2019-2020年高中数学选修本(理科)复合函数的导数 (I)

●教学目标

(一)教学知识点

复合函数的求导法则.

(二)能力训练要求

能够利用复合函数的求导法则，求解一些复杂的函数的导数.

(三)德育渗透目标

1.培养学生灵活运用知识的能力.

2.培养学生综合运用知识的能力.

●教学重点

利用复合函数的求导法则求函数的导数.

●教学难点

如何设中间变量，弄清复合函数是由哪些基本函数复合而成，把哪一部分看成一个整体.求导的次序是由外向内.通过练习，能够熟练地掌握复合函数的求导法则.

●教学方法

讲练结合，以练为主.

●教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］复合函数的求导法则是什么？

［生］复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数. ［师］用公式如何表示？要注意什么？

［生］y ′x =y ′u ·u x ′.利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数. ［师］这节课我们还是来看一下利用复合函数的求导法则如何求一些复杂函数的导数.

Ⅱ.讲授新课

(一)课本例题

［例2］求y =的导数.

［师生共析］这道题如何设中间变量呢？可以设u =(1－3x )4.这时u 仍是复合函数，再设v =1－3x .或者可以把y 看成y =(1－3x )

－4这时只要设u =1－3x 就可以了. (方法一)：解：令y =，u =(1－3x )4.

再令u =v 4.v =1－3x

∴y ′x =y ′u ·u ′x =y ′u ·u ′v ·v ′x =()′u ·(v 4)′v ·(1－3x )′x =·4v 3·(－3)=－·4·(1－3x )3(－3)= (方法二)解：令y =u －4，u =1－3x . y ′x =y ′u ·u ′x =(u －4)′u (1－3x )′x =－4u －5·(－3)=12(1－3x )－

5. ［师］上述两种方法都求得正确结论，但是选取的中间变量不同，求导过程就有难易之分.所以求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量.如果你们已经熟练掌握复合函数的求导法则了，那么中间步骤可以省略不写.

［板书］解:y ′x =［(1－3x )－4］′=－4(1－3x )－5(－3)=12(1－3x )－

5. ［例3］求y =的导数.

解：y =

y ′=25454)

1()1(1)1(51)1()1(51x x x x x x x x x ----?-='-?---

5654254

54)1(5

1)1(1)1(51-----=-?-=x x x x x (二)精选例题

［例1］求y =(ax －b sin 2ωx )3对x 的导数.

［学生板演］解：y ′=3(ax －b sin 2ωx )2·(ax －b sin 2ωx )′

=3(ax －b sin 2ωx )［a －(b sin 2ωx )′］

=3(ax －b sin 2ωx )［a －b 2sin ωx ·(sin ωx )′］

=3(ax －b sin 2ωx )［a －b 2sin ωx ·cos ωx ·ω］

=3(ax －b sin 2ωx )(a －b ω·sin2ωx )

［例2］求y =sin n x cos nx 的导数.

［学生板演］解：y ′=(sin n x )′cos nx +sin n x (cos nx )′

=n sin n －

1x ·cos nx +sin n x ·(－sin nx ). =n sin n －1x cos nx －sin n x sin nx .

［学生点评］做得不正确；在第二步时还要对sin x 求导，以及对nx 也求导.

［学生改正］解：y ′=(sin n x )′cos nx +sin n x (cos nx )′

=n sin n －

1x ·(sin x )′cos nx +sin n x ·(－sin nx )(nx )′ =n sin n －

1x cos x cos nx －n sin n x sin nx =n sin n －

1x (cos x cos nx －sin x sin nx ) =n sin n －1x cos(n +1)x .

［师］不要忘了对中间变量还要进行求导.

［例3］求函数y =－x 2(3x －2)(3－2x )的导数.

［学生分析］这是三个函数乘积的导数，只要根据公式

(uv ω)′=u ′v ω+uv ′ω+uv ω′就可以求了.

［学生板演］解：y ′=(－x 2)′(3x －2)(3－2x )+(－x 2)(3x －2)′(3－2x )+(－x 2)·(3x －2)(3－2x )′=－2x (3x －

2)(3－2x )－x 2·3(3－2x )－x 2(3x －2)(－2)=24x 3－39x 2+12x .

［例4］求函数y =的导数.

［学生分析］先把y 看成幂函数y =，里面的函数的求导要用到商的导数法则，和积的导数法则. 解：y ′={}′

)

4)(3)(2)(1()4)(3(11102)4()3()

11102()2()1()4()3(22204)4()3()2()1(21)4()3()34)(2)(1()4)(3)(12(])

4)(3()2)(1([21])4)(3()2)(1([])4)(3()2)(1([2122323

221212222

12121212

121++++++++=++++++=++++?++++=+++++++-+++++?++++='++++++++=--------x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

［例5］求y =(3x +1)2的导数.

