第十章三角形的有关证明复习讲义(教师版 )

三角形的有关证明

三角形、矩形、平行四边形约好去XX上课，三角形迟到了，其他人都在等他。这种情况被称为：全等三角形！【知识梳理】

【答案】见解析

【总结】考察了全等三角形的性质，通过性质求出相关量。

【变式训练】如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，在△ADE≌△BDE≌△BDC，则∠A的度数是（）

A．15°B．20°C．25°D．30°

【答案】D

【解析】解：∵△ADE≌△BDE≌△BDC，

∴∠ADE=∠BDE=∠BDC，∠AED=∠BED，

又∵∠ADE+∠BDE+∠BDC=180°，∠AED+∠BED=180°，

∴∠ADE=60°，∠AED=90°

∴∠B=30°．故选D

考点二：全等三角形的判定

【例题】如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．

（1）求证：△AEC≌△BED；

（2）若∠1=42°，求∠BDE的度数．

【答案】见解析

【解析】解：（1）证明：∵AE和BD相交于点O，

∴∠AOD=∠BOE．

在△AOD和△BOE中，

∠A=∠B，∴∠BEO=∠2．

又∵∠1=∠2，

∴∠1=∠BEO，

∴∠AEC=∠BED．

在△AEC和△BED中，

，

∴△AEC≌△BED（ASA）．

（2）∵△AEC≌△BED，

∴EC=ED，∠C=∠BDE．

在△EDC中，

∵EC=ED，∠1=42°，

∴∠C=∠EDC=69°，

∴∠BDE=∠C=69°．

【总结】考察了三角形全等的条件。

【变式训练】如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D. E，AD. CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（）

A．4B．5C．1D．2

【答案】C

【解析】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，

∴∠ADB=∠AEH=90°，

∵∠AHE=∠CHD，

∴∠BAD=∠BCE，

∵在△HEA和△BEC中，

，

∴△HEA≌△BEC（AAS），

∴AE=EC=4，

则CH=EC﹣EH=AE﹣EH=4﹣3=1．故选C

考点三：等腰三角形和等边三角形

【例题】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E．

求证：△BDE是等腰三角形．

【答案】见解析

【解析】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE∥AC，

∴∠EAD=∠CAD，∠EDA=∠CAD，

∴∠EAD=∠EDA，

∵BD⊥AD，

∴∠EBD+∠EAD=∠BDE+∠EDA

∴∠EBD=∠BDE，

∴DE=BE，

∴△BDE是等腰三角形．

【变式训练】如图，在等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC边的延长线上一点，CE＝CD，DM⊥BC于点M．下列结论错误的是（）

A．BM＝3CM B．BM＝EM C．CM＝CE D．DM＝2CM

【答案】见解析

【解析】解：∵三角形ABC是等边△ABC，

∴∠ACB＝∠ABC＝60°，

又∵CE＝CD，

∴∠E＝∠CDE，

又∵∠ACB＝∠E+∠CDE，

∴∠E＝∠ACB＝30°，

连接BD，

∵等边△ABC中，D是AC的中点，

∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，

∴∠DBC＝∠E＝30°，

∴DB＝DE，

又∵DM⊥BC，

∴BM＝EM，故B正确；

∵CM＝CD＝CE，故C正确；故D错误，

∴ME＝3CM，

∴BM＝3CM，故A正确；

故选：D．

考点五：直角三角形

【例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；

（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；

（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．

【答案】见解析

【解析】（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，

∴∠ADB＝∠AEC＝90°，

在Rt△ABD和Rt△ACE中，

∵，

∴Rt△ABD≌Rt△CAE．

∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠ACE．

∵∠DAB+∠DBA＝90°，∠EAC+∠ACE＝90°，

∴∠BAD+∠CAE＝90°．

∠BAC＝180°﹣（∠BAD+∠CAE）＝90°．

∴AB⊥AC．

（2）AB⊥AC．理由如下：

同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．

∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC，

∵∠CAE+∠ECA＝90°，

∴∠CAE+∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°，

∴AB⊥AC．

【总结】一般直角三角形的问题，都是通过直角来证明，另外会有相关几何问题结合，综合性较强。

【变式训练】如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）

A．50 B．62 C．65 D．68

【答案】A

【解析】解：∵AE⊥AB且AE=AB，EF⊥FH，BG⊥FH?∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°，

∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90°?∠EAF=∠ABG，

∴AE=AB，∠EFA=∠AGB，∠EAF=∠ABG?△EFA≌△ABG

∴AF=BG，AG=EF．

同理证得△BGC≌△DHC得GC=DH，CH=BG．

故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16

故S=（6+4）×16﹣3×4﹣6×3=50．故选A．

考点六：垂直平分线

【例题】如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连结OB，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．

（1）求线段BC的长；

（2）连结OA，求线段OA的长；

（3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．

【答案】见解析

【解析】解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线

∴DA＝DB，

∵l2是AC边的垂直平分线，

∴EA＝EC，

BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝6cm；

（2）∵l1是AB边的垂直平分线，

∴OA＝OB，

∵l2是AC边的垂直平分线，

∴OA＝OC，

∵OB+OC+BC＝16cm，

∴OA＝0B＝OC＝5cm；

（3）∵∠BAC＝120°，

∴∠ABC+∠ACB＝60°，

∵DA＝DB，EA＝EC，

∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，

∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝60°．

【变式训练】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的延长线上一点，EH是BD的垂直平分线，DE交AC 于F，求证：E在AF的垂直平分线上．

【答案】见解析

【解析】证明：∵EH垂直平分BD，

∴BE＝DE，

∴∠BEH＝∠DEH，

∵∠ACB＝90°，

∴EH∥AC，

∴∠BEH＝∠BAC，∠DEH＝∠AFE，

∴∠EAF＝∠AFE，

∴AE＝EF，

∴点E在AF的垂直平分线上．

考点七：角平分线

【例题】14、如图，已知点C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于E，B、D分别在AM、AN上，且AE=（AD+AB）．问：

∠1和∠2有何关系？

【答案】见解析

【解析】略证：∠1与∠2互补．

作CF⊥AN于F（如图），

∵∠3=∠4，CE⊥AM，

∴CF=CE，∠CFA=∠CEA=90°，

Rt△ACF≌Rt△ACE，

∴AF=AE．

∵AE=（AD+AB）=（AF﹣DF+AE+EB）=AE+（BE﹣DF），

∴BE﹣DF=0，

∴BE=DF，

∴△DFC≌△BEC（SAS），

∴∠5=∠2，

∵∠1+∠5=180°，

∴∠1+∠2=180°；

1.如图，∠C=∠D，DE=EC，则以下说法错误的是（）.

A. AD=BC

B. OA=AC

C. ∠OAD=∠OBC

D. △OAD≌△OBC 【答案】B

【解析】∵∠D=∠C，DE=CE，∠BED=∠AEC，

∴△BDE≌△ACE，

∴BE=AE，

∴BE+CE=AE+DE，即BC=AD，

又∵∠O=∠O，

∴△ADO≌△BCO，

∴∠OAD=∠OBC.

由上述证明可知，四个选项中，A、C、D中的结论是成立的，但B中的结论不一定成立.故选B.

2. 如图，在四边形ABCD中，∠A=58°，∠C=100°，连接BD，E是AD上一点，连接BE，∠EBD=36°．若点A，C 分别在线段BE，BD的中垂线上，则∠ADC的度数为（）

A. 75°

B. 65°

C. 63°

D. 61°

【答案】B

【解析】∵点A，C分别在线段BE，BD的中垂线上，

∴AE=AB，BC=DC．

∵∠A=58°，∠C=100°，

∴∠ABE=18058

2

?-?

=61°，∠CBD=

180100

2

?-?

=40°．

∵∠EBD=36°，

∴∠ABC=∠ABE+∠EBD+∠CBD=61°+36°+40°=137°，

∴∠ADC=360°-∠A-∠C-∠ABC=360°-58°-100°-137°=65°．故选B.

3、已知：如图，△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=80°，延长CB至D，使BD=BA，延长BC至E，使CE=CA，连结AD、AE，则∠DAE的度数是（）

A．90° B．100°C．110°D．120°

【答案】C