-?即交点为(1，－3)，
在y ＝x －4上任取点(0，－4)，则关于y ＝－3x 的对称点为1216
(,)55
-，对称直线为x ＋7y ＋20＝0.
17.(1)证明：因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，由余弦定理得BD .
从而BD 2＋AD 2＝AB 2， 故BD ⊥AD .
又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD . 所以BD ⊥平面P AD .故P A ⊥BD .
(2)解：如图，作DE ⊥PB ，垂足为E
.
已知PD ⊥底面ABCD ， 则PD ⊥BC .
由(1)知BD ⊥AD ，又BC ∥AD ，所以BC ⊥BD . 故BC ⊥平面PBD ， 所以BC ⊥DE . 则DE ⊥平面PBC . 由题设知PD ＝1
，则BD =
PB ＝2.
根据DE ·PB ＝PD ·BD
，得2DE ，即棱锥D -PBC
的高为2
.
18.解：(1)∵l 1⊥l 2，
∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，即a 2－a －b ＝0.① 又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②解得a ＝2，b ＝2.
(2)∵l 1∥l 2且l 2的斜率为1－a ， ∴l 1的斜率也存在，1a
b a ＝－，1b a a
-＝
. 故l 1和l 2的方程可分别表示为l 1：4(101)x a y a a (-)=－＋＋，l 2：(011)a x y a
a
=-－＋＋.
∵原点到l 1与l 2的距离相等，
∴14|
|||1a a a a -=-，a ＝2或2
3
a ＝. 因此22a
b =??=-?或232.
a b ?
=???=?
19.解：(1)设A (x 1，y 1)、M (x ，y )，
由中点公式得111
2
32
x x y y +?=???+?=???11212 3.x x y y =-??=-?
因为A 在圆C 上，
所以(2x －1)2＋(2y －3)2＝4，即(x －
12)2＋(y －3
2
)2＝1. 点M 的轨迹是以13
(,)22
为圆心，1为半径的圆．
(2)设l 的斜率为k ，则l 的方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0.
因为CE ⊥CD ，△CED 为等腰直角三角形，圆心C (－1,0)到l 的距离为1
2
2CD ＝ 由点到直线的距离公式得2
|3|
21
k k k --+=+，
∴4k 2－12k ＋9＝2k 2＋2. ∴2k 2－12k ＋7＝0，解得11222332
k ±±＝＝
20.解：如图建立坐标系，
可知AB 所在直线方程为
12020
x y +=，即x ＋y ＝20. 设G (x ，y )，由y ＝20－x 可知G (x,20－x )．
∴S ＝[39－5－(20－x )][25－(5＋x )]＝(14＋x )(20－x )＝－x 2＋6x ＋20×14＝－(x －3)2＋289.
由此可知，当x ＝3时，S 有最大值289平方米．
故在线段AB 上取点G (3,17)，过点G 分别作墙的平行线，建一个长、宽都为17米的正方形，教学楼的面积最大．
21.解：(1)如图所示，取AB 的中点G ，连接CG 、FG .
∵EF ＝FB ，AG ＝GB ， ∴FG 12EA . 又DC
1
2
EA ， ∴FG DC .
∴四边形CDFG 为平行四边形． 故DF ∥CG .
∵DF ?平面ABC ，CG ?平面ABC ， ∴DF ∥平面ABC .
(2)∵EA ⊥平面ABC ，∴AE ⊥CG . 又△ABC 是正三角形，∴CG ⊥AB . ∴CG ⊥平面AEB .
又∵DF ∥CG ，∴DF ⊥平面AEB . ∴平面AEB ⊥平面BDE .
∵AE ＝AB ，EF ＝FB ，∴AF ⊥BE . ∴AF ⊥平面BED ，∴AF ⊥BD .
(3)延长ED 交AC 的延长线于G ′，连BG ′.
由CD ＝
1
2
AE ，CD ∥AE 知，D 为EG ′的中点， 又F 为BE 的中点， ∴FD ∥BG ′.
又CG ⊥平面ABE ，FD ∥CG ， ∴BG ′⊥平面ABE .
∴∠EBA 为所求二面角的平面角．
在等腰直角三角形AEB 中，易求∠ABE ＝45°. 故所求二面角的大小为45°. 22.(1)证明：设G 是线段DA 与EB 延长线的交点．由于△OAB 与△ODE 都是正三角形． 所以OB
1
2
DE ，OG ＝OD ＝2.
同理，设G ′是线段DA 与FC 延长线的交点，有OG ′＝OD ＝2.又由于G 和G ′都在线段DA 的延长线上，所以G 与G ′重合．
在△GED 和△GFD 中，由OB
1
2DE 和OC 1
2
DF ，可知B 和C 分别是GE 和GF 的中点，所以BC 是△GEF 的中位线，故BC ∥EF .
(2)解：由OB ＝1，OE ＝2，∠EOB ＝60°，知3
2
EOB S ?，而△OED 是边长为2的正三角形，故3OED S ?＝所以33
2
EOB OED OBED S S S ??四边形＝＋＝. 过点F 作FQ ⊥DG ，交DG 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F -OBED
的高，且3FQ ＝
所以-1
·332
F OBED OBED V FQ S 四边形＝＝.