［分析］y 可以看成两个函数u 、v 的乘积，而u 、v 都是复合函数.

解：y ′=［(3x +1)2］′+(3x +1)2［()］′

=2(3x +1)·(3x +1)′+(3x +1)2

=2(3x +1)·3·+(3x +1)2·22542)

15(5)1()15(2)151(51-?+---+-x x x x x x =6(3x +1) + (3x +1)2·2254

15(525)15()1(---?-+--x x x x x =6(3x +1) 5422252)15()1()15(5)525()13(151-+---++-+x x x x x x x x

［例6］求y =(x 2－3x +2)2sin3x 的导数.

解：y ′=［(x 2－3x +2)2］′sin3x +(x 2－3x +2)2(sin3x )′

=2(x 2－3x +2)(x 2－3x +2)′sin3x +(x 2－3x +2)2cos3x (3x )′

=2(x 2－3x +2)(2x －3)sin3x +3(x 2－3x +2)2cos3x .

Ⅲ.课堂练习

1.求下函数的导数.

(1)y =

(2)y =

(3)y =sin(3x －)

(4)y =cos(1+x 2)

(1)解：y ==(2x 2－1)－

3 y ′=［(2x 2－1)－

3］′ =－3(2x 2－1)－

4(2x 2－1)′ =－3(2x 2－1)－4(4x )

=－12x (2x 2－1)－

4 (2)解：y =41414)13()1

31(131-+=+=+x x x y ′=［(3x +1)］′

=－ (3x +1)(3x +1)′

=－ (3x +1)·3=－ (3x +1).

［师］有的函数要先进行变形，化成幂函数的形式，这样求导起来会比较方便.

(3)解：y ′=［sin(3x －)］′

=cos(3x －)(3x －)′

=cos(3x －)·3=3cos(3x －)

(4)解：y ′=［cos(1+x 2)］′=－sin(1+x 2)(1+x 2)′

=－sin(1+x 2)·2x =－2x sin(1+x 2).

2.下列函数中，导数不等于sin2x 的是(D)

A.2－cos2x

B.2+sin 2x

C. sin 2x

D.x －cos 2x

解：A ：(2－cos2x )′=0－ (－sin2x )(2x )′

=sin2x ·2=sin2x .

B:(2+sin 2x )′=0+2sin x ·(sin x )′=·2·sin x ·cos x =sin2x .

C:( sin 2x )′=2sin x (sin x )′=·2sin x cos x =sin2x

D:(x －cos 2x )′=1－2cos x (cos x )′=1－2cos x (－sin x )=1+sin2x .

3.函数y =x cos x －sin x 的导数为(B )

A.x sin x

B.－x sin x

C.x cos x

D.－x cos x

解：y ′=(x cos x －sin x )′=(x cos x )′－(sin x )′=x ′cos x +x (cos x )′－cos x

=cos x －x sin x －cos x =－x sin x

4.求y =的导数.

解：y ′=()′2222)1()1(1x x x x x -'

---'=

3222222222222222122)

1()1(1)1(111111)2(12111)1()1(211---=-=-?-+-=--+-=

-----=

-'--?--=

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Ⅳ.课时小结

这节课主要复习巩固了如何运用复合函数的求导法则进行求导.求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量.一些根式函数或分母上是幂函数，分子为常数的分式函数，通常经过变形，转化成幂函数，这样求导起来会比较方便，利用幂函数的求导公式.

Ⅴ.课后作业

(一)课本P 125~126.习题3.4.1.(3)(4)、2.(3)(4)、3(1).

(二)1.预习内容：课本P 126对数函数的导数.

2.预习提纲

(1)(ln x )′= 考虑证明过程，可用结论=e.

(2)(log a x )′=log a e .

●板书设计

教学目的：

1.理解掌握复合函数的求导法则.

2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导

3.培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律．

教学重点：复合函数的求导法则的概念与应用

教学难点：复合函数的求导法则的导入与理解

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

. 要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导.求导时对哪个变量求导要写明，可以通过具体的例子，让学生对求导法则有一个直观的了解

教学过程：

一、复习引入：

1. 常见函数的导数公式：

；；；

2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．

法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+,

法则3 '

2''(0)u u v uv v v v -??=≠ ???

二、讲解新课：

1.复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数与复合而成的函数一般形式是，其中u 称为中间变量．

2.求函数的导数的两种方法与思路：

方法一：22[(32)](9124)1812x y x x x x '''=-=-+=-；方法二：将函数看作是函数和函数复合函数，并分别求对应变量的导数如下：

，

两个导数相乘，得

232(32)31812u x y u u x x ''==-=-，

从而有

对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y ′x 时，就可以转化为求y u ′和u ′x 的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.

3.复合函数的导数：设函数u =(x )在点x 处有导数u ′x =′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f ( (x ))在点x 处也有导数，且或f ′x ( (x ))=f ′

(u ) ′(x ).

