线性代数第四章(3-节)

§3 线性方程组解的结构

定义2 若一个线性方程组的常数项都等于0，那么这个线性方程组叫作齐次线性方程组.

我们看一个齐次线性方程组

111122121122221122000n n n n m m mn n a x a x a x ,

a x a x a x ,a x a x a x .

+++=??+++=????++

+=?

这个方程组总是有解，显然

12000n x ,x ,,x ===

就是方程组的一个解，这个解叫做零解，若方程组还有其他解，那么这些解就叫做非零解.

我们常常希望知道，一个齐次线性方程组有没有非零解，由定理3我们就立即得到. 定理4一个齐次线性方程组（）有非零解的充分必要条件是：它的系数矩阵的秩r 小于它的未知量的个数n .

定义3 设12r ,,,ααα是齐次线性方程组的r 个解向量，如果满足下列条件：

(1) 12r ,,

,ααα线性无关；

(2) 方程组的任意一个解向量α都能由12r ,,,ααα线性表出.

则12r ,,

,ααα称为齐次线性方程组的基础解系．．．．

. 易见，基础解系可看成解向量组的一个极大线性无关组.

定理5 齐次线性方程组（）若有非零解，则它一定有基础解系，且基础解系所含解向量的个数等于n r ，其中r 是系数矩阵的秩.

证设齐次线性方程组的系数矩阵为

1112

12122212n n m m mn a a a a a a ,a a a ??????=???

???

由定理4知秩r ＜n .

对A 进行行初等变换，A 可化为

1112121

1000010000

0000,r n ,r n r ,r rn c c c c ,c c +++?????????????????????

与之对应的方程组为

111112*********,r r n n ,r r n n r r ,r r rn n x c x c x ,x c x c x ,x c x c x .

++++++++

+=??+++=????++

+=? （）

令12r r n x ,x ,

,x ++为自由未知量，得

111112211211,r r n n ,r r n n r r ,r r rn n x c x c x ,x c x c x ,x c x c x .

++++++=--

-??=---????=--

我们取

12110000001r r n x x ,,,,x ++??????

????????????????=????????????????????

?? 由可得

11121122222212,r ,r n ,r ,r n r ,r r ,r rn r c c c x c c c x ,,,,c c c x ++++++---????

??????????---?

???????=?

???????????????---????

????

从而得到的n r 个解

11121212221212100010011,r ,r n ,r ,r n r ,r r ,r m n r

c c c c c c c c

c ,,

,.++++++----??????

??????---??????????????????---??????===????????????????????????????????????????

ξξξ 下面我们证明12n r ,,

,-ξξξ就是的基础解系.

首先，这n r 个解向量显然线性无关. 其次，设(12n k ,k ,

,k )是方程组的任意解，代入方程组得

111112

21121111,r r n n ,r r n n r r ,r r rn n r r n n k c k c k ,

k c k c k ,

k c k c k ,k k ,k k .++++++++=---??=---???

=---??=???=?

于是

121122r r n n r n k k k k k k ξξξ++-????

??=+++??????

，

因此方程组的每一个解向量，都可以由这n r 个解向量12n r ,,,-ξξξ线性表示，所以

12n r ,,,-ξξξ是方程组的一个基础解系，由于方程组与方程组同解，所以12n r ,,

,-ξξξ也是

方程组的基础解系.

定理5实际上指出了求齐次线性方程组的基础解系的一种方法.

推论(齐次线性方程组解的结构定理)齐次线性方程组（）若有非零解，则它的通解就是基础解系的线性组合.

例6 解齐次线性方程组

1234123412

3400220x x x x ,x x x x ,x x x x .

-+-=??

--+=??--+=? 解齐次线性方程组的系数矩阵为

111111111122.--??

??=--??

??--??

对A 进行行初等变换，得

111111111111111100220011112200330033111111000011001100000000.------??????

??????=--→-→-→???

???

??????----??????

---????????-→-????????????

由此可看出，ｒ＝２＜4，故有非零解，其对应的方程组是

123400x x ,

x x .

-=??

-+=? 把14x ,x 看作自由未知量，令

141001x ,,x ??????=??????????

?? 得

231001x ,.x ??????=??????????

?? 从而得基础解系

1210100101,.????????????==????????????

