高中数学必修一同步练习题库：函数的基本性质(简答题：困难)

函数的基本性质（简答题：困难）

1、已知首项为的等比数列不是递减数列，其前项和为，且

成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的最大项的的值与最小项的值.

2、已知函数a为常数且a＞0.

（1）证明：函数f（x）的图像关于直线x=对称；

（2）若x0满足f（f（x0））= x0，但f（x0）≠x0，则x0称为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；

（3）对于（2）中的x1，x2，和a，设x3为函数f（f（x））的最大值点，A（x1，f（f（x1））），B

（x2，f（f（x2））），C（x3，0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性.

3、已知函数，．

（1）若，判断函数的奇偶性，并加以证明；

（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；

（3）若存在实数使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．

4、已知函数为奇函数．

（1）求的值；

（2）当函数的定义域为时，若，求实数的取值范围．5、已知是定义在上的奇函数．

（1）当时，，若当时，恒成立，求的最小值；

（2）若的图像关于对称，且时，，求当时，的解析式；

（3）当时，．若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

6、已知函数f（x）=|x|（x﹣a），a为实数．

（1）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；

（2）若函数f（x）在[0，2]为增函数，求实数a的取值范围；

（3）是否存在实数a（a＜0），使得f（x）在闭区间上的最大值为2，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

7、设函数f（x）=，g（x）=a（x+b）（0＜a≤1，b≤0）．

（1）讨论函数y=f（x）?g（x）的奇偶性；

（2）当b=0时，判断函数y=在（﹣1，1）上的单调性，并说明理由；

（3）设h（x）=|af2（x）﹣ |，若h（x）的最大值为2，求a+b的取值范围．

8、已知函数为奇函数.

（1）求的值，并求函数的定义域；

（2）判断并证明函数的单调性；

（3）若对于任意，是否存在实数，使得不等式恒成立，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.

9、（本小题满分12分）已知函数．

（1）判断的奇偶性．

（2）判断在上的单调性，并用定义证明．

（3）是否存在实数，使不等式对一切恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

10、已知是定义在上的奇函数，且，若时，有

（1）证明在上是增函数；

（2）解不等式

（3）若对恒成立，求实数的取值范围

11、已知函数，其中.

（1）若在上存在极值点，求的取值范围；

（2）设，，若存在最大值，记为，则当时，是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由.

12、已知函数，当时，的最大值为，最小值为.

（1）若角的终边经过点，求的值；

（2）设，在上有两个不同的零点，求的取值范围.

13、已知函数是定义域为的奇函数.

（1）求实数的值；

（2）若，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）若且上最小值为，求的值.

14、已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且

时，有.

（1）判断并证明函数的奇偶性；

（2）判断并证明函数的单调性；

（3）设,若<,对所有恒成立,求实数的取值范围.

15、函数

（1）当时，求函数在上的值域；

（2）是否存在实数，使函数在递减，并且最大值为1，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

16、已知函数，其中．

（1）求函数的单调区间；

（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围．

17、已知函数，．

（Ⅰ）若有且仅有两个不同的解，求的值；

（Ⅱ）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若时，求在上的最大值．

18、已知函数的导数，，（a，b为实数），.

（1）若在区间上的最小值、最大值分别为，求a，b的值；

（2）设函数，试判断函数的极值点个数.

19、已知实数，函数.

（1）当时，求的最小值;

（2）当时,判断的单调性,并说明理由；

（3）求实数的范围，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形.

20、已知函数．

（1）讨论函数的奇偶性；

（2）若函数在上为减函数，求的取值范围．

21、定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界．已知函数，

．

（1）若函数为奇函数，求实数的值；

（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；

（3）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围．

22、设函数f(x)＝a为常数且a∈(0，1)．

(1)当a＝时，求f；

(2)若x0满足f[f(x0)]＝x0，但f(x0)≠x0，则称x0为f(x)的二阶周期点．证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；

(3)对于(2)中的x1，x2，设A(x1，f[f(x1)])，B(x2，f[f(x2)])，C(a2，0)，记△ABC的面积为S(a)，求S(a)在区间[，]上的最大值和最小值．

23、定义在上的函数同时满足以下条件：

①在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；

②是偶函数；

③在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直．

(1)求函数＝的解析式；

(2)设g(x)＝，若存在实数x∈[1，e]，使<，求实数m的取值范围．.