证明：（教师参考不需要给学生讲）

设x 有增量Δx ，则对应的u ，y 分别有增量Δu ，Δy ，因为u =φ(x )在点x 可导，所以u = (x )在点x 处连续.因此当Δx →0时，Δu →0.

当Δu ≠0时，由. 且. ∴x

u u y x u u y x u u y x y x u x x x x ?????=?????=?????=??→?→?→?→?→?→?000000lim lim lim lim lim lim 即 (当Δu ＝0时，也成立)

4.复合函数的求导法则

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数

5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．

三、讲解范例：

例1试说明下列函数是怎样复合而成的？

⑴； ⑵；

⑶； ⑷．

解：⑴函数由函数和复合而成；

⑵函数由函数和复合而成；

⑶函数由函数和复合而成；

⑷函数由函数、和复合而成．

说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函

数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．

例2写出由下列函数复合而成的函数：

⑴，； ⑵，．

解：⑴； ⑵．

例3求的导数．

解：设，，则

．

注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.

例4求f (x )=sin x 2的导数.

解：令y =f (x )=sin u ; u =x 2

∴=(sin u )′u ·(x 2)x ′=cos u ·2x =cos x 2·2x =2x cos x 2

∴f ′(x )=2x cos x 2

例5求y =sin 2(2x +)的导数.

分析: 设u =sin(2x +)时，求u ′x ，但此时u 仍是复合函数，所以可再设v =2x +.

解：令y =u 2，u =sin(2x +)，再令u =sin v ，v =2x +

∴=y ′u (u ′v ·v ′x )

∴y ′x =y ′u ·u ′v ·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(2x +)′x

=2u ·cos v ·2=2sin(2x +)cos(2x +)·2

=4sin(2x +)cos(2x +)=2sin(4x +)

即y ′x =2sin(4x +)

例6求的导数.

解：令y =，u =ax 2+bx +c

∴=()′u ·(ax 2+bx +c )′x =·(2ax +b )

=(ax 2+bx +c )(2ax +b )=

即y ′x =

例7求y =的导数.

解：令

∴=()′u ·()′x

4455221(1)(1)11(1)()55x x x x x x x u x x x

--''-------=?=?

21x -==即y ′x =－

例8 求y =sin 2的导数.

解：令y =u 2，u =sin ，再令u =sin v ，v =

∴·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·()′x

=2u ·cos v ·=2sin ·cos ·=－·sin

∴y ′x =－sin

例9 求函数y =(2x 2－3)的导数.

分析: y 可看成两个函数的乘积，2x 2－3可求导，是复合函数，可以先算出对x 的导数. 解：令y =uv ，u =2x 2－3，v =, 令v =，ω=1+x 2

= (1+x 2)′x =22211122)2(21x

x x x x +=+=-ω ∴y ′x =(uv )′x =u ′x v +uv ′x

=(2x 2－3)′x ·+(2x 2－3)·

=4x 23232161321x x x x x

x x ++=+-++

即y ′x =

四、课堂练习：

1．求下列函数的导数(先设中间变量，再求导).

(1)y =(5x －3)4 (2)y =(2+3x )5 (3)y =(2－x 2)3 (4)y =(2x 3+x )2

解：(1)令y =u 4，u =5x －3

∴=(u 4)′u ·(5x －3)′x =4u 3·5=4(5x －3)3·5=20(5x －3)3

(2)令y =u 5，u =2+3x

∴=(u 5)′u ·(2+3x )′x =5u 4·3=5(2+3x )4·3=15(2+3x )4

(3)令y =u 3，u =2－x 2

∴=(u 3)′u ·(2－x 2)′x

=3u 2·(－2x )=3(2－x 2)2(－2x )=－6x (2－x 2)2

(4)令y =u 2，u =2x 3+x

∴=(u 2)′u ·(2x 3+x )′x

=2u ·(2·3x 2+1)=2(2x 3+x )(6x 2+1)=24x 5+16x 3+2x

2.求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(n ∈N *)

(1)y =sin nx (2)y =cos nx (3)y =tan nx (4)y =cot nx

解：(1)令y =sin u ，u =nx

=(sin u )′u ·(nx )′x =cos u ·n =n cos nx

(2)令y =cos u ，u =nx

=(cos u )′u ·(nx )′x =－sin u ·n =－n sin nx

(3)令y =tan u ，u =nx

=(tan u )′u ·(nx )′x =()′u ·n =2)

(cos )sin (sin cos cos u u u u u --?·n ==n ·sec 2nx (4)令y =cot u ，u =nx

=(cot u )′u ·(nx )′x =()′u ·n =2

)(sin cos cos sin sin u u u u u ?-?-·n =－·n =－=－n csc 2nx

五、小结：⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代

七、板书设计（略）

八、课后记：