ξξ

由此，得方程组的通解为1122c c =+x ξξ(其中12c ,c 为任意实数).

例7 λ取何值时，方程组

12312312

30020

x x x x x x x x x λλ++=??

-++=??-+=? 有非零解，并求其通解.

解由于所给方程组是属于方程个数与未知量的个数相同的特殊情形，可以通过判断其系数行列式是否为零，来确定方程组是否有零解.其系数行列式为

111

1(+1)(4-),1

λλ=-=-A

当|A |=0，即λ=1，4时，有非零解.

将λ=1代入原方程，得

12312312

020

x x x x x x x x x λλ++=??

-++=??-+=? 方程组的系数矩阵

110

11111121110003012112023000?

???

--??????????=--→→??

????-??????--????????

A 得同解方程组

23102302

x x x x ?+=???

?-=?? 把3x 看作自由未知量，令3x =2 得

1213x ,x =-=

从而得基础解系

132-??????

????

ξ=

所以，方程组的通解为x=k ξ(k 为任意实数).

同理，当λ=4时，可求得方程组的通解为

311k -??

??=-??

????

x (k 为任意实数).

例8 设B 是一个三阶非零矩阵，它的每一列是齐次方程组

123123123

2202030x x x ,x x x ,x x x .λ+-=??

-+=??+-=? 的解，求λ的值和|B |.

解由于B 是一个三阶非零矩阵，所以B 中至少有一列向量不是零向量，又由于B 的每一列都是上面齐次方程组的解，故该齐次方程组有非零解，从而系数行列式

122

215503

λλ-=-=-=-A

所以λ=1.

当λ=1时，秩R （A ）=2从而基础解系中只含有一个解向量，因而B 的三个列向量必线性相关，得|B |=0.

下面讨论非齐次线性方程组. 线性方程组

11112211211222221122n n n n m m mn n m

a x a x a x

b ,

a x a x a x

b ,a x a x a x b +++=??+++=????++

+=? （）

称为非齐次线性方程组(12m b ,b ,

,b 不全为0).如果把它的常数项都换成0，就得到相应

的齐次线性方程组，称它为非齐次线性方程组的导出方程组，简称导出组.

非齐次线性方程组的解与它的导出组的解之间有如下关系.

定理6 (非齐次线性方程组解的结构定理)如果线性方程组有解，那么方程组的一个解与它的导出方程组的解之和是方程组的一个解，方程组的任意解都可写成方程组的一个特解与它的导出方程组的解之和.

证设

1112121

22212

1122n n m m mn n m a a a a a a ,a a a x b x b ,

x b ??????=??????

????????????=??????????

A x b =

则方程组可表示为Ax =b ，它的导出组可表示为Ａｘ＝０.

设12()n c ,c ,,c =γ是方程组的一个特解，12=()n d ,d ,,d δ是它的导出组的一个解，

于是有

=.=b,

A Aγδ0

那么

().+=+=b+b A γδAγAδ0=

所以+γδ是方程组的一个解，设12()n l ,l ,

,l =λ是方程组的任意解，那么

()=-+=+=A A b b λγγAδ0.

因此=-μλγ是导出组的一个解，从而=+λγμ.

由定理可知，对于非齐次线性方程组在r n <时，我们只须先求得它的一个特解，然后再求它的导出组的通解，由此便可得的全部解.一般求的一个特解与求它的导出组的通解可同时进行.

例9 试求

12345123451

2345324328729456111015x x x x x ,

x x x x x ,x x x x x .

+-++=??

-+++=??++++=?

的全部解.

解对增广矩阵进行行初等变换

131243131243218729071036345611101507

1036313

124313124310363071036301777700000000

0232310301077771036301777700

0000,--????

????-→--→????????--????-??-????????--→---→???????????

?????

---????

?? 由此可知系数矩阵与增广矩阵的秩都是2，故有解.

由前述知对应的齐次线性方程组的基础解系(去掉常数列)为

1232323107771036777100010001,,.??????

---??????????????????-??????===??????????????????????????????

ξξξ

令3450x x x ===，得非齐次线性方程组的一个特解为30300077,,,,'

??- ???

(不能忽略常

数列)，于是它的全部解（一般解）为

11223330737000k k k ,??