24、已知函数.

（Ⅰ）当，函数有且仅有一个零点，且时，求的值；（Ⅱ）若函数在区间上为单调函数，求的取值范围.

25、已知实数，函数.

（1）当时，求的最小值;

（2）当时,判断的单调性,并说明理由；

（3）求实数的范围，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以

为边长的三角形.

26、已知函数（为实常数）．

（1）若函数图像上动点到定点的距离的最小值为，求实数的值；（2）若函数在区间上是增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围；

（3）设，若不等式在有解，求的取值范围．

参考答案

1、（1）;（2）,.

2、（1）见解析（2）（3）见解析

3、（1）奇函数，（2），(3)

4、（1）；（2）.

5、（1）的最小值为；（2）当时，；（3）

.

6、(1) a=0．（2）a≤0（3）a=﹣3．

7、（1）见解析（2）单调递增（3）

8、（1）函数的定义域是;（2）见解析;（3）.

9、（1）的奇函数．

（2）在上是增函数，证明见解析．

（3）

10、（1）详见解析（2）（3）

11、（1）；（2）存在，且存在最大值为．

12、（1）;（2）.

13、（1）（2）（3）

14、（1）见解析（2）见解析（3）

15、（1）（2）不存在

16、（１）当时，的单调递增区间是，当时，的单调递增区间是

和，单调递减区间是；（２）或．

17、（Ⅰ）或；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

18、（1），

（2）当时，极值点个数0；当时，有两个极值点.

19、（1）2；（2）递增；（3）．

20、1）当时，是奇函数；当时，是偶函数；当时，是非奇非偶函数，（2）.

21、（1）;（2）；（3）.

22、（1）（2）见解析，x1＝，x2＝（3）最小值为，最大值为

23、（1）；（2）.

24、（1）；（2）或.

25、（1）2；（2）递增；（3）．

26、（1）或；（2）；（3）当时，；

当时，．

【解析】

1、试题分析：（1）由等差数列得到的等式关系，转化为等比数列首项和公比表示，解方程可求得公比值，进而得到数列的通项公式；（2）由的值可求得数列的通项公式，通过判断的单调性可求得数列的最大项和最小项.

解：（1）设等比数列的公比为，因为成等差数列，所以

，即，于是.又不是递减数列且，所以，故等比数列的通项公式为.

（2）由（1）得当为奇数时，随的增大而减小，所以，故；当为偶数时，随的增大而增大，所以

，故综上，对于，总有

.所以数列最大项的值为，最小项的值为.

2、

考点：本题主要考查函数的概念、图像和性质，考查函数与导数等基础知识，考查理解能力、运用和创新能力，考查综合处理能力等.

3、试题分析：（1）函数奇偶性的判定，一要判定定义域是否关于原点对称，二要判定与是否相等或相反，（2）函数是分段函数，每一段都是二次函数的一部分，因此研究单调性，必须研究它们的对称轴，从图像可观察得到实数满足的条件：，(3)研究方程根的个数，通常从图像上研究，结合（2）可研究出函数图像.分三种情况研究，一是上单调增函数，二是先在上单调增，后在上单调减，再在上单调增，三是先在上单调增，后在上单调减，再在上单调增.

试题解析：（1）函数为奇函数．[来

当时，，，∴

∴函数为奇函数； 3分

（2），当时，的对称轴为：；

当时，的对称轴为：；∴当时，在R上是增函数，

即时，函数在上是增函数； 7分

（3）方程的解即为方程的解．

①当时，函数在上是增函数，∴关于的方程不可能有三个不相等的实数根； 9分

②当时，即，∴在上单调增，在上单调减，在

上单调增，∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；即，∵∴．

设，∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，∴，又可证在上单调增

∴∴； 12分

③当时，即，∴在上单调增，在上单调减，在

上单调增，

∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；

即，∵∴，设

∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，

∴，又可证在上单调减∴

∴； 15分

综上：． 16分

考点：函数奇偶性，函数单调性，函数与方程.

