2014-2015学年华南理工大学期末考试《工科数学分析》上 试卷(A)(附解答)

《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷

诚信应考，考试作弊将带来严重后果！

华南理工大学本科生期末考试 《工科数学分析》2014—2015学年第一学

期期末考试试卷（A ）卷

注意事项：1. 开考前请将密封线内各项信息填写清楚；

2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；

3．考试形式：闭卷； 4. 本试卷共 5个 大题，满分100分， 考试时间120分钟。

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一、填空题（每小题3分，共15分） １. 函数

()12

12x x

e e

f x e e

+=

-的间断点及其类

型为0x =是跳跃间断点，12x =是无穷间断点；

２. 已知函数()y y x =由方程y

x

x y =所

确定，则曲线()y y x =在点()1,1处的切

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线方程为0x y -= ；

３. 设x

y xe =，则()

n d y =()x

n

x n e dx + ；

４. 220x t d e dt dx -??

= ???

?4

2x xe - ；

５. 反常积分()

2

2

ln dx x x +∞=

?

1

ln 2

．

二、计算下列各题（每小题8分，共16分） 1. 求极限()1

1lim

x

x x e

x

→+-

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解：

()

()()()()

()

()1

1ln 10

1

ln 12

1lim

lim

1ln 1lim 41ln 1lim

6282

x x

x

x x x x

x x x e

e

e

x

x

x x x e

x x x e x

e

+→→+→→+--=-++=?

+-+==- 分

分

分

或

()()()1ln 111002

0011lim lim ln 1lim 4111lim 6282

x x x x x x x e e x e x x

x x e x x e x e

+-→→→→??

-??+-??=+-=-+==- 分分分

2.

计算定积分1dx

? 解：

2

3

2

1

4

3

4

tan,sec,

cos

4

sin

1

6

sin t

8

x t dx tdt

tdt

t

π

π

π

π

==

=

??

令则

分

＝－分

分

三、解答下列各题（每小题10分，共40分）

1.

设()

11

10,1,2,,

n

x x n

+

=== 试证

明数列{}n x收敛，并求lim.n

n

x

→∞

证明：（1）()

11

10343,3,1,2,

n

x x x n

=≥=≥≥=

，用归纳法可证，即数列{}

n

x有下界；3分

（2

）

1

32

0,

n n n

x x

x x x

+

-+

-==<即，数列{}n x 单调减少。6分

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利用单调有界收敛性定理可知，数列{}

n

x 收敛。 7分 （3

）+1

lim ,lim 3.

n

n n n n x A x

x →∞

→∞

===设在方程

10分

2. 设()()(),x f t y tf t f t '=???'=-??

其中()f t ''存在且不

为零，求2

2.d y

dx

解：()()()()

4f t tf t f t dy t dx f t ''''+-='' ＝分 ()

221

10d y dx f t '' ＝分

3. 求不定积分2

3sin .cos x

dx x ?

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解：

()223

32sin tan sec tan sec 2cos tan sec sec 4tan sec sec tan 16tan sec ln sec tan 9x I dx x xdx xd x x x x xdx x x x x dx x x x x I ===?-=?-?+=?-+-????? ＝分分

分分

所以23sin 1tan sec ln sec tan 10cos 2

x I dx x x x x C x =??-+?+??? ＝分

4. 求摆线

()

()

()sin 01cos x a t t a y a t =-??>?=-??的一拱

()02t π≤≤与x 轴所围成的平面图形绕

2y a =旋转一周所得旋转体的体积。 解：

()()

()()22

2

22

2

3

02322268cos 1cos 8710a V a a a y dx a a a t a t dt a ππππππππ??---+?-=??

＝分

＝分

分

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四、证明题（每小题10分，共20分） 1. 设函数()f x 在[],a b 上满足李普希

兹

条件

：

()()

[

](

),,f

x

f y

-≤

-其中L 为

常数，证明()f x 在[],a b 上一致连续。 证明：

[]()()[]()0,0,

,,,,,.

L

x y a b x y f x f y L x y x y a b ε

εδδε

?>?=

>?∈-<-≤-

所以()f x 在[],a b 上一致连续。 10分

2. 设()f x 在[]0,1上二阶可导，且满足条件()(),

,f x a f x b ''≤≤其中,a b 为非负常数，

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设c 为()0,1内任意一点，证明：

()2.

2b

f c a '≤+

证明： 将()0f 和()1f 在任意点()0,1c ∈作二阶Taylor 展开，

()()()()()()()()()()()()2

12

1000,

2!111,42!

f f f c f x c c f f f c f c c c ξξ'''=+-+-'''=+-+- 分

两式相减得，

()()()()()()()()()()()()()()

()22

1122

112

2100162!2!

1+00+12!2!

21822102f f f x f f x x f f f c f f c c b a c c b

a ξξξξ'''''+

--'''''≤+--??≤++-?

?≤+ ＝－－分，则，分

分

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五、应用题（本题9分）

问当a 在0,2π?? ???内取何值时，曲线

()sin 02y x a x π?

?=-≤≤ ??

?与x 轴，y 轴及

直线

2x π

=

所围图形的面积最小，并

求此最小面积。 解：

()()()20

sin sin 42cos cos 62a

a

S a x a dx x a dx a a π

π=--+-??

-- ???

?? 分

＝－分

()()sin sin 0,

284

S a a a x ππ

??

'=--= ???=

令得到 唯一分

又根据实际意义，所求的最小值存在， 故(

)2944x S a S ππ??== ???时，最小，最小值为令分