??????

-??=+++??????????

x ξξξ

其中123k ,k ,k 为任意实数.

注：在求方程组的特解与它的导出组的基础解系时，一定要小心常数列(项)的处理!最

好把特解与基础解系中的解分别代入两个方程组进行验证.

例10 设线性方程组

1231231

234324px x x ,x tx x ,x tx x .

++=??

++=??++=? 试就p ,t 讨论方程组的解的情况，有解时并求出解.

解对增广矩阵进行行初等变换

114113=1130011214011431131

300101

142011420

0(1)142p

t t t pt p p t t t p

p p p p t t pt ????

????→→???

?????---????????????→--???

????----+????

(1)当（p 1）t ≠0(即p ≠1,t ≠0)时，有惟一解

123211142(1)(1)t t pt

,,.p t t p t

--+=

==--x x x

(2)当p =1，且14t +2pt =1

2t =0即t =

时，方程组有无穷多解，此时 1113101220102010200000000??????????→→????

????????

A 于是方程组的一般解为

212001k -????

????=+????

????????

x (k 为任意常数). (3)当p =1，但14t +2pt=12t ≠0，即t ≠12时，方程组无解. (4)当t =0时，14t +2pt =1≠0，故方程组也无解.

习题四

1. 用消元法解下列方程组.

(1)

1234

124

1234

4236

2242

32231

2338;

x x x x,

x x x,

x x x x,

x x x x

+-+=

?++=

++-=

?++-=

(2)

123

320

3580;

x x x,

x x x

++=

?++=

2. 求下列齐次线性方程组的基础解系.

(1)

123

320

3580;

x x x,

x x x

++=

?++=

(2)

1234

230

380

3970;

x x x x,

x x x x

-+-=

?+-+=

-++=

?+-+=

(3)

12345

1234

2270

23450

35680;

x x x x x,

x x x x,

x x x x

++++=

+++=

?+++=

(4)

12345

2220

2320

2470.

x x x x x,

x x x x x

+-+-=

?+-++=

3. 解下列非齐次线性方程组.

(1)

123

224

442;

x x x,

x x,

x x x

++=

?-+=

?++=

(2)

1234

4222

21;

x x x x,

x x x x

+-+=

?+--=

(3)

1234

25;

x x x x,

x x x x

-++=

-+-=-

?-++=

(4)

12345

2345

12345

3232

22623

543312

x x x x x,

x x x x,

x x x x x.

++++=

?+++-=-

+++=

?+++-=

4. 某工厂有三个车间，各车间相互提供产品（或劳务），今年各车间出厂产量及对其它车间的消耗如下表所示.

表中第一列消耗系数,,表示第一车间生产1万元的产品需分别消耗第一，二，三车间万

元，万元，万元的产品；第二列，第三列类同，求今年各车间的总产量.

5. λ取何值时，方程组

1231232

31x x x ,x x x ,x x x λλλλλ++=??

++=??++=? (1)有惟一解，(2)无解，(3)有无穷多解，并求解. 6. 齐次方程组

0020x y z ,

x y z ,x y z λλ++=??

+-=??-+=?

当λ取何值时，才可能有非零解并求解.

7.当a ，b 取何值时，下列线性方程组无解，有惟一解或无穷多解在有解时，求出其解.

（1） 123412341234123423123132236x x x x x x x x x x x x a x x x bx ++-=??+++=??---=??+-+=-? (2) 1234234

23412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=??++=??----=??+++=-?

8. 设112224336????=??????

A ，求一秩为2的3阶方阵

B 使AB =0. 9.已知123,,ηηη是三元非齐次线性方程组Ax =b 的解，且R （A ）=1及

122313111+=+=+=011011,,??????

????????????

ηηηηηη

求：方程组Ax=b 的通解.

10. 求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系由下列向量组成.

(1) 1223==;1001,-????

????????????????

ξξ

(2) 123121232==,=021352132,.????????????---??????

????????????????????????---??????

ξξξ

11.设向量组1α=（1，0，2，3），2α=（1，1，3，5），3α=（1，1，a+2，1），4α=

（1，2，4，a +8），β=（1，1，b +3，5）

问：（1） a ，b 为何值时，β不能由1α，2α，3α，4α线性表出

（2） a ，b 为何值时，β可由1α，2α，3α，4α惟一地线性表出并写出该表出式. （3） a ，b 为何值时，β可由1α，2α，3α，4α线性表出，且该表出不惟一并写出该表出式.