4、试题分析：（1）由题意得恒成立，即对任意，恒成立，整理得，比较系数可得，解得；（2）根据条件可得，从而，构造，可证得在R上为奇函数且单调递增。将所给不等式变形得，即

，从而可得，解得。

试题解析：

（1）函数为奇函数

对任意，有恒成立，即对任意，恒成立

整理得

∴

解得 .

∴。

（2）函数的定义域为，由（1）可知，

∴

令，定义域为

设 ,

，

∵，

∴

∴,

∴.

∴

函数在上单调递增.

,

为奇函数，

∵,

∴,

∴,

∴,

即

∴

∴,

解得.

∴实数的取值范围为．

点睛：（1）解答第一问时，运用奇函数的定义可得关于k的恒等式，通过比较系数可得k的取值。注意在解答题中尽量少用这一结论。

（2）第二问综合了函数的奇偶性和单调性，其中构造函数是解题的关键。解抽象不等式时，可通过构造函数，利用函数的单调性和奇偶性去解。

5、试题分析：（1）根据解析式求出时值域，再根据奇函数得到对称区间上的值域，从而得到

的最小值；（2）利用对称性先求出对称区间上的解析式，再根据函数是奇函数求上的解析式即可；（3）根据函数的单调性可以得到自变量的关系，然后分离参数，转化后求解即可.

试题解析：

（1）时，，根据函数是奇函数，时，，所以

；

（2）根据对称性及函数的奇偶性可得：当时，；（3）

∵是上的奇函数，

∴当时，

∴

∴在上是增函数，

∵对任意的，不等式恒成立,

∴,即

∵，∴即可，解得.

点睛：本题主要考查了二次函数，二次函数在区间上的最值，函数的奇偶性，利用奇偶性、对称性求函数解析式，利用函数单调性解决恒成立问题，属于难题.在解函数奇偶性有关问题时，注意在对称区间上函数的解析式及单调性规律，解决恒成立问题时一般利用单调性简化运算，注意分离参数后转化为求式子的最值问题.

6、试题分析：（1）因为f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），根据函数解析式，化简式子得

2a|x|=0对任意x∈R恒成立，求得；（2）当时，f（x）=|x|（x﹣a）可去掉绝对值号得f

（x）=x（x﹣a），其对称轴为，要使函数f（x）在[0，2]上单调递增，由二次函数的图像可得，求的范围。（3）当时，的解析式去掉绝对值号可得

，因为f（x）在闭区间上的最大值为2，由特殊值，限定的范围，因为函数的对称轴为，因为a＜0，所以函数在（0，+∞）上递增，所以

，所以必在区间[﹣1，0]上取最大值2，讨论函数在[﹣1，0]上的单调性，最大值等于2，可求实数的值。

试题解析：（1）因为奇函数f（x）定义域为R，

所以f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R恒成立，

即|﹣x|（﹣x﹣a）=﹣|x|（x﹣a），即|x|（﹣x﹣a+x﹣a）=0，

即2a|x|=0对任意x∈R恒成立，

所以a=0．

（2）因为x∈[0，2]，所以f（x）=x（x﹣a），

显然二次函数的对称轴为，由于函数f（x）在[0，2]上单调递增，

所以，

即a≤0（若分a＜0，a=0，a＞0三种情况讨论即可）

（3）∵a＜0，，

∴f（﹣1）=﹣1﹣a≤2，∴﹣a≤3（先用特殊值约束范围）

∴，f（x）在（0，+∞）上递增，

∴f（x）必在区间[﹣1，0]上取最大值2．

当，即a＜﹣2时，则f（﹣1）=2，a=﹣3成立

当，即0＞a≥﹣2时，，则（舍）

综上，a=﹣3．

【点睛】1、函数为奇函数，求解析式中字母的值有三种方法：①；②特殊的实数

；③定义域中含实数0，由。2、函数解析式中含有绝对值，可讨论去掉绝对值号，然后在考虑单调性、最值。

7、试题分析：（1）当时，由奇函数定义可得函数为奇函数；当时，举一个反例可得函数为非奇非偶函数（2）利用单调性定义进行证明：作差后进行分子因式分解，根据因子符号判定差的符号，

最后根据单调性定义进行判断（3）绝对值内为二次函数，讨论标准为对称轴与定义区间位置关系，根据离开对称轴的远近及图像确定函数最值，根据函数关系式求对应值域，最后求各个值域的并集

试题解析：（1）当时，，为奇函数；

当时，为非奇非偶函数

（2）任取，则，即为单调递增函数

（3）

当时

当时

综上

8、试题分析：（1）由奇函数定义得，根据对数运算性质可得或（舍去）；（2）利用定义判断并证明函数的单调性，先设任意两数，再作差，根据对数性质，只需比较真数大小即可，最后根据差的符号确定函数单调性；（3）先利用函数性质等价转化不等式，因为，所以对于任意恒成立，再令，转化为区间端点值满足不等式即可，解不等式即得实数的取值范围.

试题解析：（1）∵函数为奇函数，

∴在定义域内恒成立，

即，∴在定义域内恒成立，∴或（舍去），即，.

故函数的定义域是.

（2）（），任取且，则设

（），.

∵，，∴，

∴，即在定义域内单调递增.

（3）假设存在实数，使得不等式恒成立，即

恒成立.

由（1），（2）知：对于任意，当时成立；

当时，令，

，即.

点睛：解函数不等式，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.

9、试题分析：（1）先根据定义判断函数的奇偶性，（2）再用定义证明函数是单调递增的．（3）假设存在实数t满足条件，借助函数单调性找到x－t与－x2＋t2的大小关系，再参变分离，转化成

问题求解，有时需要对参数讨论．

试题解析：（1）是奇函数． 3分

（2）任取x1，x2∈R，且x1

，∵x1

∴f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）

（3）假设存在实数t满足条件．

由f（x）是R上的奇函数，不等式f（x－t）＋f（x2－t2）≥0可化为f（x－t）≥－f（x2－t2），即f（x－t）≥f（－x2＋t2），又f（x）是R上的增函数，∴f（x－t）≥f（－x2＋t2）等价于x－t≥－x2＋t2，

即x2＋x－t2－t≥0对一切恒成立，即 9分

即解得

综上所述，存在使不等式f（x－t）＋f（x2－t2）≥0对一切恒成立． 12分

考点：1、函数的奇偶性判断；2、函数单调性的证明；3、关于含参数的恒成立问题；

【方法点晴】1、如何利用定义判断函数的奇偶性，其方法是：首先考虑函数定义域是否关于原点对称，若定义域不关于原点对称则函数为非奇非偶函数，关于原点对称后才找的关系，

2、用定义证明函数的单调性，一般的思路是：设点，作差，变形，判断符号，

3、含参数的恒成立问题一般采用参变分离的方法．

10、试题分析：（1）利用单调性的定义，即可证明函数的单调性；（2）利用单调性的定义，列出不等式组，即可求解；（3）因为在是单调递增函数且，所以只要的最大值小于等于即，然后即可求得的范围.

试题解析：（1）利用定义法任取

得

因为即可证明．

（2）根据函数单调性确定即可解得．

（3）因为在是单调递增函数且＝1，

所以只要f（x）的最大值小于等于即，

然后即可求得t的范围.

考点：函数性质的综合应用．

【方法点晴】本题主要考查了函数的综合应用问题，其中解答中涉及到单调性的定义、函数单调性的应用，以及函数的恒成立问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、以及推理与运算能力，本题的解答中根据函数的单调性列出不等式组和把恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键，试题有一定的难度，属于难题．

11、试题分析：

(1)函数存在极值点，将问题转化为导函数有根，且不为重根，据此分离系数，结合对勾函数的性质和函数

的定义域求解实数的取值范围即可；

(2)分类讨论，当时，不存在最大值，

当时，由根与系数的关系求得的解析式，结合的式子构造新函数

，利用新函数的性质结合题意即可求得的最大值. 解：

（1），.

由题意，得，在上有根（不为重根）.

即在上有解.

由在上单调递增，得.

检验：当时，在上存在极值点.

∴.

（2）若，∵在上满足，

∴在上单调递减，∴.

∴不存在最大值.

则.

∴方程有两个不相等的正实数根，令其为，且不妨设

则.

在上单调递减，在上调递增，在上单调递减，

对，有；对，有，

∴.