12. 证明：线性方程组

121

232343454

515

x x a x x a x x a x x a

x x a -=??-=??

-=??-=?-=?? 有解的充要条件是

i a

==∑.

13. 设*

η是非齐次线性方程组Ax=b 的一个解，12n r ,,,-ξξξ是对应的齐次线性方程组

的一个基础解系.证明

（1）1*

n r ,

,-,ξξη线性无关；

（2）1++**

*n r ,

,-,ξξηηη线性无关.

14. 设有下列线性方程组（Ⅰ）和(Ⅱ)

（Ⅰ）1241234123264133x x x x x x x x x x +-=-??---=??--=? (Ⅱ) 123422434521121x mx x x nx x x x x t +--=-??

--=-??-=-?

(1) 求方程组（Ⅰ）的通解；

(2) 当方程组（Ⅱ）中的参数m,n,t为何值时，（Ⅰ）与(Ⅱ)同解

同济大学线性代数教案第一章线性方程组与矩阵

线性代数教学教案第一章线性方程组与矩阵授课序号01 1112121 2 n n m m mn a a a a a a ?? ?? ??? ，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为

n a ???. 212 n n n nn a a a ? ??? . 1112 00n n nn a a a a ?? ?? ? ? ?与上三角矩阵200 n nn a ? ??? . 000 0n a ??? ??? ，或记为100 1? ???? . 负矩阵的定义：对于矩阵()ij m n a ?=A ，称矩阵21 22 n m m m mn mn b a b a b ?? +++? ，

a b+

21 2 n m m mn a a a ????，转置矩阵212.m n n nm a ? ??? 矩阵的转置满足的运算规律（这里k 为常数，A 与B 为同型矩阵）阶方阵()ij a =A 如果满足222n n m mn n a x +21 2 n m m mn a a a ????称为该线性方程组的系数矩阵n x ???，m b = ? ??? β，有：

2221122221 21122n n n m m mn n m m mn n a a a x a x a x a x ??? ? =??? ???? ? ++ +????? . 再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示：=Ax β.

授课序号02 21 2 t s s st ????A A A ，21 2 t s s st ? = ? ??? B B B B ，的行数相同、列数相同，则有 21 22 t s s s st st ?? ±±±? B A B A B . 111221 2 t s s st ? ? ??? A A A A A ，都有21 2 t s s st k k ? ??? A A A .

线性代数第四章总结

总结§4.1—§4.3 一、线性表示 1. 向量β可由向量组m ααα ,,21线性表示 ?存在数m k k k ,,,21 使得，m m k k k αααβ ++=2211 ?方程组βααα=++m m x x x 2211有解（即是β=Ax 有解） ? ()=m R ααα ,,21()βααα,,,21m R （即是()()β,A R A R =） 2. 向量组12,,l βββ 可由向量组m ααα ,,21线性表示?()=m R ααα ,,21 ()1212,,,,,m l R αααβββ （即是()(),R A R A B =）向量组12,,l βββ 可由向量组m ααα ,,21线性表示?()12,,l R βββ≤ ()12,,m R ααα （即是()()R B R A ≤） 3. 向量组m ααα ,,21与向量组12,,l βββ 等价?()=m R ααα ,,21 ()12,,l R βββ =()1212,,,,,m l R αααβββ （即是()()(),R A R B R A B ==）二、线性相关与线性无关 1. 向量组m ααα ,,21线性相关?存在不全为零的数m k k k ,,,21 使得， .02211=++m m k k k ααα ?方程组02211=++m m x x x ααα 有非零解. ?0=Ax 有非零解. ?()m R m <ααα ,,21 ?()m A R < 其中()m A ααα ,,21= 2. 向量组m ααα ,,21线性无关?如果,02211=++m m k k k ααα 则有 .021====m k k k ?方程组02211=++m m x x x ααα 只有零解 ?0=Ax 只有零解 ?()m R m =ααα ,,21 ?()m A R = 其中()m A ααα ,,21=

线性代数作业任务第四章

第四章向量组的线性相关性（二） 1. 判断下列向量集合在向量加法和数乘运算下是否为向量空间，若是向量空间，试求其维数，并给出一个基． 1) }0,0,,,,),,,,({322154321543211=+=+∈==x x x x x x x x x x x x x x V ，且R α 2) }1,,,),,,({2121212=-∈==x x x x x x x x V n n ，且R α 3) },,){3213322113R ∈++==k k k k k k V αααα，其中)0,1,1(1=α，)1,0,1(2=α， )1,1,2(3=α

2. 已知三维向量空间3R 的一组基)0,1,1(1-=α，)1,0,1(2=α，)1,1,1(3-=α．试用施密特正交化方法由321,,ααα构造3R 的一组标准正交基．

3. 已知4维向量空间4R 的两个基 (I) ???????====) 0,0,1,2()0,0,2,3()3,2,0,0()4,3,0,0(4321αααα, (II) ?????? ?====) 0,1,2,1()2,1,1,2()2,2,1,0() 1,0,1,2(432 1ββββ 1) 求由基(I)到基(II)的过渡矩阵； 2) 求)4,3,2,1(=α在基(I)下的坐标； 3) 判断是否存在在两组基下坐标相同的非零向量．

4. 已知向量空间3R 的两个基为(I)321,,ααα和(II) 321,,βββ．设3R ∈α在基(I) 与基(II)下的坐标分别为()T 321,,x x x =x ，()T 321,,y y y =y ，且满足 3211x x x y ++=，212x x y +=，13x y =． 1) 求由基(I)变为基(II)的过渡矩阵； 2) 求31ββα+=在基(I)下的坐标．

线性代数第一章第一节线性方程组的消元法

第一章线性方程组的消元法和矩阵的初等变换 ◆线性方程组的消元法 ◆矩阵的的初等变化

引例（物资调运问题） ij C j B i A 12,,B B 有三个生产同一产品的工厂其年产量分别为40、20和10，单位为吨；该产品每年有两个用户其用量分别为45和25，单位为吨；由各产地到各用户的距离为（千米）假设每吨货物每千米的运费为1（元），问各厂的产品如何调配才能使总运费最少？ 123,,, A A A () 1,2,3;1,2i j ==

表 C ij A1A2A3 B1455892 B2587236

14253640,(1)20,(2)10. (3) x x x x x x +=+=+=1. 对产地来讲，产品全部调出，因而有解：假设到的产品数量，到的产品数量，到的产品数量；3个厂的总产量与两个用户的总用量刚好相等，所以：2A 1A 3A 12,B B 12,B B 25,x x 12,B B 36,x x 14,x x

12345645,(4)25. (5) x x x x x x ++=++=123456455892587236. (6) S x x x x x x =+++ ++2. 对用户来讲，调查的产品刚好为其所需，因而有： 3. 考虑总运费S ：

（1）－（5）每个方程都是线性方程，几个线性方程联立在一起，称之为线性方程组. 因此方程（1）－（5）构成6个未知数5个方程的线性方程组. 不少实际问题可以化为线性方程组的问题.这样的方程组所包含的未知数的个数不只是一个两个，而是更多. 因此，为了解决这类问题需要讨论含有个n个未知数m个方程的线性方程组.

线性代数知识点总结第一章

线性代数知识点总结第一章行列式第一节：二阶与三阶行列式把表达式11221221a a a a -称为 1112 2122a a a a 所确定的二阶行列式，并记作1112 2112a a a a ，即1112 112212212122 .a a D a a a a a a = =-结果为一个数。同理，把表达式112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---称为由数表11 1213 21 222331 32 33a a a a a a a a a 所确定的三阶行列式，记作1112 13 2122 23313233 a a a a a a a a a 。即111213 2122 23313233 a a a a a a a a a =112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++--- 二三阶行列式的计算：对角线法则注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。利用行列式计算二元方程组和三元方程组：对二元方程组1111221 2112222 a x a x b a x a x b +=?? +=? 设1112 2122 a a D a a = ≠1121222 b a D b a = 111 2212 .a b D a b = 则1122221111122122 b a b a D x a a D a a == ， 1112122211122122 .a b a b D x a a D a a == 对三元方程组111122133121122223323113223333 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++=?? ++=??++=?，设11 1213 21 222331 32 33 0a a a D a a a a a a =≠，

线性代数知识点汇总第一章

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线性代数知识点总结第一章行列式第一节：二阶与三阶行列式把表达式11221221a a a a -称为 1112 2122 a a a a 所确定的二阶行列式，并记作 1112 2112 a a a a ，即1112 112212212122 .a a D a a a a a a = =-结果为一个数。同理，把表达式112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---称为由数表11 1213 21 222331 32 33a a a a a a a a a 所确定的三阶行列式，记作1112 13 2122 23313233 a a a a a a a a a 。即111213 2122 23313233 a a a a a a a a a =112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++--- 二三阶行列式的计算：对角线法则注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。利用行列式计算二元方程组和三元方程组：对二元方程组1111221 2112222 a x a x b a x a x b +=?? +=? 设1112 2122 a a D a a = ≠1121222 b a D b a = 111 2212 .a b D a b = 则1122221111122122 b a b a D x a a D a a == ， 1112122211122122 .a b a b D x a a D a a == 对三元方程组111122133121122223323113223333 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++=?? ++=??++=?，设11 1213 21 222331 32 33 0a a a D a a a a a a =≠，

线性代数第四章

§3 线性方程组解的结构定义2 若一个线性方程组的常数项都等于0，那么这个线性方程组叫作齐次线性方程组. 我们看一个齐次线性方程组 111122121122221122000n n n n m m mn n a x a x a x ,a x a x a x ,a x a x a x . +++=??+++=?? ? ?+++=?L L L L L 这个方程组总是有解，显然 12000n x ,x ,,x ===L 就是方程组的一个解，这个解叫做零解，若方程组还有其他解，那么这些解就叫做非零解. 我们常常希望知道，一个齐次线性方程组有没有非零解，由定理3我们就立即得到. 定理4一个齐次线性方程组（）有非零解的充分必要条件是：它的系数矩阵的秩r 小于它的未知量的个数n . 定义3 设12r ,,,αααL 是齐次线性方程组的r 个解向量，如果满足下列条件： (1) 12r ,,,αααL 线性无关； (2) 方程组的任意一个解向量α都能由12r ,,,αααL 线性表出. 则12r ,,,αααL 称为齐次线性方程组的基础解系．．．． . 易见，基础解系可看成解向量组的一个极大线性无关组. 定理5 齐次线性方程组（）若有非零解，则它一定有基础解系，且基础解系所含解向量的个数等于n r ，其中r 是系数矩阵的秩. 证设齐次线性方程组的系数矩阵为 111212122212n n m m mn a a a a a a ,a a a ??????= ??? ??? L L M M M L A 由定理4知秩r ＜n . 对A 进行行初等变换，A 可化为

11121211000010000010000,r n ,r n r ,r rn c c c c ,c c +++????????????????????? ? L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 与之对应的方程组为 111112*********,r r n n ,r r n n r r ,r r rn n x c x c x , x c x c x ,x c x c x . +++++++++=??+++=?? ? ?+++=?L L L L L （）令12r r n x ,x ,,x ++L 为自由未知量，得 111112211211,r r n n ,r r n n r r ,r r rn n x c x c x , x c x c x ,x c x c x . ++++++=---??=---?? ? ?=---?L L L L L 我们取 12110000001r r n x x ,,,,x ++?????? ?? ????????????????=???????????????????? ????L M M M M 由可得 11121122222212,r ,r n ,r ,r n r ,r r ,r rn r c c c x c c c x ,,,,c c c x ++++++---???? ????????????---????????=???? ????????????---???? ???? L M M M M 从而得到的n r 个解 11121212221212100010011,r ,r n ,r ,r n r ,r r ,r m n r c c c c c c c c c ,,,.++++++----?????? ??????---??????????????????---??????===?????????????????????????????????????????? ξξξM M M L M M M

线性代数第四章答案

第四章　向量组的线性相关性 1 设v1(1 1 0)T v2(0 1 1)T v3(3 4 0)T求v1v2及3v12v2v3解v1v2(1 1 0)T(0 1 1)T (10 11 01)T (1 0 1)T 3v12v2v33(1 1 0)T 2(0 1 1)T (3 4 0)T (31203 31214 30210)T (0 1 2)T 2 设3(a1a)2(a2a)5(a3a) 求a其中a1(2 5 1 3)T a2(10 1 5 10)T a3(4 1 1 1)T 解由3(a1a)2(a2a)5(a3a)整理得 (1 2 3 4)T 3 已知向量组 A a1(0 1 2 3)T a2(3 0 1 2)T a3(2 3 0 1)T B b1(2 1 1 2)T b2(0 2 1 1)T b3(4 4 1 3)T 证明B组能由A组线性表示但A组不能由B组线性表示证明由知R(A)R(A B)3 所以B组能由A组线性表示由知R(B)2 因为R(B)R(B A) 所以A组不能由B组线性表示 4 已知向量组 A a1(0 1 1)T a2(1 1 0)T B b1(1 0 1)T b2(1 2 1)T b3(3 2 1)T

证明A组与B组等价证明由知R(B)R(B A)2 显然在A中有二阶非零子式故R(A)2 又R(A)R(B A)2 所以R(A)2 从而R(A)R(B)R(A B) 因此A组与B组等价 5 已知R(a1a2a3)2 R(a2a3a4)3 证明 (1) a1能由a2a3线性表示 (2) a4不能由a1a2a3线性表示证明 (1)由R(a2a3a4)3知a2a3a4线性无关故a2a3也线性无关又由R(a1 a2a3)2知a1a2a3线性相关故a1能由a2a3线性表示 (2)假如a4能由a1a2a3线性表示则因为a1能由a2a3线性表示故a4能由a2a3线性表示从而a2a3a4线性相关矛盾因此a4不能由a1a2a3线性表示 6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关 (1) (1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T (2) (2 3 0)T (1 4 0)T (0 0 2)T 解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A因为所以R(A)2小于向量的个数从而所给向量组线性相关 (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B因为所以R(B)3等于向量的个数从而所给向量组线性相无关 7 问a取什么值时下列向量组线性相关？ a1(a 1 1)T a2(1 a 1)T a3(1 1 a)T 解以所给向量为列向量的矩阵记为A由如能使行列式等于0，则此时向量组线性相关（具体看书后相应答案） 8 设a1a2线性无关a1b a2b线性相关求向量b用a1a2线性表示的表示式解因为a1b a2b线性相关故存在不全为零的数12使 (a1b)2(a2b)0 1

线性代数第四章答案

第四章向量组的线性相关性 1 设v 1(1 1 0)T v 2(0 1 1)T v 3(3 4 0)T 求v 1v 2及 3v 12v 2v 3 解 v 1v 2(1 1 0)T (0 1 1)T (10 11 01)T (1 0 1)T 3v 12v 2v 33(1 1 0)T 2(0 1 1)T (3 4 0)T (31203 31214 30210)T (0 1 2)T 2 设3(a 1a )2(a 2a )5(a 3a ) 求a 其中a 1(2 5 1 3)T a 2(10 1 5 10)T a 3(4 1 1 1)T 解由3(a 1a )2(a 2a )5(a 3a )整理得 )523(61321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[6 1T T T --+= (1 2 3 4)T 3 已知向量组 A a 1(0 1 2 3)T a 2(3 0 1 2)T a 3(2 3 0 1)T B b 1(2 1 1 2)T b 2(0 2 1 1)T b 3(4 4 1 3)T 证明B 组能由A 组线性表示但A 组不能由B 组线性表示证明由 ????? ??-=312123111012421301402230) ,(B A ????? ? ?-------971820751610402 230421301 ~r ????? ??------531400251552000751610421301 ~r ???? ? ? ?-----000000531400751610421301 ~r 知R (A )R (A B )3 所以B 组能由A 组线性表示

线性代数练习册第四章习题及答案

第四章线性方程组 §4-1 克拉默法则一、选择题 1．下列说法正确的是（ C ） A.n 元齐次线性方程组必有n 组解； B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解； C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解； D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ） A.当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解； B.当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解； C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =； D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题 1．已知齐次线性方程组1231231 230020 x x x x x x x x x λμμ++=?? ++=??++=?有非零解，则λ= 1 ，μ= 0 . 2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解i x = i D D . 三、用克拉默法则求解下列方程组 1．832 623x y x y +=??+=? 解： 8320 6 2 D = =-≠ 1235 3 2 D = =-， 28212 6 3D = =- 所以，125,62D D x y D D = == =-

2．1231231 23231 x x x x x x ? +-=??-+-=? 解： 2131 121121 22 1303550111 010 r r D r r ---=--=-≠+--- 112221 05 1 1321135011011D r r ---=-+-=---， 212121 5 052 13221310101101D r r --=-+-=-----， 312122 5 002 11221151 1011 0D r r --=+=--- 所以， 3121231,2,1 D D D x x x D D D === == = 3．21241832x z x y z x y z -=?? +-=??-++=? 解： 13201001 2 412041200183 58 3 D c c --=-+-=≠- 131101 1 00 1 41140202832 85D c c -=-+=， 232211 2 102 112100123125D c c -=-+=--， 313201 012 412041201 8258 2D c c =-=-- 所以， 3121,0,1D D D x y z D D D === == =

线性代数第四章答案

第四章向量组的线性相关性 1 设v 1(1 1 0)T v 2(0 1 1)T v 3(3 4 0)T 求v 1v 2及 3v 12v 2v 3 解 v 1v 2(1 1 0)T (0 1 1)T (10 11 01)T (1 0 1)T 3v 12v 2v 33(1 1 0)T 2(0 1 1)T (3 4 0)T (31203 31214 30210)T (0 1 2)T 2 设3(a 1a )2(a 2a )5(a 3a ) 求a 其中a 1(2 5 1 3)T a 2(10 1 5 10)T a 3(4 1 1 1)T 解由3(a 1a )2(a 2a )5(a 3a )整理得 )523(61321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[6 1T T T --+= (1 2 3 4)T 3 已知向量组 A a 1(0 1 2 3)T a 2(3 0 1 2)T a 3(2 3 0 1)T B b 1(2 1 1 2)T b 2(0 2 1 1)T b 3(4 4 1 3)T 证明B 组能由A 组线性表示但A 组不能由B 组线性表示证明由 ????? ? ?-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ???? ? ??-------971820751610 402230421301 ~r

????? ? ?------5314 00251552000751610421301 ~r ???? ? ??-----000000531400 751610421301 ~r 知R (A )R (A B )3 所以B 组能由A 组线性表示由 ???? ? ? ?-????? ??---????? ??-=00 000011020 1 110110220201312111421402~~r r B 知R (B )2 因为R (B )R (B A ) 所以A 组不能由B 组线性表示 4 已知向量组 A a 1(0 1 1)T a 2(1 1 0)T B b 1(1 0 1)T b 2(1 2 1)T b 3(3 2 1)T 证明A 组与B 组等价证明由 ?? ? ? ??-???? ??-???? ??--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B 知R (B )R (B A )2 显然在A 中有二阶非零子式故R (A ) 2 又R (A )R (B A )2 所以R (A )2 从而R (A )R ( B )R (A B ) 因此A 组与B 组等价 5 已知R (a 1 a 2 a 3) 2 R (a 2 a 3 a 4)3 证明 (1) a 1能由a 2 a 3线性表示 (2) a 4不能由a 1 a 2 a 3线性表示证明 (1)由R (a 2 a 3 a 4) 3知a 2 a 3 a 4线性无关故a 2 a 3也线性无关又由 R (a 1 a 2 a 3)2知a 1 a 2 a 3线性相关故a 1能由a 2 a 3线性表示 (2)假如a 4能由a 1 a 2 a 3线性表示则因为a 1能由a 2 a 3线性表示故a 4能由a 2 a 3线性表示从而a 2 a 3 a 4线性相关矛盾因此a 4不能由a 1 a 2 a 3线性表示 6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关

线性代数第四章(3-节)

同济大学线性代数教案第一章线性方程组与矩阵

线性代数第四章总结

线性代数作业任务第四章

线性代数第一章 第一节线性方程组的消元法

线性代数知识点总结第一章

最新线性代数第四章答案

线性代数知识点汇总第一章

线性代数第四章

线性代数第四章答案

线性代数第四章答案

线性代数练习册第四章习题及答案

线性代数第四章答案

线性代数第一章第一节线性方程组的消元法